数学分析实验课（十）

数学分析实验课（十） 函数临界点的计算及其类型的判断

例判断下列函数临界点的类型 f(x,y)=x3+y3-3xy 分析：首先计算函数的临界点，即一阶导数的零点，然后通过函数在临界点处的二阶导数，即Hesse矩阵，的特征值的正负性判断临界点的类型。

Hessian矩阵 • 定理：设 ,如果f在点x0处对于自变量x的各分量的二阶偏导数都存在且连续，则函数f在点x0处二阶可导，并且称矩阵为f在点x0处的Hessian矩阵。如果在函数的临界点Hessian矩阵是正定(负定)的，即所有特征值大(小)于零，则该临界点为函数的极小(大)值点；如果既有正的又有负的特征值，则该临界点为鞍点；否则，仅凭函数的二阶导数无法确定该临界点的性质。

二元函数的极值 给定二阶导数连续的函数f(x,y)，对于f的临界点(x0,y0)，只凭函数的一阶导数不能判断它是鞍点、局部极大值点还是局部极小值点。而结合函数的Hessian矩阵行列式H(det(He))，可以判断f的临界点是属于鞍点还是极值点。 1) H>0：若则(x0,y0)是局部极小值点；若则(x0,y0)是局部极大值点。 2) H<0：则(x0,y0)是鞍点。 3) H=0：则二阶导数无法判断该临界点的性质，需要从更高阶的导数用泰勒公式考虑。

(1) 计算f(x,y)=x3+y3-3xy临界点并判断其类型 解：输入命令 • syms x y%定义符号变量 • f=x^3+y^3-3*x*y;%给定函数f • Ja= jacobian(f,[x,y]) %计算f的Jacobi矩阵，即f的导数（梯度） Ja = [ 3*x^2 - 3*y, 3*y^2 - 3*x] • He=jacobian(jacobian(f,[x,y]),[x,y]) %f的Hessian矩阵，即f的二阶导数 He = [ 6*x, -3] [ -3, 6*y]

[x0,y0]=solve(Ja);%计算临界点 x0 = 0 1 - 1/2 + (3^(1/2)*i)/2 - 1/2 - (3^(1/2)*i)/2 y0 = 0 1 - 1/2 - (3^(1/2)*i)/2 - 1/2 + (3^(1/2)*i)/2 • H1=subs(He,{x,y},{0,0}) • H2=subs(He,{x,y},{1,1}) • eig(H1) % 得到特征值-3 3 • eig(H2) % 得到特征值 3 9 结论：f的临界点(0,0)是鞍点，(1,1)是极小值点。

作图观察 • [X,Y]=meshgrid(-1:0.2:2); %生成网格点 • Z=X.^3+Y.^3-3.*X.*Y; • surf(X,Y,Z);%作曲面图由图像也可以大致判断 (0,0)点为函数的鞍点 (1,1)点为函数的极小值点

思考 • 如何利用Matlab，给出课本292页例题的答案？作业 • 习题9.3.2中临界点类型判别(2)、(4)、(6)、(8)

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