Análise Exploratória de Dados

1. Análise Exploratória de Dados R – LIG/10 – 2008

2. Objetivos Análise de duas variáveis qualitativas: • obter a tabela de contingência entre duas variáveis qualitativas; • calcular tabelas derivadas da tabela de freqüências absolutas (freqüências relativas, perfis-linha e perfis coluna); • calcular (definir) medida de associação entre duas variáveis qualitativas.

3. Exemplo: pesquisa de mercado • Dados de telemarketing da AT&T (companhia de telefonia americana) • Fonte: James W. Watson (1986) (Splus). • Esta base de dados contém informação sobre 1000 domicílios (linhas). As 10 variáveis (colunas) incluem informações demográficas e informação específica sobre os serviços de telefonia no domicílio.

4. Exemplo (continuação) • Nome, descrição e código das variáveis: • 1) cia – fator indicando se o domicílio usa os serviços de longa distância da companhia AT&T (ATT) ou de outras companhias (OCC). • 2) renda – fator ordenado indicando o nível de renda do domicílio. Os níveis são: <7.5, 7.5|-15, 15|-25, 25|-35, 35|-45, 45|-75, >=75.

5. Nome, descrição e código das variáveis (cont.): • 3) mudancas – fator ordenado indicando o número de vezes que o dono do domicílio mudou-se nos 10 anos precedentes. Os níveis são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 10. • 4) idade – fator ordenado indicando a faixa etária do entrevistado. Os níveis são: 18-24, 25-34, 35-44, 45-54, 55-64, 65+.

6. Nome, descrição e código das variáveis (cont.): • 5) instrucao – fator ordenado indicando o nível de escolaridade do entrevistado. Os níveis são: <HS(ensino fundamental), HS(ensino médio), Voc, Coll, BA e >BA(Pós-graduação). 6) emprego – fator indicando o tipo de emprego do entrevistado. Os níveis são: F, P, R, S, H, U e D. 7) uso – vetor numérico fornecendo o uso médio mensal de telefone do domicílio.

7. Nome, descrição e código das variáveis (cont.): • 8) nonpub – fator indicando se o domicílio possui um número de telefone não listado. 9) plano – fator indicando se o domicílio participou de um plano especial da AT&T, antes da atual política de serviços de telefonia. 10) cartao – fator indicando se o domicílio possuiu um serviço de cartão da AT&T, antes da atual política de serviços de telefonia.

8. Nome, descrição e código das variáveis (cont.): • Os níveis das variáveis nonpub, plano e cartao são Y(Sim), N(Não) e NA(Não disponível). • Os dados estão disponíveis no arquivo telemark.txt. • dados=read.table(“http://www.im.ufrj.br/~flavia/aed06/telemark.txt”,header=T)

9. Atividade 1 • Obter a tabela de dupla entrada das variáveis cia e plano. • Vimos que para obter os totais marginais das respostas por variável, podemos usar o comando table: > table(dados$cia) ATT OCC 504 496 >table(dados$plano) N Y 919 62

10. Tabela de contingência • Para obter a tabela de dupla entrada, também usamos o comando table: table(dados$cia,dados$plano) N Y ATT 454 48 OCC 465 14 Obs.: Dados não disponíveis não são levados em consideração.

11. Freqüências relativas • Para dispor as freqüências relativas em relação ao total, basta pedir round(table(dados$cia,dados$plano)/sum(table(dados$cia,dados$plano)),digits=3) N Y ATT 0.463 0.049 OCC 0.474 0.014

12. Perfis-linha • Para obter a distribuição relativa ao total de cada linha, podemos definir uma matriz x com uma coluna e uma linha a mais que a tabela obtida, para representar a linha e a coluna de totais. • Neste exemplo, podemos definir x=matrix(0,3,3)#x recebe uma matriz nula 3 por 3.

