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§ 20.4 正方形的判定

§ 20.4 正方形的判定. 合兴初级中学 唐臣. A. D. B. C. 2. 正方形的性质 :. 正方形的性质定理 1 :. 正方形的四个角都是直角。. 正方形的四条边都相等. 正方形的性质定理 2 :. 正方形的两条对角线相等. 正方形的两条对角线互相垂直平分. 正方形的每条对角线平分一组对角. 选择题: 1 、正方形具有而菱形不一定有的性质是( )。 ( A )四条边相等; ( B )对角线互相垂直平分; ( C )对角线平分一组对角; ( D )对角线相等。.

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§ 20.4 正方形的判定

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  1. § 20.4 正方形的判定 合兴初级中学 唐臣

  2. A D B C 2. 正方形的性质: 正方形的性质定理1: 正方形的四个角都是直角。 正方形的四条边都相等. 正方形的性质定理2: 正方形的两条对角线相等. 正方形的两条对角线互相垂直平分. 正方形的每条对角线平分一组对角.

  3. 选择题: 1、正方形具有而菱形不一定有的性质是( )。 (A)四条边相等; (B)对角线互相垂直平分; (C)对角线平分一组对角; (D)对角线相等。 2、正方形具有而矩形不一定有的性质是( )。 (A)四个角相等; (B)对角线互相垂直平分; (C)对角线相等; (D)对角互补。

  4. 平行四边形,矩形,菱形,正方形的关系?

  5. 矩形 菱形 平行四边形 四边形 正方形 基于这些关系,你认为判定一个图形是正方形能有哪些方法呢?

  6. 一组邻边相等 有一个直角 正方形 一个角是直角且一组邻边相等 一组邻边相等 有一个直角

  7. 正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

  8. 正方形判定: 1、有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形; 2、有一组邻边相等的矩形是正方形; 3、有一个角是直角的菱形是正方形。

  9. 练习:判断 (1)四个角都相等的四边形是正方形。 (2)四条边都相等的四边形是正方形。 (3)对角线相等的菱形是正方形。 (4)对角线互相垂直的矩形是正方形。 (5)对角线垂直且相等的四边形是正方形。 (6)四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形。

  10. A D E B C F 例1.已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F. 求证:四边形DEBF是正方形. 证明:∵ DF⊥BC,DE⊥AB, ∴ ∠DEB= ∠DFB=90°, 而∠ABC=90°, ∴四边形DEBF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形) ∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB, ∴ DE= DF( 角平分线上的点到角的两边距离相等), ∴四边形DEBF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).

  11. D′ A D 2 1 A′ C′ 3 B C B′ 已知:如图,点A′B′C′D′分别是正方形 ABCD四条边上的点,并且AA′=BB′=CC′=DD′ 求证:四边形A′B′C′D′是正方形 证明: ∵四边形ABCD是正方形 (正方形的四条边都相等) ∴AB=BC=CD=DA 又 AA′=BB′=CC′ =DD ′ ∴ D ′ A = A ′B = B ′C = C ′D ( 正方形的四个角都是直角) ∵∠A =∠B =∠C =∠D=900 ∴ △AA ′D ′≌△BB ′A ′≌△CC ′B ′≌△DD ′C ′ ∴ D ′ A ′ =A ′ B ′ =B ′ C ′ =C ′ D ′ (四条边相等的四边形是菱形) ∴ 四边形 A′B′C′D′是菱形 ∴ ∠1 + ∠ 3=900 又 ∠2 =∠ 3 ∠ 1 +∠ 2=900 ∵ ∠ D′A′B′= 1800-( ∠1 + ∠ 3)=900 (有一个角是直角的菱形是正方形) ∴ 四边形 A′B′C′D′ 是正方形

  12. 活动2:在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F. 1)试说明:DE=DF 2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形. 请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外 添加辅助线,无需证明)

  13. D A P F B C E 例2如图所示,正方形ABCD中,P为BD上一点,PE⊥BC于E, PF⊥DC于F。试说明:AP=EF 解: 连接PC ∵PE⊥BC , PF⊥DC 而四边形ABCD是正方形 ∴∠FCE=90° ∴四边形PECF是矩形 ∴PC=EF 又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形 ∴AP=PC ∴AP=EF

  14. 已知:如图(4)在正方形ABCD中,F为CD延长线 上一点,CE⊥AF于E,交AD于M,    求证:∠MFD=45° 分析: 欲证∠MFD=45°,由于 △MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证 _____=_____ 要证MD=FD,大家只须证得哪两个三角形全等? 试一试 看能不能完成证明??? △CMD≌△ADF

  15. 例3.已知:如图(4)在正方形ABCD中,F为CD延长线上一点,CE⊥AF于E,交AD于M,求证:∠MFD=45°例3.已知:如图(4)在正方形ABCD中,F为CD延长线上一点,CE⊥AF于E,交AD于M,求证:∠MFD=45° 证明:  ∵CE⊥AF ∴∠ADC=∠AEM=90°又∵∠CMD=∠AME ∴∠1=∠2 又∵CD=AD,∠ADF=∠MDC ∴Rt△CDM≌Rt△ADF(AAS) ∴DM=DF 下面的证明请大家完成

  16. 如图(6),△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG,连结BG、CE,交点为N。求证:∠CEA=∠ABG如图(6),△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG,连结BG、CE,交点为N。求证:∠CEA=∠ABG 分析:欲证∠CEA=∠ABG, 大家想一想证明两个角相等的方法, 你有办法了吗???通过自己的努力,看能不能解决问题? 证明:∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。    ∴AE=ABAG=AC ∠1=∠2=90°    又∵∠EAC=∠1+∠BAC=90°+∠BAC     ∠BAG=∠2+∠BAC=90°+∠BAC    ∴∠EAC=∠BAG    ∴△AEC≌△ABG(SAS)    ∴∠CEA=∠ABG

  17. 谢 谢 ! 再见!

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