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高等数学

高等数学. 第一章 函数与极限 第一节. 绪 论. 高等数学是高等院校中理工类、经济类专业学生必修的重要基础理论课. 随着科学技术的发展，人们越来越深刻地认识到：没有数学，就难于创造出当代的科学成就 . 科学技术发展越快，对数学的需求就越多. 如今，伴随着计算机技术的迅速发展、自然科学各学科数字化的趋势、社会科学各部门定量化的要求，使许多学科都在直接或间接地，或先或后地经历了一场数学化的进程 —— 在基础科学和工程建设研究方面，在人事管理和军事指挥方面，在经济. 计划方面，甚至在人类思维方面，都可以看到强大的数学化的进程 …. 高等数学主要学习内容.

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  1. 高等数学 第一章 函数与极限 第一节

  2. 绪 论 高等数学是高等院校中理工类、经济类专业学生必修的重要基础理论课. 随着科学技术的发展，人们越来越深刻地认识到：没有数学，就难于创造出当代的科学成就. 科学技术发展越快，对数学的需求就越多. 如今，伴随着计算机技术的迅速发展、自然科学各学科数字化的趋势、社会科学各部门定量化的要求，使许多学科都在直接或间接地，或先或后地经历了一场数学化的进程——在基础科学和工程建设研究方面，在人事管理和军事指挥方面，在经济

  3. 计划方面，甚至在人类思维方面，都可以看到强大的数学化的进程…. . 高等数学主要学习内容 通过《高等数学》这门课程的学习,要使学生获得： (1)函数、极限、连续; (2)一元函数微积分学； (3)向量代数和空间解析几何； (4)多元函数微积分学； (5)无穷级数； (6)常微分方程. 等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程奠定必要的数学基础.

  4. 高等数学有四个显著特点： (1)高度的抽象性 数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出来. 我们运用抽象的数字，却不是每次都把它们同具体的对象联系起来. 在数学的抽象中只留下量的关系和空间形式，而舍弃了其他一切. 它的抽象程度大大超过了自然科学中任何一门学科. (2)严谨的逻辑性 数学中的每一个定理，不论验证了多少实例，只有当它在逻辑上被严格证明时，才能在数学中

  5. 成立. 在数学中要证明一个定理，必须是从条件和已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出结论. (3)广泛的应用性 高等数学具有广泛的应用性. 例如，掌握了导数概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等等经济量；……

  6. 掌握了定积分概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的弧长、不规则图形的面积、不规则立体的体积等等几何量；就可以用它来刻画和计算变速运动的物体的行程、变力所做的功、物体的重心等等物理量；就可以用它来刻画和计算总产量、总成本等等经济量…….掌握了定积分概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的弧长、不规则图形的面积、不规则立体的体积等等几何量；就可以用它来刻画和计算变速运动的物体的行程、变力所做的功、物体的重心等等物理量；就可以用它来刻画和计算总产量、总成本等等经济量……. 高等数学既为其它学科提供了便利的计算工具和数学方法，也是学习近代数学所必备的数学基础 . (4)知识体系的连惯性

  7. 高等数学的教学特点 对于大学课程，特别是作为基础理论课的高等数学，课堂教学是重要环节. 高等数学的课堂教学与中学数学的课堂教学相比，有下述三个显著的差别: (1)课堂人数多 高等数学课堂是一百多人的大课堂，在这种大课堂上不可能经常让同学们提问题. 同学们在学习的基础上、水平上、理解接受能力上肯定存在差异，但是教师授课的基点只能是照顾大多数，不可能给跟不上、听不全懂的少数同学细讲、重复讲.

  8. (2)时间长 每次授课两节，共110分钟. (3)进度快 高等数学的内容极为丰富，而学时又相对较少(同中学数学相比)，平均每次课要讲授教材内容一至两节(甚至更多). 另外，大学与中学的教学要求有很大的不同，教师讲课主要讲重点、难点、疑点，讲分析问题的方法，讲解题的思路，而例题要比中学少得多，不象中学上数学课那样，对一个重要的定理，教师要仔细讲、反复讲，讲完之后又举大量典型的例子.

  9. 同学们要注意抓好学习的六个环节 高等数学这门课是同学们进入大学后的一门最重要的基础课. 由于在教学方法上、在对学生能力的培养目标上与中学时有很大的不同，因此，同学们在一开始可能会感到有些不适应. 为了尽快适应新的学习环境，要注意抓好以下六个学习环节. (1)预习 为了提高听课效果，每次上课前应对教师要讲的内容进行预习. 预习的重点是阅读一下要讲的定义、定理和主要公式. 预习的主要目的是：第一，在听课时能做到心中有数，不至于被动地听课；第二，知道哪些地方是重点和自己的难点，从而在听课时能提高效率；第三，可以弥补由于基础、理解力上的差异所造成的听课困难.