13. Perfis-linha (cont.) • x[1:2,1:2]=table(dados$cia,dados$plano) • for (i in 1:2) {x[i,3]=sum(x[i,])} • for (i in 1:2) {x[3,i]=sum(x[,i])} • x[3,3]=sum(x[1:2,1:2]) N Y total ATT 454 48 502 OCC 465 14 479 total 919 62981

14. Perfis-linha • Para obter os perfis-linha, basta pedir pl=x e • for (i in 1:3) {for (j in 1:3) { pl[i,j]=pl[i,j]/pl[i,3]}} • round(pl,digits=2) N Y total ATT 0.90 0.10 1 OCC 0.97 0.03 1 Total 0.94 0.06 1

15. Comentário • Observe que independentemente da companhia, 94% não tinham o plano especial da AT&T e 6% tinham. • Quando olhamos por companhia temos 90% e 10% para a AT&T e 97% e 3% para outras companhias. N Y total ATT 0.90 0.10 1 OCC 0.97 0.03 1 Total 0.94 0.07 1

16. Atividade 2 • Obtenha os perfis-coluna para estas variáveis. • pc=x e • for (i in 1:3) {for (j in 1:3) { pc[j,i]=pc[j,i]/pc[3,i]}} • round(pc,digits=2)

17. Perfis-coluna • N Y total • ATT 0.494 0.774 0.512 • OCC 0.506 0.226 0.488 • total 1.000 1.000 1.000 • Percebe-se que o perfil-coluna de totais (51%-ATT e 49%-OCC) para as companhias é parecido com o perfil de quem não possuiu o tal plano (49%-ATT e 51%-OCC) • Mas o perfil de totais é bem diferente do perfil de quem possuiu o plano (77%-ATT e 23%-OTT). Volta para exercício.

18. COMENTÁRIO • Desta última observação podemos concluir que há uma associação entre estas variáveis (cia e plano): o fato de ter possuído o plano da AT&T parece favorecer o domicílio a usar o serviço de longa distância da companhia AT&T(77%) e caso contrário, não há prevalência da AT&T(49%).

19. Problema • Como quantificar a associação entre duas variáveis qualitativas? • Antes de responder essa pergunta, obtenha a tabela de contingência para cia e idade. • Depois, obtenha os perfis-linha e coluna da tabela obtida.

20. Companhia versus idade • 18-24 25-34 35-44 45-54 55-64 65+ • ATT 38 129 98 75 67 82 • OCC 23 85 105 77 86 102 x=matrix(0,3,7) x[1:2,1:6]=table(dados$cia,dados$idade) for (i in 1:2) {x[i,7]=sum(x[i,])} for (i in 1:7) {x[3,i]=sum(x[,i])}

21. Companhia versus idade • > x • 18-24 25-34 35-44 45-54 55-64 65+ total • ATT 38 129 98 75 67 82 489 • OCC 23 85 105 77 86 102 478 • total 61 214 203 152 153 184 967

22. Perfis-linha Distribuição das idades por companhia: pl=x for (i in 1:7) {for (j in 1:3) {pl[j,i]=pl[j,i]/pl[j,7]}} 18-24 25-34 35-44 45-54 55-64 65+ total ATT 0.078 0.264 0.20 0.153 0.137 0.168 1 OCC 0.048 0.178 0.22 0.161 0.180 0.213 1 total 0.063 0.221 0.21 0.157 0.158 0.190 1 Obs.: Podemos perceber que entre os clientes da AT&T, 54% estão entre os mais jovens e entre os de outras companhias (OCC), 55% estão entre os mais velhos. Isto indica alguma associação entre estas variáveis.

23. Perfis-coluna • Distribuição das companhias (ATT e OCC) por faixa de idade: pc=x for (i in 1:3) {for (j in 1:7) {pc[i,j]=pc[i,j]/pc[3,j]}} 18-24 25-34 35-44 45-54 55-64 65+ total ATT 0.623 0.603 0.483 0.493 0.438 0.446 0.506 OCC 0.377 0.397 0.517 0.507 0.562 0.554 0.494 total 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

24. Medida de associação • Se as duas variáveis em estudo são independentes, espera-se que a distribuição marginal de uma delas (sem discriminar por valores da outra) seja igual às distribuições condicionadas por valores da outra. • A partir dessa idéia, podemos construir uma medida de associação entre duas variáveis qualitativas, conhecida como Qui-quadrado.

