Chapitre IV. Structures linéaires (piles, files, listes chaînées)

1. Chapitre IV. Structures linéaires (piles, files, listes chaînées) Type de données abstrait Pile File Liste

2. Introduction • Du problème au programme : • Deux démarches : • (1)descendante construire un algorithme par raffinements successifs, • Représentation des données : Type de Données Abstrait, • L’implémentation concrète n’est pas connue. • (2)ascendante : on se donne une représentation concrète du type de données en terme d’objets du langage de programmation utilisé, ainsi que des procédures ou des fonctions correspondant aux opérations du type. • (1) est plus avantageuse. • En réalité, le processus de programmation est la combinaison des deux.

3. 1.Type de données abstrait • La conception d’un algorithme complexe se fait toujours en plusieurs étapes qui correspondent aux raffinements successifs. La première version de l’algorithme est autant que possible indépendante d’une implémentation particulière. En particulier la représentation des données n’est pas fixée. • A ce premier niveau les données sont considérées de manière abstraite : on se donne - une notation pour les décrire; - l’ensemble des opérations qu’on peut leur appliquer; - les propriétés de ces opérations. (ex. dans plusieurs langages de programmation on manipule le type « réel » sans forcément connaître la représentation interne)

4. Signature d’un TDA(1) • La signature d’un type de données décrit la syntaxe du type (nom des opérations, type de leurs arguments), mais elle ne définit pas les propriétés (sémantique) des opérations du type. • La signature d’un type abstrait est la donnée : • - de noms d’un certain nombre d’ensembles des valeurs (ex.Booléen, Entier, Liste) – « sortes » (types). La définition d’un type fait souvent intervenir plusieurs sortes • -de noms d’un certain nombre d’opérations et de leurs profils; le profil précise à quels ensembles de valeurs appartiennent les arguments et le résultat d’une opération.

5. Signature d’un TDA(2) • Type Vecteur, utilise Elément ,Entier • Opérations • i-ème :Vecteur x Entier->Elément • changer-i-ème : Vecteur x Entier x Elément ->Vecteur • bornesup : Vecteur->Entier • borneinf : Vecteur->Entier • Opérations : avec arguments et sans arguments. • Une opération qui n’a pas d’arguments est une constante • Exemple : • 0 : ->Entier • Vrai :->Booléen • Hiérarchie des types, « sortes » prédéfinis.

6. Axiomes(1) • Problème : donner une signification (une sémantique) aux noms de la signature : sortes et opérations; • Enoncer les propriétés des opérations sous formes d’axiomes. • Exemple (pour Vecteur) • Axiome 1 • Borneinf(v)<i<Bornesup(v)->i-ème(changer-ième(v,i,e),i)=e • v,i,e sont des variables respectivement de sortes Vecteur, Entier et Elément • Signification : si i est compris entre les bornes d’un vecteur v, quand on construit un nouveau vecteur en changeant le i-ème élément du vecteur v par e et ensuite on accède au i-ème élément, on obtient e • Cette propriété est satisfaite quelles que soient les valeurs, de sortes convenables, données aux variables, (axiome)

7. Axiomes(2) • Axiome (2) • Borneinf(v)<i<Bornesup(v)& Borneinf(v)<j<Bornesup(v)&i!=j • ->i-ème(changer-ième(v,i,e),j)=i-ème(v,j) • Signification : seul le i-ème élément a changé dans le nouveau vecteur. • La définition d’un TDA est donc composée d’une signature et d’un ensemble d’axiomes. • Les axiomes sont accompagnés d’un certain nombre de variables. Ce type de définition s’appelle une définition algébrique ou axiomatique d’un type abstrait. • Problème de consistance (pas d’axiomes contradictoires) • Problème de complétude (est-ce que l’ensemble des axiomes proposé est suffisant ). • Pour les types abstraits algébriques la règle de complétude est définie comme « on doit pouvoir déduire une valeur pour tous les observateurs sur tout objet d’une sorte définie appartenant au domaine de définition de cet observateur. Le domaine de définition d’une opération partielle est défini par une précondition.