  10. (2) 听课 听课是在大学中获取知识的主要环节. 因此，应带着充沛的精力、带着获取新知识的浓厚兴趣、带着预习中的疑点和难点，专心致志地听教师如何提出问题、分析问题和解决问题，并且积极主动地思考. 在听课时常会遇到某些问题没听懂的情况，这时千万不要在这些问题上持续徘徊而影响继续听课，应承认它并在教材上或笔记上相应处作上记号，继续跟上教师的讲授. 遗留的问题、疑点待课后复习时再思考、钻研，或找同学讨论，或找教师答疑，或查看参考书加以解决.

  11. (3) 记笔记 记好课堂笔记是学好高等数学的一个重要的学习环节. 但要注意的是，课堂学习的中心任务是听、看、想，记笔记的目的是便于课后复习，便于消化课上所讲的内容. 因此，记笔记不应占用过多的课堂时间. 笔记不必工整，不必全面，不必连贯，但应预留一定的空白以便课后补充、写心得、记疑问.

  12. (4) 复习 学习包括“学”与“习”两个方面. “学”是为了获取知识，“习”是为了消化、掌握、巩固知识. 每次课后的当天都应结合课堂笔记和教材及时复习课上所讲的内容. 但是，在翻开教材与笔记之前，应先回顾一下课上所讲的主要内容. 另外，应该经常地、反复地复习前面所讲过的内容， 这样一方面是为了避免边学边忘，另一方面可以加深对以前所学内容的理解，使知识水平上升到更高的层次.

  13. (5)做作业 要把高等数学学到手，及时、认真地完成作业是一个必不可少的学习环节. 每次的作业最好在当天完成，但是应该在复习完当天的内容之后进行. 做作业不仅是检验学习效果的手段，同时也是培养、提高综合分析问题的能力、笔头表达能力以及计算能力的重要手段. 特别强调，认真完成作业是培养同学们严谨治学的一个环节.因此，要求作业“字迹工整、绘图准确、条理清楚、论据充分”. 切忌抄袭，尽量不先看书后的答案.

  14. (6) 答疑 答疑是高等数学学习的一个重要的环节. 遇到疑问时应该及时地与同学讨论，与教师交流，切不可将问题放置一旁不理. 除了要重视上述学习环节之外，还有一点应该大力提倡，那就是互助合作、共同研讨、共同提高. 团队精神对于学好高等数学同样重要. 四 几点说明

  15. 第一章 函数与极限 第一章 函数与极限 (function and limit) 第一节 映射与函数 ( set ) 集 合 映 射 ( mapping ) 函 数 ( function ) 小结

  16. 映射与函数 集合 (集) 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物. 元素 (简称元) 通常以大写字母 以小写字母 等表示集合的元素. 记作 或 否则记 一、集合 1. 集合(set)概念与记号

  17. 映射与函数 则称 记作 子集, 或 (读作A包含于B) 则称 记作 集合A与B相等, 2. 集合(set)的关系及集合的运算 (1) 集合的关系 子集 集合相等 则称 真子集 真子集, 记作

  18. 映射与函数 2. 集合(set)的关系及集合的运算 (2) 集合的运算 并集, 集合的基本运算有三种: 交集, 差集. 差集 组成的集 由所有属于A 而不属于B的元素 称为A与B的 差集, 记作 即

  19. 映射与函数 研究某个问题时所考虑的对象的全体 全集或基本集, 并把差积 称为 并用 I 表示, 特别称为A的 余集或补集. 记作 注 集合 例如, 在实数集R中, 的余集

  20. 映射与函数 两端点间的距离(线段的长度) 称为区间的 长度. 称为 开区间, 闭区间, 称为 3. 区间(interval) 区间是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.

  21. 映射与函数 称为 半开半闭区间. 有限区间 无限区间 全体实数的集合R也可记作 是无限区间.

  22. 映射与函数 数集 邻域, 记作 d U ( a , ). 即 几何表示 邻域(neighbourhood)

  23. 映射与函数 去心(空心) 即 两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形 区域. 如, 即为xOy平面上的矩形区域, 这个区域在x轴与y 和闭区间 轴上的投影分别为闭区间 有时简记为

  24. 映射与函数 “ ” “ ” 符号 表示 “蕴含 ”,或 “推出”. “ ” 符号 表示 “等价 ”,或 “充分必要”. “ ” 常用的逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号 Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写 Exist(存在)的 字头E的倒写 表示 “任取 ”, 或“任意给定”. 表示 “存在 ”,“至少存在一个”, 或“能够找到”.

  25. 映射与函数 二、映射 (mapping) 定义域 即 记 1. 映射概念 定义 如果存在 设 X、Y 是两个非空集合, 一个法则f , 使得对 通过f , 在Y中有唯一 确定的元素 y 与之对应, 则称f 为 从 X到 Y 的映 射 (或算子), 记作 并称y为x(在映射f下)的 像, 并记作 即 x称为y的 原像.

