§3 函数依赖理论及其应用（书 p52:3.5）

§3 函数依赖理论及其应用（书p52:3.5） 一、函数依赖的逻辑蕴涵设：F 是关系模式 R 给定的一组函数依赖集合。对于R的满足F的任意关系r，若能够从F中推导出关系r 也满足函数依赖X→Y，则称F逻辑蕴涵X→Y。记为 F  X→Y 例设：关系模式R（A，B，C），F={ A→BC } 则：F  A→B

二、函数依赖Armstrong公理 1．函数依赖Armstrong公理设：关系模式R（U，F）。 A1. 自反性（Reflexivity）：若Y  X U，则 X→Y A2. 增广性（Augmentation）：若 X→Y，且Z U，则 XZ→YZ 注：XZ （或：X, Z）即 X ∪ Z A3. 传递性（Transitivity）：若 X→Y，Y→Z，则 X→Z

2．四条推理规则 （1）合并规则：若X→Y，X→Z，则 X→YZ （2）分解规则：若X→YZ，则 X→Y, X→Z （3）伪增广规则：若X→Y，WZ，有XW→YZ （4）伪传递规则：由X→Y，WY→Z，有WX→Z 例试证“合并规则”是正确的。 ∴X→XY （增广性） ∵ X→Y，证: ∴XY→YZ （增广性） ∵X→Z， ∵ X→XY，XY→YZ， ∴X→YZ （传递性）证毕。

三、函数依赖集的闭包和属性的闭包 1. 函数依赖集F的闭包（Closure）定义：在关系模式R（U，F）中，F以及它的逻辑蕴涵所构成的函数依赖集合，叫做F的闭包，记为F+。

例设：R（A，B，C），F={A→B，B→C} 则有： A→φ， B→φ， C→φ， AB→φ， AC→φ，BC→φ， ABC→φ， A→A， AB→A， AC→A， ABC→A， A→B， AB→B，AC→B，ABC→B， A→C， AB→C， AC→C， ABC→C， A→AB， AB→AB， AC→AB， ABC→AB， F+ = A→AC， AB→AC， AC→AC， ABC→AC， A→BC， AB→BC， AC→BC， ABC→BC， A→ABC，AB→ABC，AC→ABC，ABC→ABC， B→B， BC→B， B→C，BC→C，B→BC， BC→BC， C→C

2. 属性集X关于函数依赖集F的闭包X+F （1）定义设：F为属性集U上给定的一组函数依赖， X，AU。则， X+F称为属性集X关于函数依赖集F的闭包，其中，X+F = { A | X→A是所有由F给定和推导出的函数依赖集合 }。例设：R（A，B，C），F={A→B，B→C}。则 A+F ={ ABC }

初始: AF+ = {A} (因为：A A总是成立) AF+ = {AB} (因为F中有：A B) AF+ = {ABC} (因为F中有：BC) （2）计算X+F的算法例设：R（A，B，C），F={ A→B，B→C }。求 AF+ = ？

3．判定一个函数依赖是否属于F+？ 设：R（U，F），属性组X，YU。问：函数依赖X→Y是否被F逻辑蕴涵？即，判定：X→Y F+？解决方案: 1) 计算: XF+。 2) 判定:Y XF+ ? 例设：F = { AB, BC}问：ABC F+？解：∵ (AB)+ F = { ABC } ，显然有：C (AB)+ F ∴ ABC F+

四、函数依赖的等价与复盖 1. 函数依赖集的等价如果F+ = G+ ，就说函数依赖集F复盖G，或F与G 等价，记为F=G。定理：F=G的充分必要条件是 F G+,且G  F+ 例设：F = { AB, BC，ABC }， G = { AB, BC} 问：F = G？解：∵ (AB)+ G = { ABC } ，显然有：C (AB)+ G ∴ ABC G+, 故：F G+ 而显然有 G F+成立，∴ F=G成立。

2. 极小函数依赖集 如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集(也称最小依赖集，最小复盖)，记为Fm ： (1) F中每个函数依赖的右部仅含一个属性。 (2) F中每个函数依赖的“左”部都没有“多余”的属性。即：不存在函数依赖XA，以及 Z  X ，使得 F 与 (F–XA)∪ZA 等价。 (3) F中没有“多余”函数依赖。即：不存在这样的函数依赖XA，使得F与 F ―XA等价。

3. 计算Fm的算法： （1）应用分解规则，使F中每一个函数依赖的右部属性单一化。（2）去掉各函数依赖左部多余的属性。（3）去掉“多余”的函数依赖。例设有关系模式R上的一个依赖集： F={A BC，BC，ACB } 试计算Fm。解：（1）函数依赖右部属性单一化： F= {A BC，BC，ACB } = { AB, AC, BC，ACB}