25. Exemplo: Suponha a seguinte tabela de contingência Ao examinar 400 estudantes de certa Instituição distribuídos pelos cursos de Estatística e Engenharia, obteve-se:

26. Curso versus sexo • Se sexo e matrículas nos cursos de Engenharia e Estatística fossem independentes, esperaria-se ter os seguintes perfis-coluna:

27. Valores esperados sob independência • Como são 100 alunos em Estatística e 300 alunos em Engenharia, (240 do sexo masculino e 160 do sexo feminino) esperaria-se, em caso de independência, ter a seguinte tabela de contingência:

28. Tabela com as freqüências observadas: Tabela com as freqüências esperadas no caso de não associação:

29. Qui-quadrado • O qui-quadrado é uma medida que baseia-se na comparação entre os valores observados, que aqui denotaremos por nij e os valores esperados que denotaremos por eij. • Para cada cela da tabela de contingência calculamos

30. sexo Curso 1 Estatística Curso 2 Engenharia total Homens 40 200 240 Mulheres 60 100 160 total 100 300 400 sexo Curso 1 Estatística Curso 2 Engenharia total Homens 60 180 240 Mulheres 40 120 160 total 100 300 400 Tabela com as freqüências observadas: Tabela com as freqüências esperadas no caso de não associação:

31. Qui-quadrado • O qui-quadrado é, então, onde l representa o número de categorias de resposta da primeira variável e c, representa o número de categorias de resposta da segunda variável.

32. Cálculo do qui-quadrado do exemplo dos estudantes de Estatística e Engenharia

33. Cálculo do Qui-quadrado usando o R • Há no R, uma função específica que calcula o qui-quadrado de uma tabela de contingência. • Interpretação: se a hipótese de não-associação entre as variáveis for verdadeira, o valor do qui-quadrado deve estar próximo de zero. • Quanto maior for o valor do qui-quadrado, mais forte é a associação entre as variáveis.

34. Cálculo do qui-quadrado usando o R • Suponha que x seja a matriz contendo os dados da tabela dos estudantes: • x=matrix(0,2,2) • x[1,1]=40 • x[1,2]=200 • x[2,1]=60 • x[2,2]=100

35. Cálculo do Qui-quadrado usando o R • Qui=chisq.test(x,correct=F) Pearson's Chi-squared test data: x X-squared = 22.2222 (qui-quadrado), df = 1, (graus de liberdade) p-value = 2.428e-06 (P-valor) Notação científica para 0,000002428 Pode ser usado como uma medida de avaliação da magnitude do qui-quadrado: - p-value<=0,05, indica que o qui-quadrado é grande, ou seja, indica uma possível associação entre as variáveis.

36. Comentários do exemplo • De acordo com o slide anterior, verifica-se que o Qui-quadrado obtido é alto, o que indica a presença de associação entre curso e sexo. • Mais ainda, pela análise das tabelas verificamos que essa associação ocorre de tal modo que no curso de Estatística a maioria (60%) dos estudantes tende a ser do sexo feminino e na Engenharia, a maioria (67%) tende a ser do sexo masculino.

37. Medidas derivadas do qui-quadrado • Pearson definiu uma medida de associação, baseada no qui-quadrado, chamada coeficiente de contingência, dado por onde n é o tamanho da amostra.

38. Medidas derivadas do qui-quadrado • Interpreta-se o coeficiente de contingência de maneira análoga ao coeficiente de correlação. • Porém, o coeficiente de contingência, apesar de estar entre 0 e 1 nunca atinge o valor 1. • O valor máximo de C depende de l (número de categorias de resposta da primeira variável),de c (número de categorias de resposta da segunda variável) e de n, o tamanho da amostra.

39. Medidas derivadas do qui-quadrado • Outro coeficiente é dado por que pode atingir o máximo igual a 1, quando l=c.

40. Coeficientes para os dados do exemplo curso versus sexo • qui=22.22222 • CP=sqrt(qui/(qui+sum(x))) • CP • [1] 0.2294157 • TC=sqrt((qui/sum(x))/(1*1)) • TC • [1] 0.2357022

41. Atividade 3: • Calcule o qui-quadrado, e os coeficientes C e T, das seguintes tabelas de contingência: • 1) cia e plano; • 2) cia e idade; • 3) cia e cartao; • 4) cia e nonpub; • 5) cia e renda; • 6) cia e instrucao; • 7) cia e emprego.

