Розв`язування трикутників
Download
1 / 87

????`???????? ??????????? - PowerPoint PPT Presentation


  • 237 Views
  • Uploaded on

Розв`язування трикутників. Синус, косинус, тангенс деяких кутів. Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи. А. c. b. С. В. a.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about '????`???????? ???????????' - conan


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Синус, косинус,

тангенс

деяких кутів


А

c

b

С

В

a


А

c

b

С

В

a


А

c

b

С

В

a


А

c

b

С

В

a


Значення sin, cos, tg

деяких кутів


Таблиця значень

sinα, cos α, tg α, ctg α

для кутів 30°, 45°, 60°


Таблиця значень

sinα, cos α, tg α, ctg α

для кутів 0°, 90°, 180°


Висновок

Для будь – якого кута 0°≤α≤ 180°


Тригонометричні

тотожності



Основна тригонометрична тотожність

Наслідок:


А тотожність

С

В

Знайдемо відношення синуса кута А до косинуса цього кута


В тотожність

С

А

Знайдемо відношення косинуса кута А до синуса цього кута




В тотожність

90-α

С

α

А

Формули зведення

Для будь – якого гострого кута α

sin (90°- α)=cos α

cos (90°- α)=sin α


Наслідок з формул зведення тотожність

Для будь – якого гострого кута α


Формули зведення тотожність

Для будь – якого гострого кута α


Формули зведення тотожність

Для будь – якого гострого кута α


Таблиця значень тотожність

sinα, cos α, tg α, ctg α

для кутів 120°, 135°, 150°


Розв`язування вправ тотожність

Знайдіть:

Використаємо формули:


Розв`язування вправ тотожність

Знайдіть:

Використаємо формули:


Розв`язування вправ тотожність

Знайдіть:

Використаємо формули:


Теорема косинусів тотожність


Теорема тотожністькосинусів

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

a2=b2+c2-2bc cosα

b2=a2+c2-2ac cosβ

c2=a2+b2-2ab cosγ


формула тотожністькосинусабудь-якогокутатрикутника

Косинус деякого кута трикутника дорівнює відношенню суми квадратів сторін, прилеглих до цього кута без квадрата протилежної йому сторони до подвоєного добутку прилеглих до кута сторін.


Наслідки з теореми косинусів тотожність

  • Якщо квадрат найбільшої сторони трикутника менший за суму квадратів двох інших сторін, то трикутник гострокутний. Тобто, якщо а – найбільша сторона й а2< b2+c2, то найбільший А – гострий і ∆ - гострокутний.

  • Якщо квадрат найбільшої сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний. Тобто, якщо а – найбільша сторона й а2= b2+c2, то найбільший А – прямий і ∆ - прямокутний.

  • Якщо квадрат найбільшої сторони більший за суму квадратів двох інших сторін, то трикутник тупокутний. Тобто, якщо а – найбільша сторона й а2> b2+c2, то найбільший А – тупий і ∆ - тупокутний.


Теорема тотожністьпродіагоналіпаралелограма

В

С

D

А

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів двох

суміжних його сторін.

d₂

а

d ₁

b


Теорема синусів тотожність


B тотожність

c

a

γ

b

А

C

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Теорема синусів


Наслідки з теореми синусів тотожність

Наслідок 1.У будь-якому  відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, опосаного навколо цього .

Увага!а=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC


Наслідки з теореми синусів тотожність

Наслідок 2. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, проти більшого кута лежить більша сторона.


M тотожність

C

N

K

Наслідки з теореми синусів

Наслідок 3. (властивість бісектриси) Бісектриса кута  ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін.

KC– бісектриса, тоді


Розв`язування тотожність

трикутників


Розв’язування тотожністьтрикутників

Розв’язати трикутник — означає за відомими його сторонами і кутами знайти невідомі його сторони і кути.

Задачі на розв’язання трикутників поділяються на такі види:

1. за відомими стороною і двома кутами.

2. за відомими двома сторонами і кутом між ними.

3. за відомими двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них.

4. за відомими трьома сторонами.


Розв’язання трикутника за відомими стороною і двома кутами

План розв’язання:

-   Знаходимо третій кут трикутника, враховуючи, що сума всіх внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°.

