4.1 弦和弧

1. 圓的基本性質 (1) 4 目錄 4.1 弦和弧 4.2 圓上的角 4.3 圓內接四邊形的基本性質

2. 4.1 弦和弧 A. 圓的基本名詞 定義 4.1： 1. 圓是平面上的一條閉曲線，而在曲線上的每一點均與一固定點等距。 2. 該固定點稱為圓心。 3. 曲線的長度稱為圓周。 圖 4.15

3. 4.1 弦和弧 A. 圓的基本名詞 定義 4.2： 1. 弦是兩端點都位於圓周上的線段。 2. 半徑是連接圓心及圓周上任意一點的線段。 3. 直徑是通過圓心的弦。 圖 4.16

4. ︵ 弧是圓周的一部份。劣弧（以AB代表）是長度小於圓周一半的弧，而優弧（以AXB代表）則是長度大於圓周一半的弧。 ︵ ︵ 　　 在圖4.18中，APB（或弦AB）所對的∠AOB的頂點在圓心O上，因此∠AOB 是一個圓心角。 4.1 弦和弧 A. 圓的基本名詞 定義 4.3： 圖 4.17 定義 4.4： 圓心角是一段弧或一條弦所對而頂點在圓心上的角。 圖 4.18

5. 4.1 弦和弧 B. 弦和弧的基本性質 定理 4.1： 在同一個圓中，若圓心角相等，則它們所對的弦皆相等。 即若x = y， 則AB = CD。 （引用時可簡寫為：等角對等弦） 圖 4.21 反過來說，在同一個圓中，相等的弦所對的圓心角皆相等。 即若AB = CD， 　　則x = y。 （引用時可簡寫為：等弦對等角）

6. 即若p = q， 則AB = CD。 ︵ ︵ ︵ ︵ 即若AB = CD， 則p = q。 4.1 弦和弧 定理 4.2： 在同一個圓中，若圓心角相等，則它們所對的弧皆相等。 （引用時可簡寫為：等角對等弧） 反過來說，在同一個圓中，相等的弧所對的圓心角皆相等。 圖 4.23 （引用時可簡寫為：等弧對等角）

7. 即若AB = CD， 　　則AB = CD。 ︵ ︵ ︵ ︵ 即　若AB = CD， 　　則AB = CD。 4.1 弦和弧 定理 4.3： 在同一個圓上，相等的弦所截出的弧皆相等。 （引用時可簡寫為：等弦對等弧） 圖 4.24 反過來說，在同一個圓中，相等的弧所對的弦皆相等。 （引用時可簡寫為：等弧對等弦）

8. ︵ ︵ 即　AB: PQ = θ:ψ ︵ ︵ AB : PQ ≠ AB : PQ。 4.1 弦和弧 定理 4.4： 在同一個圓中，弧的長度與所對的圓心角的大小成比例。 （引用時可簡寫為：圓心角與所對的弧成比例） 注意： • 在同一個圓中，不同的弦與所對的圓心角並不成比例，AB : PQ ≠ θ: ψ。 圖 4.31 在同一個圓中，不同弦與所截出的弧並不成比例，即

9. 4.1 弦和弧 C. 圓的弦 定理 4.5： 由圓心畫一垂直線至圓上任意一弦必平分該弦。 即若OP ⊥ AB， 則AP = BP。 （引用時可簡寫為：圓心至弦的垂線平分弦） 圖 4.43

10. 4.1 弦和弧 C. 圓的弦 定理 4.6： 連接圓心至圓上任意一弦的中點的直線必垂直於該弦。 即若AP = BP， 則 OP ⊥ AB。 （引用時可簡寫為：圓心至弦中點的連線垂直弦） 圖 4.45

11. 4.1 弦和弧 定理 4.7： 若兩條弦的長度相等，則兩者與圓心等距。 即若AB = CD， 　　則OP = OQ。 （引用時可簡寫為：等弦與圓心等距） 圖 4.53 定理 4.8： 若兩條弦與圓心等距，則兩者的長度必定相等。 即若OP = OQ， 則AB = CD。 （引用時可簡寫為：與圓心等距的弦等長） 圖 4.55