（2）消去函数依赖左部多余属性： 可见BC+F  由 F = { AB, AC, BC，ACB} 令 G = { AB, AC, BC，CB } ∵ C+F = {C} ∴ F  G 又令 L = { AB, AC, BC，AB} ∵ A+ F={ABC}可见 B  A+ F ∴ F = L ={ AB, AC, BC}。（3）消去F多余的函数依赖：显然， AC是多余的， ∴ Fm = { AB, BC}

五、从给定的函数依赖集，确定关系模式的键码 五、从给定的函数依赖集，确定关系模式的键码例1 设：R(U, F)，U={SCG}, F={（C，S）→G} （S：学号，C：课程号，G：学习成绩）求：R的所有键码。解：① CF+ ={C} , GF+ ={G} , SF+ ={S} ( CF+, GF+ , SF+ 都不能函数决定 U ) ② （CG）F+ = {CG} ({CG}→U不成立）（CS）F+ = {CGS} ({CS}→U成立！) （GS）F+ = {GS} ({GS}→U不成立) ③ 综上，键码 KEY = {CS} 结束！注意：不必计算（CGS）F+

结论： （1）若属性X仅出现在F的左部，则X必是关系模式R任一键码的属性。（2）若属性X不出现在F的左部和右部，则X必是关系模式R任一键码的属性。（3）若属性X只出现在F的右部，则X不是关系模式R的键码属性。

例2 设：关系模式R(U, F)。其中， U = { A, B, C, D, E }， F = { ABD，AE，CB，DC }。求：R的所有键码。解：① R的所有键码必定都含有属性A：AF+={AE} 而 BF+ 、 CF+ 、 DF+ 、 EF+均不必计算! ② (AB)F+= {ABDEC} ∴(AB)是一个键码！ (AC)F+= {ACEBD} ∴(AC)是一个键码！ (AD)F+= {ADECB} ∴(AD)是一个键码！ ∵键码必不含E属性。 (AE)不可能是键码。注意：其余都不必计算！

§4 关系数据库模式设计 关系模式R1 关系模式Rk 一、模式分解概述 1．模式分解和子模式设关系模式R(U)，以及模式集合：ρ={R1(U1)，…，Rk(Uk)}。若U1∪ U2∪ …∪Uk = U，且不存在Ui Uj ( 1≤i, j≤k )。则称ρ是R(U)的一个分解，R1,… ,Rk称为R的子模式。关系模式R ．．．．．． ρ

关系 r1 关系 rk 2. 关系的投影关系 r U Uk U1 ．．．．．．例1 设有关系模式R（Eno，Es，Eg）。其中： Eno：职工号；Es：工资级别；Eg：工资额。 R上的函数依赖集F={Eno→Es, Eg；Es→Eg} ρ= {R1，R2，R3} R的一个关系r在ρ上的投影如下：

R1 Eno Es E01 3 E02 4 E03 4 R Eno Es Eg E01 3 2600 E02 4 2200 E03 4 2200 R2 Es Eg 3 2600 4 2200 R3 Eno Eg E01 2600 E02 2200 E03 2200

3. 函数依赖集的投影 关系模式 R1(U1, F1) 关系模式 Rk(Uk, Fk) 关系模式 R( U, F ) . . . . . . F+ = { ...... }

A→φ， B→φ， C→φ， AB→φ， AC→φ，BC→φ， ABC→φ， A→A， AB→A， AC→A， ABC→A， A→B， AB→B，AC→B，ABC→B， A→C， AB→C， AC→C， ABC→C， F+ = A→AB， AB→AB， AC→AB， ABC→AB， A→AC， AB→AC， AC→AC， ABC→AC， A→BC， AB→BC， AC→BC， ABC→BC， A→ABC，AB→ABC，AC→ABC，ABC→ABC， B→B， BC→B， B→C， BC→C，B→BC， BC→BC， C→C 设：R（A，B，C），F={A→B，B→C} 则有：

思考： 1)若有R1(U1, F1)，其中U1={ A, B }。问：F1=? 2)若有R2(U2, F2)，其中U2={ B, C }。问：F2=? ●计算Fi（i=1，2，…，k）算法：设：Ri(Ui，Fi)是R分解得到的一个子模式， A是 Ui的一个真子集，即A  Ui 。 step1:对于所有A  Ui，计算A+F 和A+F ∩Ui step2:根据(1)构造Fi （i=1，2，…，k）