-   Записуємо теорему синусів для цього трикутника і, обираючи попарно співвідношення сторін і протилежних до них кутів, знаходимо дві інші сторони трикутника.

1


Приклад відомими стороною і двома кутами(за стороною і прилеглими до неї кутами)

A

?

?

?

C

B

a

Дано: ВС=а, В=, С=.

Знайти: АС, АВ, А.

Розв’язання

1. А=180°-(+),

2. За теоремою синусів


Розв’язання трикутника за відомими двома сторонами і кутом між ними

План розв’язування:

-   За теоремою косинусів знаходимо третю сторону.

-   За наслідком із теореми косинусів знаходимо косинуси невідомих кутів трикутника, а по можливості і самі кути.

Зверніть увагу!

Це можна зробити і за допомогою теореми синусів.

2


Приклад відомими двома сторонами і кутом між ними(за двома сторонами і кутом між ними)

A

?

?

b

?

C

B

a

Дано: ВС=а, АС=b, С=.

Знайти: АВ, А, В.

Розв’язання

1.За теоремою косинусів


Розв’язання трикутника за відомими двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них

План розв’язування:

-   За теоремою синусів знаходимо кут, протилежний до другої відомої сторони.

При цьому зверніть увагу, що одному і тому ж

значенню синуса кута відповідають два кути —

гострий і тупий, суміжний із цим гострим кутом.

Враховуйте, що проти більшої сторони лежить

більший кут.

-   Знаходимо третій кут трикутника.

-   За теоремою синусів знаходимо третю сторону

трикутника.

Зверніть увагу!

Ця задача може мати два розв’язки.

3


Приклад відомими двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них(за двома сторонами і кутом, протилежним одній з них)

A

?

b

?

?

C

B

a

Дано: ВС=а, A=, AС=b.

Знайти: АB, C, B.

Розв’язання

1.За теоремою синусів

Увага! З рівності , як правило, знаходять два значення кута В, тому задача може мати два розв’язки.


Розв’язання трикутника за відомими трьома сторонами

План розв’язування:

-   За наслідком із теореми косинусів знаходимо один із кутів трикутника.

-   За теоремою синусів знаходимо два інших кути трикутника.

4


Приклад відомими трьома сторонами(за трьома сторонами)

A

?

с

b

?

?

C

B

a

Дано: ВС=а, АВ=c, AС=b.

Знайти: А, B, C.

Розв’язання

1. За теоремою косинусів

Увага! З цієї рівності, як правило, знаходять два значення кута В, тому задача може мати два розв’язки.


Розв’язування відомими трьома сторонамизадач

Рівень А

Задача 1

Дві сторони трикутника дорівнюють 1 см і√2 см, а кут між ними 45°. Знайдіть третю сторону трикутника.

Розв’язання

Нехай АС=1см, АВ=√2 см, тоді ∠А= 45°

Використовуючи теорему косинусів маємо:

ВС² = АВ ² + АС ² – 2 АВ ·АС cosА.

ВС ²=2+ 1 - √2·1· cos 45°=5

ВС= ± √5

-√5 (не задовольняє)

Отже, ВС=√5см

Відповідь: √5

С

1см

45°

А

В

√2 см


Розв’язування відомими трьома сторонамизадач

Задача 2

Знайди MΔМNК,якщоМN= 8 см, NK=7 см, MK=3 см.

Розв’язання

Використовуючи теорему косинусів маємо:

NK² = MN ²+ MK²– 2MN ·MK· cos M;

49 = 64+ 9 - 2 ·8 ·3cosM ;

48cos M=24;

cos M=24∕48 =1∕2, тоді ∠М=60°

Відповідь: 60°

N

7см

8см

К

М

3см


Розв’язування відомими трьома сторонамизадач

Рівень Б

Задача 3

Одна зі сторін паралелограма на 1 см довша за іншу, а діагоналі дорівнюють 7 см і 11 см. Знайди сторони паралелограма.

Розв’язання

Нехай одна сторона дорівнює х см, тоді інша (х+1)см.

За властивістю діагоналей маємо: 72+112=2x2+2(x+1)2

49+121=2x2+2x2+4х+2

4x2+4х-168=0

x2+х-42=0 За теоремою Вієта x1=6, x2=-7

x=-7 – не задовольняє умови задачі,

тому х=6, х+1=7.