8. Axiomes(3) • Préconditions : • Définissons une opération de « création » d’un vecteur vide • Vect : Entier x Entier ->Vecteur • Avec les axiomes • Borneinf(vect(i,j))=i • Bornesup(vect(i,j))=j • L’opération i-ème ne peut pas être appliquée sur un vecteur pour lequel on n’a pas de valeurs d’éléments. • Une nouvelle opération qui « teste » si un élément a été associé à un certain indice : • Init: Vecteur x Entier -> Booléen • Axiomes : • Init(vect(i,j),k)=faux • (borneinf(v)<i<bornesup(v)->(init(changerième(v,i,e),i)=vrai) • (borneinf(v)<i<bornesup(v)&i!=j)->(init(changer-ième(v,i,e),j)=init(v,j)) • Précondition sur l’opération i-ème : • L’opération i-eme est définie ssi : • Borneinf(v)<i<bornesup(v)&init(v,i)=vrai • *exemple en c++ ( accès à l’espace –mémoire non-alloué)

9. Structures linéaires. Pile • Piles, Files, Listes font partie des structures dynamiques linéaires. • Les opérations sur un ensemble dynamique peuvent être regroupées en deux catégories : • les requêtes (consultation); • les opérations de modification. Les opérations classiques : rechercher(S,clé), Insertion(S,elt), Supression(S,elt), Min(S),Max(S), Successeur(S,elt), Prédécesseur(S,elt)…

10. Pile • Pile est un ensemble dynamique dans lequel l’élément supprimé est celui le plus récemment inséré : dernier entré-premier sorti LIFO • Opérations : • Insérer = Empliler • Supprimer = Dépiler • Valeur= Recherche • (toujours l’élément pointé par le sommet) • Illustration graphique dans le cas d’implémentation par un tableau N S

11. TDA Pile • Type Pile • utilise Booléen, Elément • Opérations Pile-vide : ->Pile {création d’une pile vide PV(P)} Empiler : Pile x Element ->Pile {EP(P,a)} Dépiler : Pile ->Pile {supprimer le dernier DP(P)} Valeur : Pile->Elément {renvoie l’élément au sommet sans modifier la pile VP(P)} Est-vide : Pile->Booléen {test si la pile est vide EV(P)} Les opérations Dépiler et Valeur ne sont définies que si la pile n’est pas vide Dépiler(P) est-défini-ssi est-vide(P)=faux Valeur(P) est-défini-ssi est –vide(P)=faux • Axiomes Dépiler(Emplier(P,e))=P Valeur(empiler(P,e))=e Est-vide(Pile-vide)=vrai Est-vide(Empiler(P,e))=faux

12. Evaluation d’une expression • A l’aide des opérations et des axiomes du TDA Pile évaluer l’expression suivante : • EV(DP(DP(EP(EP(PV,a)),b)))?

13. Pile. Implémentation à l’aide d’un tableau(1) • Type Pile = enregistrement • sommet : entier; • elts : tabelau [1..lmax] d’Element • FinEnregistrement • Procédure Pile-vide(réf P: Pile) • Début P.sommet:=0; Fin Pile-vide; Procédure Empiler(réf P: Pile, val X : Elément); Procédure Dépiler(réf P: Pile); Fonction Valeur(val P: Pile) : Elément; Fonction Est-vide(val P: Pile) : Booléen;

14. Pile. Implémentation à l’aide d’un tableau(2) Procédure Empiler(réf P: Pile, val X : Elément) Début Si P.sommet=lmax Alors Erreur « débordement » Sinon P.sommet:=P.sommet+1; P.elts[P.sommet]:=X; FinSiFinEmpiler Remarque : chacune des opérations (Empiler, Dépiler) consomme le temps en O(1) Problème: Expliquer comment implémenter deux piles dans un tableau A[1..n] de telle manière qu’aucune ne déborde à moins que le nombre total d’éléments des deux piles vaille n. Les opérations Empiler et Dépiler devront s’exécuter dans un temps en O(1)

15. TDA File(1) • Dans le cas d’une file on fait les adjonctions à une extrémité, les accès et les suppressions à l’autre extrémité. • Les files sont aussi appelées FIFO ( first –in –first out) : premier-entré-premier-sorti • Une file comporte une tête et une queue. Les éléments sont donc retirés et consultés dans la tête et rajoutés dans la queue T Q

16. TDA File(2) • Type File • utilise Booléen, Elément • Opérations File-vide : ->File {création d’une file vide FV(F)} Enfiler : File x Elément ->File {EF(F,a)} Défiler : File ->File {supprimer le dernier DF(F)} Valeur : File->Elément {renvoie l’élément au sommet sans modifier la file VF(F)} Est-vide : File->Booléen {test si la file est vide EV(F)} Les opérations Défiler et Valeur ne sont définies que si la file n’est pas vide Défiler(F) est-défini-ssi est-vide(F)=faux Valeur(F) est-défini-ssi est –vide(F)=faux • Axiomes Est-vide(F)=vrai => Valeur(Enfiler(F,e))=e Est-vide(F)=faux => Valeur(Enfiler(F,e))=Valeur(F) Est-vide(F)=vrai => Défiler(Enfiler(F,e))= File-vide Est-vide(F)=faux => Défiler(Enfiler(F,e))=Enfiler(Défiler(F),e) Est-vide(File-vide)=vrai Est-vide(Enfiler(F,e))=faux