42. 3.1) cia versus plano x=table(dados$cia,dados$plano) N Y ATT 454 48 OCC 465 14 chisq.test(table(dados$cia,dados$plano),correct=F) Pearson's Chi-squared test data: table(dados$cia, dados$plano) X-squared = 18.2476, df = 1, p-value = 1.940e-05 qui=18.2476 CP=sqrt(qui/(qui+sum(x))) TC=sqrt((qui/sum(x))/(1*1)) CP [1] 0.1351345 TC [1] 0.1363856

43. Companhia versus plano • Como o valor de Qui-quadrado foi 18,2476, com um P-valor de 0,0000194 (bem menor do que 0,05), isso indica presença de associação entre as variáveis Companhia e Plano • Vimos que entre os que participaram do plano, a maioria (77%) já usou os serviços de longa distância da AT&T. • Entre os que não participaram do plano a distribuição fica mais equilibrada com 49% para AT&T e 51% para outras companhias. Ver tabela.

44. 3.2) cia versus idade • x=table(dados$cia,dados$idade) • 18-24 25-34 35-44 45-54 55-64 65+ • ATT 38 129 98 75 67 82 • OCC 23 85 105 77 86 102 • chisq.test(table(dados$cia,dados$idade),correct=F) • Pearson's Chi-squared test • data: table(dados$cia, dados$idade) • X-squared = 17.4135, df = 5, p-value = 0.003779 • > qui=17.4135 • > CP=sqrt(qui/(qui+sum(x))) • > TC=sqrt((qui/sum(x))/(1*5)) • > CP • [1] 0.1330008 • > TC • [1] 0.06001293

45. 3.2) cia versus idade • Como o valor de Qui-quadrado foi 17,4135, com um P-valor de 0,003799 (bem menor do que 0,05), isso indica presença de associação entre as variáveis Companhia e Idade • Vimos que entre os clientes da AT&T, 54% estão nas faixas mais jovens. • Entre os clientes de OCC, 55% estão nas faixas mais velhas.

46. 3.3) cia versus cartao • x=table(dados$cia,dados$cartao) • N Y • ATT 329 175 • OCC 373 106 • chisq.test(table(dados$cia,dados$cartao),correct=F) • Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction • data: table(dados$cia, dados$cartao) • X-squared = 19.0774, df = 1, p-value = 1.255e-05 • > qui=19.0774 • > CP=sqrt(qui/(qui+sum(x))) • > TC=sqrt((qui/sum(x))/(1*1)) • > CP • [1] 0.1379777 • > TC • [1] 0.1393102

47. 3.4) cia versus nonpub • x=table(dados$cia,dados$nonpub) • chisq.test(table(dados$cia,dados$nonpub),correct=F) • Pearson's Chi-squared test • data: table(dados$cia, dados$nonpub) • X-squared = 15.1792, df = 1, p-value = 9.777e-05 • > qui=15.1792 • > x • N Y • ATT 384 119 • OCC 424 69 • > CP=sqrt(qui/(qui+sum(x))) • > TC=sqrt((qui/sum(x))/(1*1)) • > CP • [1] 0.1225210 • > TC • [1] 0.1234510

48. 3.5 Companhia versus renda • chisq.test(table(dados$cia,dados$renda),correct=F) • Pearson's Chi-squared test • data: table(dados$cia, dados$renda) • Qui-quadrado = 11,1541, • df = 6, • P-valor = 0,08373 > 0,05 • Logo, não parece haver associação entre companhia e renda.

49. 3.6 Companhia e Instrução • chisq.test(table(dados$cia,dados$instrucao),correct=F) • Pearson's Chi-squared test • data: table(dados$cia, dados$instrucao) • Qui-quadrado = 28,623, • df = 5, • p-valor = 0,00002749

50. 3.7 Companhia e emprego • chisq.test(table(dados$cia,dados$emprego),correct=F) • Pearson's Chi-squared test • data: table(dados$cia, dados$emprego) • Qui-quadrado = 13,4602, • df = 6, • p-valor = 0,03628