単位名 学部 : 天体輻射論 I 大学院：恒星物理学特論 IV 教官名 中田 好一

1. K：　恒星スペクトル 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２００７年１月２２日　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 単位名 　　学部　 :天体輻射論I 　　大学院：恒星物理学特論IV 教官名中田　好一 授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。 成績は「レポート＋出欠」でつけます。 授業の内容は下のHPに掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html

2. Ｋ．１．スペクトル分類 HarvardSystem Pickering/Cannon 分類法 1901 Annals Harvard Obs.28,10 1912 Annals Harvard Obs.56,225 HD(Henry Draper)カタログ 1918 Annals Harvard Obs.91 低分散対物プリズム写真乾板の眼視分類 　　　　１）ライン強度比 　　　　２）ラインの有無 　　　　３）ライン強度　　　　 　O(a-e)-B(1,2,3,5,8,9)-A(0,2,3,5)-F(0,2,5,8)-G(0,5) -K(0,2,5)-M(a,b,c,d)

3. Yerkes System Morgan/Keenan スリット分光　　λλ３９３０－４８６０　A　　１１５A/mm 　　　　　　　　スペクトルの大部分は同じタイプを示すが、あるライン 　　　　　　　　の比が異なる。絶対等級に依存。 d: 矮星(dwarfs) g: 巨星(giants) c:特に明るい星 HarvardSystem 　　　　　　＋　光度クラス　I（a,ab,b)　←　ｃ Supergiant II Bright Giant III（a,ab,b) ←　ｇ Giant IV Subgiant V ← ｄ Dwarf

4. Yerkes System でのスペクトル分類 O　　　　　　　４ー９、9.5 B0, 0.5, 1-3, 5, 7,8, 9.5 A 0, 2,3, 5, 7 F 0, 2,3, 5, 7, 8,9 G 0, 2, 5, 8 K 0, 2,3,4,5 M 0, 1, 2, 3, 3, 4, 7, 8

5. 4686 HeII O型星 特徴 中性及び電離ヘリウム線。電離ヘリウム線がなければB型である。早期程電離ヘリウム線が強くなる。 MK分類は He II 4541/He I 4471 を細分類に使用。 晩期O型ではSi IV (4089) とCIII(4068, 4647, 4651) ４１０１Hδ ４３４０Hγ ４８６１Hβ 4471 HeI 4541 HeII

6. 4367 HeI 4471 HeI ４１０１Hδ B型星 特徴 中性ヘリウム線有り。B2型で最強。 電離ヘリウム線無し。 水素線は晩期程強い。 3970Hε ４８６１Hβ ４３４０Hγ

7. 3970Hε+ 3968CaII H A型星 特徴 水素バルマー線が強く、A2で最強。 Ca IIのH(3968)、K(3933)線はA0型で現れ、晩期に向かい強まる。 多数の金属線（FeI, FeII, CrI, CrII, TiI, TiII)が有り。 3933 CaII K ４１０１Hδ ４８６１Hβ ４３４０Hγ

8. 3970Hε+3968CaII H F型星 特徴 Ca IIのKH線が強い。 バルマー線は弱くなる。 CHのGバンドがF3以降強くなる。 3933 CaII K ４１０１Hδ ４８６１Hβ ４３４０Hγ 4300CH G

9. 3933 CaII K 3970Hε+3968CaII H G型星 特徴 バルマー線は金属線と同じくらいまで弱くなる。 CH（Gバンド）とCN（42163883)は強い。 ４８６１Hβ 4383FeI d ４３４０Hγ ４１０１Hδ 4326 FeI 4300CH G 4226 CaI g

10. K型星 特徴 弱いバルマー線 強くて多数の金属線 非常に強いHK線 分子バンド（Gバンド）強い TiOはK7で見え始める 3933 CaII K 3968CaII H 4761 TiO 4300CH G 4226 CaI g

11. 3933 CaII K 3968CaII H M型星 特徴 λ＜4000A多数金属線 TiO吸収帯 4422, 4584, 4626, 4761, 4954, 5167, 5448, 5497, 5759, 5810, 5847, 5862, 6158, 7054, 7589, 7672, 8433, 4226 CaI TiO 4584 4761 4954

12. 3970Hε+ 3968CaII H 3970Hε+ 3968CaII H Hγ Hδ 4686 He II 4471 He I バルマージャンプ Hβ Hα ＣａＩＩ　Ｋ ＮａＩ　Ｄ