例2 设：R（U，F），U={A，B，C，D}， F={A→B，B→C，C→D，D→A } ρ={ R1(A,B,C)，R2(C,D) }。求：F在R1、R2上的投影F1、F2 解：令: U1={ABC}, U2={CD} 对于U1={ABC}： ∵ A+F = {ABCD}, A+F∩U1={ABC} B+F = {ABCD}， B+F ∩U1={ABC}C+F = {ABCD}， C+F ∩U1={ABC} (AB)+F = {ABCD}， (AB)+F ∩U1={ABC} (AC)+F = {ABCD}， (AC)+F ∩U1={ABC} (BC)+F = {ABCD}， (BC)+F ∩U1={ABC}

∴ F1 = {A→B，A→C, B→A, B→C, C→A, C→B, AB→C, AC→B, BC→A } = {A→B，B→A, B→C, C→A } = {A→B，B→C, C→A } 对于U2 = {CD}： ∵ C+F = {ABCD}, C+F∩U2 ={CD} D+F = {ABCD}， D+F ∩U2 ={CD} ∴ F2 = { C→D，D→C }。

4. 关系模式分解的不同准则 （书：p66 3.6.5-3.6.6）（1）分解具有“无损连接性”（Lossless join）（2）分解具有“保持函数依赖性”（Preserve dependency）（3）分解既具有“无损连接性”，又具有“保持函数依赖性”

关系 r1 关系 rk r1r2 rk …… 二、模式分解的无损连接性关系 r · · · · · · 无损连接性：对于关系模式R 及其子模式 R1, …, Rk所对应的任何关系r和r1，… , rk，都有：  r

三、模式分解的保持函数依赖性 设ρ={ R1，…，Rk }是关系模式R(U，F)的一个分解。Fi是 F到 Ri的投影（i=1，…，k）。如果 (∪Fi)+= F+，则称ρ是保持函数依赖性的。 k i=1 F F+ k （1）计算G =∪ Fi i=1 Fk F1 ... G: 1．什么叫分解的“保持函数依赖性” 2. 判定保持函数依赖性的算法（2）若 FG+，则ρ是保持函数依赖性的。 G F+ !

例3 设：R（U，F），U={A，B，C，D}， F={A→B，B→C，C→D，D→A }， ρ={R1(A, B, C)，R2(C, D)}。问：ρ是否保持函数依赖？解：我们已得到: F1= {A→B，B→C, C→A} F2 = { C→D，D→C }。（1）计算：G = F1∪ F2 = { A→B，B→C，C→A，C→D，D→C } （2）对于D→A∈F, ∵D+G ={ABCD} ∴A  D+G 即: D→A∈G+；而对于F中的AB、 B→C 和C→D，它们显然属于G+。故：ρ对R的分解是保持函数依赖性的。

四、模式分解的算法 1. 模式分解的几个结论一个关系模式R：（1）它一定可以无损连接性地分解成若干个BCNF的子模式（甚至是4NF的子模式）。（2）它一定可以保持函数依赖性地分解成若干个3NF的子模式，但不一定能达到BCNF。（3）它可以既保持函数依赖性，又具有无损连接性地分解形成一些3NF的子模式，但不一定能分解成为若干BCNF的子模式。

2. 无损连接性地分解到BCNF的算法 定理：设有关系模式R(U，F)，以及R的一个分解 ρ= { R1(U1，F1)，R2(U2，F2) }。该分解具有无损连接性的充要条件是： (U1U2)(U1 - U2)F+, 或者： (U1U2)(U2 - U1)F+。例4 设有关系模式RL（U，F）。其中： U={ C，T，H，R，S，G } F={CS→G，C→T，HR→C，HS→R，TH→R} KEY = { HS }

解： (略去计算过程） “X” 找到非码决定因素函数依赖 “X” “A” U去掉“A” （GT） “X A” CSGT 非码依赖 CHRS U={CGHRST} F={ CS→G，C→T HR→C，HS→R TH→R } KEY={HS} 计算: (CS)F+= { CSGT } F1={C→T, CS→G} F2={CH→R，HR→C, HS→C，HS→R} KEY=CS KEY=HS 计算: (C)F1+ ={ CT } 计算: (CH)F2+ ={ CHR }

去掉R 去掉T CT {C→T} CGS { CS→G} CHR { CH→R, HR→C} CHS { HS→C} CSGT F1={ C→T, CS→G } KEY=CS CHRS F2={CH→R，HR→C, HS→C，HS→R} KEY=HS (CH)F2+ ={ CHR } (C)F1+ ={ CT } KEY=CS KEY=HS KEY=C KEY=CH/HR BCNF BCNF BCNF BCNF 注：失去函数依赖TH→R。

