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数 理 统 计

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数 理 统 计. 第六章 数理统计的基本概念. 关键词: 总 体 个 体 样 本 统 计 量 . 引言: 数理统计学 是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道,由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性,因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察,各种结果的规律性一定能清楚 地呈现,但是实际上所允许的观察永远是有限 的,甚至是 少量的。. 例如:若规定灯泡寿命低于 1000 小时者为次品, 如何确定次品率?由于灯泡寿命试验是破坏性

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第六章 数理统计的基本概念

关键词:

总 体

个 体

样 本

统 计 量

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引言:数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道,由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性,因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察,各种结果的规律性一定能清楚 地呈现,但是实际上所允许的观察永远是有限 的,甚至是 少量的。

例如:若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品,

如何确定次品率?由于灯泡寿命试验是破坏性

试验,不可能把整批灯泡逐一检测,只能抽取

一部分灯泡作为样本进行检验,以样本的信息

来推断总体的信息,这是数理统计学研究的问

题之一。

slide4
§1 总体和样本
  • 总体:研究对象的全体。如一批灯泡。
  • 个体:组成总体的每个元素。如某个灯泡。
  • 抽样:从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。
  • 随机样本:随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,…,Xn),n为样本容量
  • 简单随机样本:满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,…,Xn)称 为简单随机样本。

1.代表性: 每个Xi与X同分布

2.独立性: X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量

[说明]:后面提到的样本均指简单随机样本,由概率论知,若总体X 具有概率密度f(x),

则样本(X1,X2,…,Xn)具有联合密度函数:

slide5
总体X的分布函数
  • 从总体中任取一个个体是随机试验的一个观察值,把它记为X,它是一个随机变量,所以总体有时也用对应的随机变量X表示,X分布F也表示总体分布。
slide15
总体分布

.3

.2

.1

0

1

2

3

4

样本均值的一个例子

设一个总体,含有4个元素(个体)。4 个个体分别为1、2、3 、4 。总体的均值、方差及分布如下

slide16
所有可能的n = 2 的样本(共16个)

第一个

观察值

第二个观察值

1

2

3

4

1

1,1

1,2

1,3

1,4

2

2,1

2,2

2,3

2,4

3

3,1

3,2

3,3

3,4

4

4,1

4,2

4,3

4,4

现从总体中抽取n=2的简单随机样本,在重复抽样条件下,共有42=16个样本。所有样本的结果如下表

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16个样本的均值 x

.3

第一个

观察值

第二个观察值

1

2

3

4

.2

P ( x )

1

1.0

1.5

2.0

2.5

.1

2

1.5

2.0

2.5

3.0

0

3

2.0

2.5

3.0

3.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4

2.5

3.0

3.5

4.0

样本均值的抽样分布

x

 计算出各样本的均值,如下表。并给出样本均值的抽样分布

slide18
样本均值的均值和方差

比较及结论:1. 样本均值的均值(数学期望)等于总体均值

2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n

slide19
.3

.3

.2

.2

.1

.1

P ( x )

0

0

1

2

3

4

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

x

样本均值的分布与总体分布的比较

总体分布

抽样分布

 = 2.5

σ2 =1.25

william gosset 1876 1937
William Gosset(1876-1937)
  • 1908年提出t-分布
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=10

n = 4

n =16

 = 50

X

抽样分布

总体分布

X

样本均值的抽样分布与中心极限定理

当总体服从正态分布N (μ,σ2 )时,来自该总体的容量为n的样本的均值X服从N(μ,σ2/n)

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一个任意分布的总体

当样本容量足够大时(n 30) ,样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布

X

中心极限定理(图示)

中心极限定理:设从均值为,方差为2的一个任意总体中抽取容量为n的样本,当n充分大时,样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布

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复习思考题 6

1.什么叫总体?什么叫简单随机样本?总体X的样本X1,X2,…,Xn有

哪两个主要性质?

2.什么是统计量?什么是统计量的值?

3.样本均值和样本方差如何计算?

4.N(0,1)分布,t分布,χ2分布和F分布的双侧、下侧、上侧分位点是 如何定义的?怎样利用附表查这些分位点的值?

5.对一个正态总体的三个常用统计量及其分布是什么?

6.对两个正态总体的三个常用统计量及其分布是什么?

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