13. 3970Hε+ 3968CaII H Hδ Hγ Hβ Hα ＣａＩＩ　Ｋ ＦｅＩ　Ｅ Ｍｇ　ｂ ＮａＩ　Ｄ

14. Ｋ．２． 恒星大気の復習：　エディントン大気 I(x,θ,φ）＝ I(x,θ）　輻射が軸対称の時、μ＝cosθとして、 Ｎ次モメント　MＮ　を以下のように定義する。 ｎ ＭＮ（x, λ）＝(1/4π)∫(cosθ)Ｎ　I (θ, x, λ) dΩ 　　　　　　　＝(1/4π) ∫∫ (cosθ)Ｎ　I (θ, x,λ) (sinθ) dφdθ 　　　　　　　＝(1/2)∫μＮ I (μ, x, λ)dμ Ω ０次モーメント　　J （x,λ）＝(1/4π)∫I (μ, x, λ) dΩ 　 　　　　　　　　　　　＝ (1/2)∫I (μ, x, λ) dμ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝平均輻射強度 θ Ｘ １次モーメント H（x,λ）＝(1/4π)∫cosθI(θ,x,λ) dΩ ＝ (1/2)∫μI(μ, x,λ) dμ エネルギーフラックスF（n, x ,λ) ＝∫ cosθ I (θ,x,λ) dΩ＝ 4πH ( x, λ) ２次モーメント Ｍ2（x,λ）=(1/4π)∫ (cosθ)2I(cosθ, x,λ) dΩ = (1/2)∫μ2 I(μ, x,λ)dμ =K （x,λ）

15. μdI/dτ＝I－S　　（平面近似） 　　　　モーメント方程式 × ∫dΩ/4π　　　： × ∫μdΩ/4π　：　 この系列はμ2 μ3 と上げても閉じない。式の数＜変数の数 モーメント方程式をどこかでむりやり閉じる必要。  　　　エディントン近似　　　

16. 恒星大気のエディントンモデル エディントン近似を用いて恒星大気のモデルを考えよう。 （１） （２） 仮定:（a）∫Jλκλdλ＝∫ελdλ：輻射平衡 ( Radiative Equilibrium) 　　　　　この仮定は（１）から とすると分かるように、Ｈ＝一定　を意味する 　　　　（b） Jλ(x)＝ Bλ(T(x)) ：ＬＴＥ （c ）Kλ(x)=(1/3)Jλ(x) 　　 ：エディントン近似

17. ∫Hλｄλ＝Ｈ,　 ∫Kλｄλ＝K とする。 （１）から仮定（ａ）によって、 　　　　　　　　　Ｈ(ｘ)＝Ｈｏ　　　　　　　（３）　 （２）から、　 κR＝Rosseland mean opacityを使うと （４） 平均光学深さτRを τR=∫ρ(x)κR(x)dx と定義すると、 H(τR)=Ho＝一定 K(τR)=τRＨo+ C J(τR)＝S(τR)=B(τR)=3(HoτR+C)＝(σ/π)T4 (τR) したがって、線形近似Ｓ＝ａ＋ｂτの結果が適用できる。

18. ：線形解の表面輝度とフラックス S(τ)= a + bτ I(τ=0 ,μ>0) = (1/μ)∫∞0S(t)exp( ‐t/μ) dt 　　　　　　＝(1/μ)∫∞0(ａ＋ｂt)exp( ‐t/μ) dt 　 ＝ (1/μ)[ a∫∞0 exp(‐t /μ) dt + b∫∞0 t exp(‐t /μ) dt] ＝ a+ bμ= S(τ=μ)　　　　（μ＞０） I(τ=0 ,μ<0) = 0 （μ＜０） θ 下図で光線に沿ったτ＝１に注意 τ＝０ τ＝μ＝ｃｏｓθ τ＝１

19. フラックス 　Ｆλ＝∫μIλ(μ,τ=0)ｄΩ＝ 2π∫１0μ( aλ+ bλμ)dμ=２π(aλ/2 + bλ/3) Source Function Sλ (τ)=aλ+bλτ　だったから、 Ｆλ＝π[aλ+(2/3)bλ]=πSλ(τ=2/3)　である。 　温度Ｔの黒体表面からのフラックスがπＢλ(T),ここにＢλ(Ｔ)は輻射強度、 　だったことを考えると、線形大気では、τλ＝２/３の深さの所を見て 　いると言える。 Ｉ（τ＝０） ａ ０ τλ＝０ 1/３ τλ＝μ＝ｃｏｓθ S(τ＝２/３) ２/３ １ τλ＝１ ａ＋ｂ ａ＋ｂμ

20. ３頁前に戻り、定数Cを決定しよう。 H(τR)=Ho＝一定 K(τR)=τRＨo+ C J(τR)＝S(τR)=B(τR)=3(HoτR+C)＝(σ/π)T4 (τR) そのためには、τR＝２/３　の温度T（τR＝２/３）＝Te　で、 かつ線形大気では　F=４πH＝σTe4　であることを思い出せばよい。 すると、