设：关系模式 R(U，F) 分解成为BCNF的算法：（1）初始, 令ρ= { R(U，F) } （2）重复以下步骤，直到ρ的所有关系模式都是 BCNF的: a. 找出ρ中不是BCNF的关系模式。不妨假设它就是Ri(Ui，Fi) 。其中必有：X→Y∈Fi，而X不含Ri的键码。 b. 计算：XFi+ ，并令：A = XFi+– X c. 把Ri分解成为子模式Ri1和Ri2，其中： URi1= XA， URi2= Ui – A。 d. 计算Fi在Ri1和Ri2的投影，以及Ri1和Ri2的键码。

3.保持函数依赖分解成3NF的算法： 例5 设有关系模式R（Eno，Ename, Es，Eg） F={ Eno→(Ename,Es，Eg)，Ename→Eno, Es→Eg } 求：R的一个保持函数依赖性的分解。解：1）求F的最小函数依赖集Fm： ∵ F中同时存在 Eno→Es 和 Es→Eg， ∴ Eno→Eg是F中“多余”的函数依赖。故：Fm = { Eno→Ename， Eno→Es， Ename→Eno,Es→Eg }

2)按照Fm中“决定因素”的不同属性，创建子模式ρ={R1(U1，F1)，R2(U2，F2), R3(U3，F3)} 其中, U1={Eno，Ename, Es}，F1={ Eno→(Ename,Es)} U2={ Es，Eg }， F2={ Es→Eg } U3={ Ename，Eno }， F3={ Ename→Eno } 3) ∵U3U1 ∴ 把R3“并入”R1 得到：ρ={ R1(U1，F1)，R2(U2，F2) }。其中， U1={Eno，Ename, Es}， F1={ Eno→(Ename,Es)，Ename→Eno } U2={ Es，Eg }， F2={ Es→Eg }

●保持函数依赖分解成3NF的算法： 设：关系模式R（U，F）。（1）计算F的最小依赖集Fm。（2）若Fm中仅有一个函数依赖X→Y，且XY=U，则ρ={ R（U，Fm）},并结束算法。（3）把U中与Fm的所有函数依赖的左部和右部都无关的属性，从U中分离出去，并使它们构成一个关系模式R0（ R0至少是3NF的！）。令：此时Fm剩余的属性构成属性集U0

（5）根据Fi所包含的属性构造Ui。并由此构造关系模式Ri(Ui, Fi)。于是，可得R的一个分解ρ={R0，R1，…，Rk}，且有：∪kUi= U0 i=1 （4）按照Fm中各函数依赖的左部属性，把Fm划分为F1，…，Fk，使得每个Fi（i=1，2，…，k）的所有函数依赖的左部都相同。（6）对于1≤i,j≤k (i≠j), 若Ui  Uj,则把Ri“合并”到Rj。（注意：须将Fi“合并”到Fj之上）

4. 达到4NF的无损连接性的分解 设：给定关系模式R（U，F）：（1）把R保持无损连接性地分解为BCNF。假设分解结果为：ρ={ R1，R2，…，Rk }。其中，R1，R2，…，Rk ∈BCNF （2）若对于ρ的任意一个关系模式Ri，存在：Ri4NF，则 Ri中必存在非平凡的非函数依赖的多值依赖X→→Y，且有： Ui={X，Y，Z}， Z = Ui – X – Y   于是，对Ri进行分解，使之成为： Ri′(X，Y) 和 Ri″(X，Z)。

掌握：函数依赖集闭包概念；多值依赖与4NF；关系投影；具有无损连接性分解和保持函数依赖分解的概念；低范式关系模式的缺点。掌握：函数依赖集闭包概念；多值依赖与4NF；关系投影；具有无损连接性分解和保持函数依赖分解的概念；低范式关系模式的缺点。熟练掌握：函数依赖概念；函数依赖Armstrong公理系统和推理规则；属性集A关于函数依赖集F的闭包计算；BCNF、3NF、2NF和1NF的概念；判定关系模式属于第几范式；从函数依赖集计算关系模式的键码；关系模式分解的函数依赖投影计算；具有无损连接性分解到BCNF的算法。保持函数依赖分解到3NF的算法。理解：数据冗余及其影响问题。

§3 函数依赖理论及其应用（书 p52:3.5）

§3 函数依赖理论及其应用（书 p52:3.5）

Presentation Transcript