第六篇 量子物理基础
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第六篇 量子物理基础. 普朗克能量子假设. 爱因斯坦光子理论. 旧量子论. 玻尔氢原子理论. 不确定关系. 物质波假设. 量子力学 基本原理. 薛定谔方程. 波函数(概率幅). 薛定谔方程的简单应用. L.V.de Broglie. 《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 德布罗意物质波. 第四节:实物粒子的波粒二象性 不确定关系.

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第六篇 量子物理基础

普朗克能量子假设

爱因斯坦光子理论

旧量子论

玻尔氢原子理论

不确定关系

物质波假设

量子力学

基本原理

薛定谔方程

波函数(概率幅)

薛定谔方程的简单应用


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L.V.de Broglie

《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 德布罗意物质波

第四节:实物粒子的波粒二象性 不确定关系

整个世纪以来,在辐射理论上,比起波动的研究方法来,是过于忽视了粒子的研究方法;在实物理论上,是否发生了相反的错误呢? 是不是我们关于粒子图象想得太多,而过分地忽略了波的图象呢? —— 德布罗意(L.V.de Broglie)

在1924年的博士论文《量子理论研究》中,提出物质波概念,并获得1929年诺贝尔物理奖。


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光子说

几何光学 —— 粒子说

“波粒二象性”

物理光学 —— 波动说

实物粒子

传统力学 —— 粒子性

波动力学—— 波动性

量子力学

物质波

《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 德布罗意物质波

对称性:实物粒子 与 光 类比


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1. 对物质波的描述

德布罗意公式

简洁地把对粒子描述手段

和对波的描述手段

联系到一起

1) 与光子比较

光子:

《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 德布罗意物质波


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练习

《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 德布罗意物质波

设光子与电子的德布罗意波长均为,试比较其动量和能量大小是否相同。


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是否与 c是自然界的极限速率矛盾

注意:电子物质波波速u电子运动速率

运动状态传播的速度——相速度

《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 德布罗意物质波

思考:

与 c是自然界的极限速率不矛盾


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地球:

子弹:

《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 德布罗意物质波

2) 物质波数量级概念

宏观物质均太小,难以觉察其波动特性。


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电子:

《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 德布罗意物质波


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例:

《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 德布罗意物质波

思考题:请用德布罗意关系解释玻尔氢原子理论中的轨道角动量量子化条件。


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大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 德布罗意物质波

德布罗意假设的正确性,在1927年戴维孙和革末所进行的电子衍射实验所证实。以后,其它许多实验都证实,不仅电子,而且质子、中子以及各种原子和分子都具有波动性。

因而,波动性与粒子性一样也是实物粒子的一种普遍属性,

即实物粒子也具有波、粒二相性。


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强度大: 电子到达概率大

.

.

强度小: 电子到达概率小

.

.

.

.

零强度: 电子到达概率为零

.

.

.

《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 概率波

2.德布罗意物质波的统计解释(概率波)

玻恩“概率波”说(1954年诺贝尔奖)

类比:与实物粒子相联系的物质波——概率波

物质波的强度分布反映实物粒子出现在空间各处的概率

普遍的说,某处出现粒子的概率与该处德布罗意波振幅的平方成正比。这就是德布罗波的统计解释。


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P1

P1+P2

I1

I12

I12

P2

I2

《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 概率波

注意: 微观粒子不同于经典粒子,也不同于经典波


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大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 概率波

人们还在继续探索物质波的本质,但无论其物理实质

是什么,物质波的强度代表着微观粒子在空间的概率

分布已经是没有疑问的了。

  • 微观粒子的运动具有不确定性,只能用物质波的强度作概率性描述,不遵从经典力学方程。借用经典物理量来描述微观客体时,必须对经典物理量的相互关系和结合方式加以限制。其定量表达 ——海森堡不确定关系。


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大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 不确定关系

3.不确定关系

(又名测不准原理)

一个系统往往包含不同的属性,要知道一个系统的所有属性,就需要进行不同方面的测量。如果一个系统的两个属性是相关的,那么测量其中一个,就会影响另外一个,海森堡对这种相互的影响给出了一个定量的关系,这就是不确定关系,又称为“测不准原理”。

位置与动量的不确定关系

能量与时间的不确定关系

……


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位置与动量的不确定关系

1) 位置与动量的不确定关系

以电子束的单缝衍射为例来说明

1) 无法判定电子是从狭缝的哪一点通过的;

2) 也不知道从狭缝出来的电子是如何到达屏上的,只观察到电子落在屏上各处有不同的可能性(概率)。


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位置与动量的不确定关系

动量 不确定量:

电子如何进入中央明纹区的?

位置不确定量:


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位置与动量的不确定关系

更一般的推导

推广得

位置与动量间的不确定关系式:

坐标的不确定量

该方向上动量分量的不确定量

考虑次级明纹


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时间和能量的不确定关系

如果微观粒子处于某一状态的时间为 ,

则其能量必有一不确定量 ,且满足不确定关系式

2) 时间和能量的不确定关系


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不确定关系的意义及应用

注意

3)不确定关系的物理意义

1927年,海森堡提出了著名的不确定关系,又名测不准关系,或测不准原理。

不确定关系是微观粒子本质属性(波粒二象性)的反映,是波粒二象性及其统计关系的必然结果;是自然界的客观规律,是量子力学的基本原理之一。

不确定(测不准)关系不是实验误差,

不是由于理论不完善或仪器不准确引起的。

它来自微观粒子的本性。


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不确定关系的意义

位置完全确定

动量分量完全不确定

粒子如何运动?

