La Ecuación de Schrödinger

1. Richard Feynman (1918-1988) La Ecuación de Schrödinger I think it is safe to say that no one understands quantum mechanics. Do not keep saying to yourself, if you can possibly avoid it, “But how can it be like that?” because you will get “down the drain” into a blind alley from which nobody has yet escaped. Nobody knows how it can be like that. - Richard Feynman

2. Recapitulemos: • de Broglie: dualidad onda-partícula • Experimento de Young: interpretación probabilística • Principio de Heisenberg: imposible determinar totalmente x y p al mismo tiempo • No se puede determinar exactamente la trayectoria de una partícula .... Pero sí la probabilidad de encontrarla a tiempo t en determinado punto x. • La probabilidad está relacionada con la función de ondasY(x,t) asociada a la partícula • Y es solución de la ec. de ondas: Ec. de Schrödinger

3. Ecuación de Ondas Clásica

4. Hacia la ecuación de Schrodinger

5. La Ecuación de Schrödinger where V = V(x,t) La ec. de Schrödinger para una partícula de energía E que se mueve en una dimensión bajo un potencial V es • La ecuación de Schrödinger es la ecuación fundamental en Mecánica Cuántica. • Igual que las ecuaciones de Newton en mecánica clásica, no se demuestra, sino que se postula.

6. La Ecuación de Schrödinger en 3-D where V = V(x,t) La ec. de Schrödinger para una partícula de energía E que se mueve en una dimensión bajo un potencial V(r,t) es

7. Solución General para V = 0 Probando con una onda plana La onda plana es solución de la ec. de Schrödinger para una partícula libre Luego

8. Normalización y Probabilidad La probabilidad P(x) dx de encontrar la partícula entre x y x + dx está dada por La probabilidad de estar entre x1 y x2 es Como la probabilidad de encontrar la partícula en “algún x” debe ser 1, Y debe estar normalizada

9. Características de la función de ondas • Y es una función compleja. Los observables (x, p, E, …) deben ser reales, pero en gral Y es compleja • Y debe ser finita • Y debe ser monovaluada • Tanto Y como d Y /dx deben ser continuas. (Para que exista la derivada segunda.) • Para que Y esté normalizada, Y0 para x • Las soluciones de la ecuación de ondas que no cumplan las propiedades anteriores no tienen sentido físico.

10. ypara el estado fundamental del átomo de H

11. Comparación de orbitales y probabilidades

12. Valor Esperado El valor esperado de una magnitud dada es el promedio de dicha magnitud. Donde Pi es la probabilidad correspondiente al valor xi. Si x es continua: En mecánica cuántica: Y el valor esperado de una función de x, g(x):

13. Operador Momento • Para encontrar el valor esperado de p se necesita representar p en función de x y t. Considerando la derivada respecto a x de la función de onda para una partícula libre . Estosugiere definir el operador momento Y el valor esperado

14. Operador Energía • Considerando la derivada respecto a t de la función de onda para una partícula libre . Estosugiere definir el operador momento Y el valor esperado

15. La Ec. de Schrödinger usando operadores La energía es: Sustituyendo los operadores: E: K+V: Sustituyendo

16. Ec. de Schrödinger Independiente del Tiempo Cuando el potencial no depende explícitamente del tiempo la ecuación de Schrödinger es separable en variables espaciales y temporales. luego Dividiendo por Y(x,t) Sólo función de t Sólo función de x Cada término debe ser cte. B

17. Ec. Schrödinger Independiente de t Integrando: Comparando con la solución para la partícula libre: Y se obtiene Ec. de Schrödinger Independiente del tiempo

18. Estados Estacionarios • Si el potencial V no depende explícitamente del tiempo la función de onda se puede escribir • La densidad de probabilidad: • Que es cte. en el tiempo. Estados estacionarios.

19. Postulados de la Mecánica Cuántica • El estado de un sistema está completamente definido por su función de onda Y(x,t) • Para cada observable clásico hay un operador lineal y hermítico en mecánica cuántica • En la medida de un observable A sólo se pueden encontrar valores a que son autovalores del operador correspondiente A Y(x,t) = a Y(x,t) • El valor promedio de un observable está dado por su valor esperado • La función de ondas obedece la ec. de Schrödinger,