Отже, одна сторона - 6 см, а інша – 7см.

Відповідь:6 см, 7 см.

7см

11см

х

x+1


Розв’язування відомими трьома сторонамизадач

Рівень В

Задача( теорема Стюарта)

Якщо а, в, с – сторони трикутника АВС і точка Dділить сторону ВС на відрізки ,то

Розв’язання

Нехай

Застосувавши теорему косинусів для ΔADC іΔADB маємо:

А

с

в

С

В

а1

а2

D


Помноживши відомими трьома сторонамирівність (1) на а₁, а рівність (2) на а₂і почленно додавши маємо:

Отже:

Що і треба було довести.


Розв`язування відомими трьома сторонами

прикладних задач


Розв’язування відомими трьома сторонамиприкладнихзадач

Розв’язування прикладних задач ґрунтується на розв’язуванні трикутників.

Основні види задач :

1. Задачі на знаходження відстані до недоступного пункту.

2. Задачі на знаходження відстані між двома доступними пунктами, якщо безпосереднє вимірювання неможливе.

3. Задачі на знаходження висот предмета, основа якого недоступна.


Задача типу 1 відомими трьома сторонами

Знайдіть відстань від точки А до недоступної точки В, якщо АС=50м, ∠САВ= 80°, ∠АСВ=72°.


Розв’язання: відомими трьома сторонами

Знайдемо спочатку кут В:

∠В=180°-(80°+72°)=28°.

Тоді за допомогою теореми синуса знаходимо відстань АВ:

Відповідь:≈48,3см


Задача типу 2 відомими трьома сторонами

На будівництві залізниці потрібно на ділянці АВ прокласти тунель МN . Обчисліть довжину тунелю, якщо АВ=375м, СВ=400м, АМ=73м, NВ=146м.


Розв’язання: відомими трьома сторонами

Використовуючи теорему косинусів маємо:

АВ² = АС²+СВ ²–2 АС ·СВ cosС

АВ² = 375²+ 400²–2·375 ·400 cos92°

cos92°= cos(90°+2°)=sin2°=0,349

АВ²=195925

АВ≈443м

MN≈443-(73+146)≈224(м)

Відповідь:≈224м


Задача типу 3 відомими трьома сторонами

Знайти висоту вежі, яка відокремлена від вас річкою.


Розв’язання: відомими трьома сторонами

На горизонтальній прямій, яка проходить через основу вежі, позначимо дві точки С та С₁;СС₁=h

Виміряємо

За теоремою синусів, з трикутника АВС дістанемо:

Розглянемо ΔABD:

Запишемо ВК:


Практичне застосування теореми синусів

Завдання. Знайти відстань від пункту А до недоступного пункту С.(див. мал.)

Розв'язання

На місцевості виберемо точку В так, щоб з неї було видно пункт С і можна було б виміряти відрізок АВ.

Потім виміряємо, наприклад, за допомогою астролябії кути А і В.

Нехай АВ=60 м, А=51, В=63. Знайдемо спочатку кут С.

С = 180 - (51 + 63) = 66.

Тоді за допомогою теореми синусів знаходимо відстань від А до недоступного пункту С.

Відповідь: 58,5 м


Площі синусів

трикутника

та чотирикутника


Види многокутників синусів

трикутник

трапеція

паралелограм

Довільний

чотирикутник

прямокутник

ромб

квадрат


Площа прямокутника синусів

b

a

d1

φ

d2


Площа квадрата синусів

a

a

a

d


Площа паралелограма синусів

hb

b

ha

a

d1

b

φ

φ

d2

a


Площа ромба синусів

d1

a

h

d2

a

r

a

φ

a


Площа трикутника синусів

ha

a

b

φ

a


Площа трикутника синусів

a

a

a

b

φ

a

a

a


b синусів

a

r

r - радіус вписаного кола

c

a

b

R

, де R – радіус описаного кола

c

Формула Герона

b

a

р - півпериметр

c


Площа трапеції синусів

a

h

b

φ

d2

d1

,де c – середня лінія

c

h


b синусів

d1

r

a

φ

c

d2

d

a

b

d

c

Площа довільного чотирикутника

(для описаного чотирикутника)

(для вписаного чотирикутника)


Перевір себя синусів


ad