“轨道”概念失去意义

动量完全确定

位置完全不确定

粒子在何处?

  • 经典物理的描述对于微观粒子需要限定


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轨道”概念失去意义

px

(x,px)

x

O

px

px

x

x

O


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不确定关系的意义

可同时取零;

可同时确定

  • 不确定关系给出了宏观物理与微观物理的分界线,是量子力学与经典力学的主要差别的标志之一。

也可以说,不确定关系给出了用经典力学方法描写微观粒子状态时,能够用到什么程度。

该问题可用经典力学处理,

否则要用量子力学处理。


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不确定关系的理解

思考

1)不确定关系只在微观世界中才成立吗?

不确定现象仅在微观世界中可观测到

2)关于不确定关系 有以下几种理解,其中正确的是__

① 粒子的动量不可能确定。

② 粒子的坐标不可能确定。

③ 粒子的动量和坐标不可能同时确定。

④ 不确定关系不仅适用于电子和光子,也适用于其它粒子。


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不确定关系

练习

已知:光子

求:光子位置的不确定量

解:设光子沿x方向运动


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不确定关系

练习

已知: 电子处于某能级

求:该能级能量的最小不确定量 ;

由该能级跃迁到基态,辐射光子的

解:


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大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 波函数 薛定谔方程

第5节: 波函数 薛定谔方程

量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态,波函数所遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。波函数和薛定谔方程都是量子力学的基本假设,其正确性由实践检验。


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波函数的形式

一.波函数

1.波函数的一般形式

波函数: 描述微观客体的运动状态,是概率波的

数学表达形式。

一般表示为复指数函数形式

经典波的波函数为实函数


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波函数的形式

一定

沿直线传播

例: 一维自由粒子的波函数

量子描述:

类比:

单色平面波

自由粒子:不受任何其它势场或粒子的作用

经典描述: 沿 x轴匀速直线运动


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波函数的形式

经典描述:

以坐标原点为参考点,

即:

(取实部)


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波函数的形式

波函数的振幅

意义:波函数 确定了微观粒子运

动的全部力学性质。

推广 :三维自由粒子波函数

量子描述:


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波函数的强度

波函数的强度——模的平方

即波函数与其共轭复数的积

例:一维自由粒子:


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波函数的统计解释

类比

光栅衍射

电子衍射

2. 波函数的统计解释

经典物理中波函数具有描述空间振动状态的确切意义

对于微观客体,其状态由波函数完全确定。

问题:波函数有什么样的物理意义?


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光栅衍射

电子衍射

I大处 到达光子数多

电子到达该处概率大

I小处 到达光子数少

电子到达该处概率小

I=0 无光子到达

电子到达该处概率为零

各光子起点、终点、路径均不确定

各电子起点、终点、路径均不确定

用 I 对屏上光子数分布作概率性描述

对屏上电子数分布作概率性描述


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波函数的统计解释

一般, t 时刻, 到达空间 r (x,y,z)处某体积dV内的粒子数

的物理意义:

 t 时刻,出现在空间(x,y,z)点附近单位体积内的粒

子数与总粒子数之比

 t 时刻,粒子出现在空间(x,y,z)点附近单位体积内

的概率

 t时刻,粒子在空间的概率密度分布


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波函数的统计解释

注意

(2)

概率密度,描述粒子在空间的统计分布

概率幅

干涉项

(1)物质波的波函数不表示任何实在物理量的波动.

(3)重要的不是 的绝对大小,而是 在空间各点的相对大小, 和 描述同一概率波

(4)


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波函数的统计解释

练习

将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍,则粒子在空间的分布概率将

A)增大D2 倍, B)增大2D倍,

C)增大D倍, D)不变。

答案:D


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波函数的条件

(1)归一化条件

粒子在整个空间出现的概率为1

(2)

标准条件

3.波函数的归一化条件和标准条件


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练习

解:

1. 由归一化条件

得:

设粒子沿 x方向运动,其波函数为

1.将此波函数归一化;

2.求出粒子按坐标的概率密度;

3.在何处找到粒子的概率密度最大?


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3. 令:

得:

即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。

2. 概率密度为:


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大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 薛定谔方程

二. 薛定谔方程

根据微观粒子的波动性(同光波比较)

得到自由粒子的波函数

考虑在势场中(保守场)——推广

薛定谔方程的建立

是量子力学的基本假设之一,其正确性由实验检验。


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波函数

(1)将 对x求二阶偏导,得

《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 薛定谔方程

1.一维自由粒子的薛定谔方程

对于质量为m的自由粒子,势能为零,则


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2)将 对t 求一阶偏导得

《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 薛定谔方程

由(1)和(2)得出一维自由粒子所遵从的薛定谔方程:

一维自由粒子的薛定谔方程


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振幅函数

《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 薛定谔方程

★ 振幅函数(x)的方程 —— 振幅方程

自由粒子的振幅方程


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粒子在力场中运动,且势能不随时间变化

势函数

自由粒子:

《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 薛定谔方程

2.定态薛定谔方程

代入

一维定态薛定谔方程


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振幅函数

拉普拉斯算符

《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 薛定谔方程

推广到三维情况:

三维定态薛定谔方程


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本课程只要求定态问题:

一维:

三维:

《 大 学 物 理 CII 》 第十五章 量子物理基础 薛定谔方程

3.一般形式薛定谔方程

哈密顿算符


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