12. 4.2 圓上的角 A. 圓周角 定義 4.5： 圓周角是一段弧或一段弦所對而頂點在圓周上的角。 定理 4.9： (i) (ii) (iii) 圖 4.87(c) 圖 4.87(b) 圖 4.87(a) 在以上各圖中，一段弧所對的圓心角等於該弧所對的圓周角的兩倍。這意味著θ= 2ψ。 （引用時可簡寫為：圓心角兩倍於圓周角）

13. 若 a = b， 則AB = BC （或AB = BC）。 ︵ ︵ ︵ ︵ 即AB = BC （或AB = BC）， 則　 a = b。 4.2 圓上的角 定理 4.10： 在同一個圓中，若圓周角相等，則它們所對的弦（或弧）皆相等。 （引用時可簡寫為：等角對等弦 / 弧） 反過來說，在同一個圓中，相等的弦（或弧）所對的圓周角皆相等。 圖 4.90 （引用時可簡寫為：等弦 / 弧對等角）

14. ︵ ︵ 即　AB : PQ = a : b。 4.2 圓上的角 定理 4.11： 在同一個圓中，弧的長度與其所對的圓周角成比例。 （引用時可簡寫為：圓周角與所對的弧成比例） 圖 4.91

15. 如圖 4.98 所示，若O，為圓心及AB為直徑，則APB 為半圓及∠APB 稱為半圓上的圓周角。 ︵ 4.2 圓上的角 B. 半圓上的圓周角 定義 4.6： 圖 4.98

16. 4.2 圓上的角 定理 4.12： 半圓上的圓周角為90°。 （引用時可簡寫為：半圓上的圓周角） 圖 4. 99 （引用時可簡寫為：半圓上的圓周角的逆定理）

17. ︵ 在圖 4.106 中，由弦AB及APB所圍成的區域稱為弓形APB。 而由弦AB 及AQB所圍成的區域稱為弓形AQB。 ︵ 4.2 圓上的角 C. 同弓形內的圓周角 定義 4.7： 假設圓形的面積為A。 圖 4.106

18. 4.2 圓上的角 定義 4.8： 在圖 4.107 中，∠APB及 ∠AQB 稱為同弓形內的圓周角。 圖 4.107 定理 4.13： 所有同弓形內的圓周角皆相等。 即若AB 為一弦， 　 則∠APB = ∠AQB。 （引用時可簡寫為：同弓形內的圓周角） 圖 4.109

19. 4.3 圓內接四邊形的基本性質 A. 圓內接四邊形的對角 定義 4.9： 1. 若一四邊形的所有頂點均在一圓形上，則此四邊形稱為圓內接四邊形。 2. 在圖 4.145 中，ABCD是一圓內接四邊形。∠A及 ∠C 為圓內接四邊形的一組對角，而∠B及 ∠D 又是另一組對角。 圖 4.145

20. 　　　　即　　　 及 4.3 圓內接四邊形的基本性質 定理 4.14 圓內接四邊形的對角互補。 （引用時可簡寫為：圓內接四邊形對角） 圖 4.147

21. 4.3 圓內接四邊形的基本性質 B. 圓內接四邊形的外角 定理 4.15: 圓內接四邊形的任何一個外角與其內對角相等。即ψ=θ。 （引用時可簡寫為：圓內接四邊形外角） 圖 4.153

22. 4.3 圓內接四邊形的基本性質 C. 共圓點的驗證法 定義 4.10： 若一些點位於同一個圓上，則我們稱這些點為共圓。 例如：在圖4.159中，A、B、C、D及 E為共圓點。 圖 4.159 定理 4.16：（定理 4.13的逆定理） 在圖 4.160中，若 p=q，則 A、B 、C及 D 四點共圓。 （引用時可簡寫為：同弓形內的圓周角的逆定理） 圖 4.160

23. 4.3 圓內接四邊形的基本性質 定理 4.17：（定理 4.14的逆定理） 在圖 4.161中，若 a + c= 180° （或b + d=180°）， 則 A、B、C及 D 四點共圓。 （引用時可簡寫為：對角互補） 圖 4.161 定理 4.18：（定理 4.15的逆定理） 在圖 4.162中，若p = q，則 A、B、C及 D 四點共圓。 （引用時可簡寫為：外角 = 內對角） 圖 4.162