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第一部分：概率 基础

对应教材 Chp1-5 可能需要复习本科概率论的相应内容 课堂上讲述会较快，将知识点串起来，建议大家通读教材 时间：“十一”长假之前 主要内容： 概率、随机变量及其分布、常用分布、多元随机向量 随机变量的变换及其分布 独立、条件独立、贝叶斯公式 期望、方差 概率不等式及收敛性. 第一部分：概率 基础. 第一章：概率. 概率：定量描述不确定性的数学语言 例： P ( 牙痛是由虫牙引起 ) = 0.8 20%– 所有其他可能 实际数值可能来源于统计数据、模型、启发规则或猜测 更精确的概率定义： 代数、可测量、测度（参考 [CB] Chp1 ）.

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第一部分：概率 基础

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Presentation Transcript

  1. 对应教材Chp1-5 可能需要复习本科概率论的相应内容 课堂上讲述会较快，将知识点串起来，建议大家通读教材 时间：“十一”长假之前 主要内容： 概率、随机变量及其分布、常用分布、多元随机向量 随机变量的变换及其分布 独立、条件独立、贝叶斯公式 期望、方差 概率不等式及收敛性 第一部分：概率基础

  2. 第一章：概率 • 概率：定量描述不确定性的数学语言 • 例：P(牙痛是由虫牙引起) = 0.8 • 20%– 所有其他可能 • 实际数值可能来源于统计数据、模型、启发规则或猜测 • 更精确的概率定义： 代数、可测量、测度（参考[CB] Chp1）

  3. 概率、样本空间和事件 考虑一个事先不知道输入的试验： • 试验的样本空间是所有可能输出的集合 • 事件A是样本空间的子集 • 对每个事件A，我们定义一个数字P(A)，称为A 的概率。概率根据下述公理定义：

  4. 概率公理 • 事件A 的概率是一个非负实数 • P(A) ≥ 0 • 合法命题的概率为1 • P( ) = 1 • 两两不相交（互斥）事件A1, A2, … 从上述三个公理，可推导出概率的所有的其他性质。

  5. 公理的推论 • 不可满足命题的概率为0 • P (∅) = 0 • P(A ∩ Ac) = 0 • 对任意两个事件A、 B • P(A ∪ B) = P (A) + P(B) – P(A ∩ B ) • 对事件A的补事件Ac • P(Ac) = 1 – P(A) • 对任意事件A • 0 ≤ P(A) ≤ 1

  6. 概率的解释 • 概率的 “真正意义” 仍是一个非常有争议的论题 • 没有一种解释被一致接受 • 概率两种主要的解释： • 频率解释 • 概率 = 一个事件的相对频率（大量试验情况下） • 对应频率推断（点估计、置信区间） • 可信度解释 • 概率 = 观测者对可能性的判断 • “贝叶斯概率” • 对应贝叶斯推断

  7. 概率的频率解释 • 在相似试验条件下，进行多次重复试验，得到某个特定输入的相对频率（如掷骰子或抛硬币） • 满足概率公理 • 只有试验才能确定概率 • 但是 • 试验次数多少次才足够多? • 相似条件? (条件完全相同?) • P(正面朝上)? • P(你本门课程得90分以上)? • P(明天会下雨)?

  8. 概率的可信度解释 • 亦称“贝叶斯概率” • 概率表示观测者对可能性的判断 • 定量表示某人的信念强度 • 是基于个人的信念和信息 • “主观概率” 而不是 “真正的概率” • 并没有对世界客观的表述 • 主观判断完全一致没有矛盾? • 不同人之间没有统一的客观基准 • 满足概率公理(在保持一致性的情况下)

  9. 独立事件 • 当P(AB) = P(A)P(B)时，称两个事件A与B独立，记为 • 可推广到有限个事件系列 • 可通过两种方式确定事件之间的独立性 • 显式假设：如抛硬币试验中，假设每次抛掷都是独立的 • 数值推导：满足P(AB)=P(A)P(B) • 如在一个公正的掷骰子的试验中， • 则 不相交 独立

  10. 独立总结 • 独立总结 • 若P(AB) = P(A) P(B) ，则A和B独立。 • 独立某些时候是假设的，某些时候推导得到的。 • 有正概率的不相交事件不一定独立。

  11. 条件概率 • 当P(B)>0 时，给定B时A的条件概率为 • 给定任意B，若P(B)>0 ，则 也是一个概率，即满足概率的三个概率公理 • 当 不相交时，

  12. 条件概率 • 下列等式不一定成立

  13. 条件概率 • 例1.13： 对疾病D的医学测试结果输出为+和-，其概率分别为： • 假设某个测试的结果为+，则得病的概率为多少？ 检验相当正确 得病概率很小 不要相信直觉！

  14. 条件概率 • 例1.13（续）： • 假设某个测试的结果为-，则得病的概率为多少？ 得病概率几乎为0

  15. 独立与条件概率 • 若A与B独立事件，则 • 知道B不会改变A的概率 • 当A与B不独立时 • Vs. A与B独立时：

  16. 例：条件独立 • 赌徒的谬误：戴伦伯特系统 • 参与者赌红色或黑色，每赌失败一次就加大赌数，每赌赢一次就减少赌数。 • 如果小小的象牙球让他赢了，那么就会有某种原因“记住”它，不太可能让他在下一次再赢；如果小球使他输了，它将感到抱歉，很可能帮助他在下一次赢。 • 事实上：每一次旋转，轮盘都与以前旋转的结果无关。 摘自《数学悖论奇景》

  17. 条件概率总结 • 1. 如果P(B)>0，则 • 2. 对给定的B ，P(.|B) 满足概率公理。通常，对给定的A ，P (A|.) 不满足概率公理。 • 3. 通常，P(A|B)≠P(B|A)。 • 4. 当且仅当P(A|B)=P(A) 时， A 与B 独立。

  18. 贝叶斯公式 • 全概率公式：令A1, …,Ak为 的一个划分，则对任意事件B，有 。 • 贝叶斯公式：令A1, …,Ak为 的一个划分且对每个i，i=1,2,…,k 。若 ，则对每个 有 先验概率 后验概率

  19. 例：邮件分类 • 例1.19：email可分为三类：A1 =“垃圾,” A2 =“低优先级” 和A3 =“高优先级”。根据先前的经验，我们发现 • 则：0.7+0.2+0.1 = 1。 • 令B表示email中包含单词 “free”。根据先前的经验， • 则如果收到一封带有单词“free”的邮件，该邮件为垃圾邮件的概率是多少？ • 根据贝叶斯公式：

  20. 作业1 • Chp1：第10、19、21、23题 • 请于9月24日前上课前交作业 • 非编程题可以用纸版 • 编程题请用email发至： • 标题请注明学号、姓名和作业的序号（第几次作业） • 姓名_学号_作业序号.zip/rar • 如确有困难者，请务必找助教说明，可适当延迟第一次编程题的时间 • 请按时交作业

  21. 编程环境 • Matlab • 提供很多基本基础函数和工具，对理解算法的基本思想很有帮助，编程快捷 • VC • 实际系统中的算法一般采用C/C++实现 • 你喜欢的任何编程语言

  22. 下节课内容 • 随机变量及其分布 • 期望、方差 • 常用分布 • 多元随机向量及其分布（部分）

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