21. ここまでで、大気内部の温度Tがロスランド光学的深さτRの関数として決まった。ここまでで、大気内部の温度Tがロスランド光学的深さτRの関数として決まった。 線形大気ではある波長λでのフラックスFλは、その波長で測った光学的深さ τλ＝２/３のところでの源泉関数S（τλ＝２/３）で決まる。LTEを仮定して Sλ=Bλ（T)とすると、Fλ＝πBλ（T)　ただし、T=τλ＝２/３の深さの温度。 TはτRの関数で与えられているから、τλ＝２/３がτRでいくつかが問題。 これは、 と考えて、 で決まる。

22. ここに、 Ｆλ Ｂλ（Ｔｅ） 結局、Ｆλ＝πＢλ (Ｔ) 　　　　　　ただし、 λ κλ＝ κＲＦλ＝πＢλ [Te] κλ< κＲ Ｆλ＝πＢλ [T>Te] κλ> κＲ Ｆλ＝πＢλ [T<Te] κλが小さいと深い所を見るのでＦλは大きくなる。 κλ κＲ λ

23. Ｋ．３．恒星スペクトルのモデル 前節と同じ線形大気モデルで、連続スペクトルを扱うと、星のスペクトルは　 で表される。 Ｆλ Ｂλ（Ｔｅ） λ κλ κλ＝ κＲＦλ＝πＢλ [Te] κλ< κＲ Ｆλ＝πＢλ [T>Te] κλ> κＲ Ｆλ＝πＢλ [T<Te] κＲ まず、κλとκRを求める必要がある。 λ

24. こうして、Te、ｋλ、ｋR　が揃ったので、ある波長λでτλ＝２／３になる深さでの温度T（λ）はエディントン大気を仮定して下のように求められる。こうして、Te、ｋλ、ｋR　が揃ったので、ある波長λでτλ＝２／３になる深さでの温度T（λ）はエディントン大気を仮定して下のように求められる。 恒星表面でのフラックス　W(λ）＝λ・F(λ）　はしたがって、 以下に、このようにして求めた、ｋλ、W(λ)をグラフで示す。

28. K.４．連続吸収とバルマージャンプ 以下の5種の大気について、連続吸収の大きさを計算してみよう。 吸収係数　ｋ（ｃｍ－１）＝ｋ（Ｈｂ－ｆ）＋ｋ（Ｈ-ｂ－ｆ）＋ｋ（Ｈ-ｆ－ｆ） 　　 ＝n1σ1+ n２σ２+ n３σ３+n４σ４+N－σｂｆー+NeN－α－ｆｆ スペクトル型　　　Ｔ　　　　　　Ｐｇ（erg/cm3）　　　　Ｐｅ（erg/cm3） K7 　４,０００　　　　100,000 0.18 G0 ６,０００ 62,00014.0 　Ａ９ 　　　　　　 ７,５００ 17,000 130 　 Ａ０ １０,０００ 　1,300 420 Ｂ０．５　　　　 ２５０００ 1,900 904.7 以下の表とグラフに示すように、T=25,000Kから　10,000Kでは、バルマー端λ＝０．３６４８μで起きるκの変化が大きくなっていった。これは、温度が下がるため（n２/n３)が大きくなったからである。さらに温度が下がると、 （n２/n３) がより大きくなるが、低温になるとグラフに示される通りＨ－のｂ－ｆ吸収が効いてくるので、バルマー端でのκのジャンプは目立たなくなってくる。

29. ５．５．２色図29 可視域ではA0型星のカラーを０とし、他の星のカラーはそれを基準にして決めている。先に求めたTe=10000KのスペクトルをA0型と考えて、U-B,B-Vという２つのカラーを求めてみよう。有効波長はU,B,Vでλ＝0.36, 0.44, 0.55 μｍとする。 　　　　　 Ｔ　　　 Fλ（U）　　　 Fλ（B）　　　 Fλ（V） U-B B-V K7 ４０００　 　2.69E+06 4.82E+06 7.30E+06 -0.05 1.22 G0 ６０００ 7.02E+07 9.69E+07 8.51E+07 -0.33 0.63 F０ ７５００　　1.50E+08 3.14E +08 2.17E+08 0.12 0.37 Ａ０ １００００ 6.10E+08 1.14E+09 5.61E+08 0.0 0.0 Ｂ1 ２５０００ 1.21E+10 8.52E+09 3.65E+09 -1.06 -0.15

30. モデルスペクトルの２色図 B1 -1.0 U-B -0.5 G0 K7 0 A0 F0 0.5 1.0 0 B-V