17. Représentation contiguë des files • Moyens de représentation : tableau i<j 0 i j Lmax-1 i>j 0 j i Lmax-1 i=j 0 Lmax-1 File vide i=j Lmax-1 0 File pleine ? On fait progresser les indices modulo taille Lmax du tableau

18. Représentation contiguë des files(2) • Gérer les débordements (1) Enfiler • j:=j+1 mod lmax • Si j=i alors File-pleine • sinon • Si File-vide(F) alors i:=j; FSi • Tab[j]:=e; • FSI (2) Défiler Si !File-vide(F) • i:=i+1 mod lmax e:=Tab[i]; Si i:=j alors j:=-1; i:=-1; FSi (3) File vide  i=-1et j=-1

19. Listes chaînées(1) • Une liste chaînée est une structure de données dans laquelle les objets sont arrangés successivement … nil élément pointeur maillon Liste=pointeur …

20. Listes chaînées(2) • Type Liste = ^Maillon; • Type Maillon = Enregistrement Elt : Elément; Suivant : Liste Fin; Déclaration d’une liste : L : Liste

21. Listes • Listes contigües : ex. tableau des entiers = liste contigüe des entiers • Listes chaînées : adressage à l’aide de « Suivant » • Définition récursive :

22. Listes • Exemple • (8,5,6,7,4,8) • L:=<8,L1> • L1:=<5,L2> • L2:=<6,L3> • L3:=… • L5:=<8,L6> • L6:=

23. TDA Liste(1) • Opérations • ListeVide? : Liste ->Booléen • Tête : Liste->^Maillon • Valeur : ^Maillon->Elément • Successeur : ^Maillon->^Maillon • EstDernier? : ^Maillon ->Booléen • Longueur : Liste ->Entier • Primitives dynamiques • CréerListe : -> Liste • Insérer Ième : Liste X Entier X Elément -> Liste • Supprimer Ième : Liste X Entier ->Liste • Insérer en Tête : Liste X Elément -> Liste • Supprimer en Tête : Liste -> Liste

24. TDA Liste(3) • D’autres opérations • Ième : Liste X Entier ->Elément • Premier : Liste -> Elément • Fin : Liste ->Liste • Exemple : L=(A,B,C) • Premier(L)=A • Fin(L)=(B,C) • Insérer en Tête(L,D)=(D,A,B,C)

25. TDA Liste (2) • Quelques axiomes : • L≠Liste-Vide=>Premier(L)=Valeur(Tête(L)) • Fin(Insérer en Tête(L, E))=L • L≠Liste-Vide=>Successeur(Tête(L))= Tête(Fin(L))

26. Recherche dans une liste chaînée • Recherche : Liste X Elément ->^Maillon • Fonction Recherche(val L: Liste, E: Elément): Liste • Var PX : Liste; • Début • PX:=Tête(L); • Tant que PX ≠ nil et PX^.Elt ≠E faire PX:=Successeur(PX); • FTq • Retourner PX; • Fin Recherche

27. Insertion dans une liste chaînée • Fonction InsérerenTête(ref L: Liste, val E: Elément) : Liste • Var Tampon : Liste; • new(Tampon);{allocation de mémoire) • Début • Tampon^.elt:=E; • Tampon^.suivant:=Tête(L); • L:=Tampon; • Retourner L; • Fin InserérenTête

28. Suppression dans une liste chaînée • Supprimer Ième: Liste X Entier -> Liste • Procédure SupprimerIème(ref L:Liste, val i: entier, ref erreur booléen); • Var P, PP : Liste; • Debut • Si L = nil alors erreur:=vrai; sinon Si i=1 alors L:=Successeur(L); erreur:=faux; sinon P:=Tête(L); k:=1; Tant que P ≠ nil et k < i-1 PP:=P; P:=P^.suivant; k:=k+1; FTq Si P ≠ nil alors PP^.suivant=Successeur(P); erreur:=faux; FSi FSi FSi FinSupprimerIème