  26. 映射与函数 X中所有元素的像所组成的集合 称为 值域, 记作 或f 的 像集, 即 在中学数学中所接触的函数实际是: 实数集(或其子集) 到实数集的映射. 例如, 正弦函数 映射f :

  27. 注 三个要素: (1) 构成一个映射必须具备以下 ① 集合X, 即定义域 ② 集合Y, 即值域的范围: 有唯一确定的 对应法则f , 使对 ③ 与之对应. (2) 对 元素 x 的像y是唯一的; 而对 元素 y 的原像不一定是唯一的; 映射 f 的值域 是Y 的一个子集, 不一定

  28. 2. 几类重要映射 设映射 即Y 中任一元素y 都是X中某 满射. 元素的像, 则称f 是 若 必有 单射. 则称f 是 若映射f 既是满射, 又是单射, 则称f 是 一 一 映射 (或双射).

  29. 必有 则称f 是 单射. 3. 逆映射与复合映射 设有单射 则由定义, 适合 可定义一 有唯一的 于是, 的新映射g, 即 个从 规定 这 x 满足 记作 这个映射g称为 f 的逆映射, 其定义域 值域

  30. 3. 逆映射与复合映射 设有两个映射 由 其中 可确定出从 X到Z 的一个 它将 映成 对应法则, 显然这个对应法则是从 X到Z 的一个映射, 此映射称为由g和f 构成的 复合映射, 记作 即

  31. 在某过程中数值保持不变的量称为 常量; 而在过程中数值变化的量称为 变量. 注 在高等数学中,通常用字母 a, b, c等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 三、函数(function) 1.常量(constant quantity)与变量(variable) 一个量是常量还是变量,不是绝对的, 而是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法:

  32. = Î y f ( x ), x D , " Î x D , 如果对 = y f ( x ), 2. 函数概念 设数集 定义 则称映射 通常简记为 为定义在D上的函数, 定义域(domain) 因变量 自变量 总有唯一 定义中, 按对应法则f , 确定的值y与之对应, 这个值称为函数f 在x处的 函数值, 记作 函数关系 函数值 全体组成的集合称为 函数f 的值域, 记作 即

  33. 注 (1) 含义的区别. 自变量x和因变量y之间的对应法则; 与自变量x对应的函数值; 定义在D上的函数, (2) 函数的记号: 除常用的f 外, 可任意选取, 如 等, 相应地, 函数可记作: 等, 也可记作:

  34. " Î x D , 对 (3) 对应的函数值y总是唯一的, 这种函数称为 单值函数, 否则称为 多值函数. 如 约定: 是多值函数, 它的两个单值支是: 今后无特别说明时, 函数是指单值函数. (4) 构成函数的 两个要素: 定义域 与对应法则f . 如 是两个不同的函数. (因为定义域不同).

  35. 确定函数定义域的原则: (5) ① 由问题的实际意义确定. ② 在纯数学的研究中 (函数由一个公式 自变量所能取的使算式有意义的一切 表示的). 实数组成的集合, 这种定义域称为 自然定义域. 函数的定义域常用区间来表示, 又可称为: 定义区间.

  36. (6) 函数的图形(图象). (7) (8) 分段函数.

  37. 几个今后常引用的函数 例 绝对值函数 定义域 值域

  38. 例 符号函数 值域 定义域 对 有 或

  39. 阶梯曲线 1 · · · · - - 1 4 2 1 - 1 - 2 例 取整函数 表示不超过x的最大整数 当 如 值域 定义域

  40. 若存在常数 使得对所有 都有 若这样的M 不存在, 则称 f(x) 在I上有界. 即为对于任何 总存在 在 I上无界; 使 则称 f(x) 在 I上无界. 则称 f(x) 3. 函数的几种特性 有界性(bounded)

  41. 无界 有界

  42. 单调性(monotonicity) 如果对 恒有 单调增加 (单调减少).

  43. 称 f(x)为 偶函数 (even function); 奇偶性 偶函数的图形

  44. 称 f(x)为 奇函数 (odd function). 奇函数的图形

  45. 如果存在一个 设函数 f (x)的定义域为D, 正数 且总有 周期函数(period function). 则称f (x)是 称为f (x) 的周期. 通常称周期函数的周期是指 最小正周期. 周期为 的周期函数 周期性(periodicity)

  46. 4. 反函数与复合函数 (1) 反函数(inverse function) 单射 定义 设函数f : 则它存在逆映射 称此映射 为函数f 的 反函数. 如 通常将 写作 习惯上, 的反函数记成 一般地, 直接函数 反函数

  47. 直线 直接函数与反函数的图形 关于 对称.

  48. 中间变量 4. 反函数与复合函数 复合函数 (compound function ) (2) 设函数 函数 定义 的定义域是 有定义, 且 则由下式 确定的函数 构成的 复合函数. 称为由函数 它的定义域为 记作 即

  49. 注 (1)并非任何两个函数都能复合成为复合函数; (2)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. (3)反过来, 一个复杂的函数根据需要也可以 分解为若干简单函数的复合.

  50. 定义域与 的取值有关. 5. 初等函数(elementary function) (1) 基本初等函数 (basic elementary function) 1)幂函数(power function)

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