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2. 自発的対称性の破れと有効場の理論. “ ゲージ場の量子論” 九後汰一郎著 (培風館) M.Bando, T.Kugo and K.Yamawaki, Phys. Rept. 164 ,217 (1988). 2 .1 . 大局的 U(1) 対称性. (複素スカラー場: 対称性が破れない場合). ・ 大局的 U(1) 対称性. ・ネターカレント. ・保存電荷. ・ 真空 ・・・ 系の最低エネルギー状態. =. 真空期待値 (VEV). ・ 粒子 ・・・ 場の、真空のまわりの 揺らぎを量子化したもの.

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slide1

2. 自発的対称性の破れと有効場の理論

  • “ゲージ場の量子論” 九後汰一郎著 (培風館)
  • M.Bando, T.Kugo and K.Yamawaki, Phys. Rept. 164,217 (1988).
slide2

2.1. 大局的 U(1) 対称性

(複素スカラー場: 対称性が破れない場合)

・大局的 U(1) 対称性

・ネターカレント

・保存電荷

slide3

・真空 ・・・ 系の最低エネルギー状態

=

真空期待値 (VEV)

・粒子 ・・・ 場の、真空のまわりの

揺らぎを量子化したもの

質量 m を持つ粒子が2つ存在

・・・ f, f*

☆ ポテンシャル

  • 回転対称性を持つ
  • ⇔ U(1)対称性
  • 停留点 ・・・ f= 0
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2.2. 大局的U(1)対称性の自発的破れと南部-ゴールドストーン定理

ゴールドストーン模型

・大局的 U(1) 対称性

・ネターカレント

・保存電荷

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☆ ポテンシャル

メキシカンハット・ポテンシャル

slide6

◎ 南部-ゴールドストーンの定理

○ 連続対称性の自発的破れ

オーダー・パラメータ

○ 質量0の、南部-ゴールドストーン粒子(NG boson)が存在

・ NG ボゾンは破れたカレントに結合

・ (NGボゾンの数) = (破れたカレントの数)

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◎ 対称性の自発的破れ

◎ カレントとの結合

・・・ NG ボゾンの 崩壊定数 (decay constant)

slide8

・・・ 質量を持つ粒子

・・・ 質量0の粒子

☆ ポテンシャル

・粒子 ・・・ 場の、真空のまわりの揺らぎを量子化したもの

slide10

◎ 低エネルギー(E ≪ ms) 有効理論を考える

・・・ 極分解を使うのが便利

○ 低エネルギー領域では、重い s粒子は現れない

→ sを運動方程式を用いて消去

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☆ 有効場の理論

対称性の(自発的破れの)性質を用い、

南部-ゴールドストーン粒子のみを含む、

最も一般的なラグランジアンを、

低エネルギー展開に基づいて作る

・ 対称性の性質 ・・・ SSB : U(1) → nothing

・ 低エネルギー展開

= 微分展開

・ 場の量 ・・・ U = exp[ ip (x) / fp ]

変換性 : U→ eiqU

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2.3. 大局的 SU(2) 対称性の自発的破れ : Higgs-Kibble 模型

SU(2) × SU(2)’

◎ 対称性 ・・・ ?

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☆ カレントと保存電荷

・・・ カレントは随伴表現に属する

slide15

☆ 対称性の自発的破れ

真空期待値

ポテンシャル

slide16

◎ 低エネルギー(E ≪ ms) 有効理論を考える

・・・ 極分解を使うのが便利

slide17

☆ 有効場の理論

対称性の(自発的破れの)性質を用い、

南部-ゴールドストーン粒子のみを含む、

最も一般的なラグランジアンを、

低エネルギー展開に基づいて作る

・ 対称性の性質 ・・・ SSB : SU(2)L × SU(2)R→ SU(2)V

・ 低エネルギー展開

= 微分展開

・ 場の量 ・・・ U = exp[ ipaTa / fp ]

変換性 : U→ gLU gR†

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2.4. 南部-ヨナラシーニョ (NJL) 模型でのカイラル対称性の破れ

☆ ラグランジアン

N個の成分を持つ

フェルミオン場

◎ カイラル対称性 : U(1)V ×U(1)A

U(1)V :

U(1)A :

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◎ カイラル対称性はU(1)L×U(1)Rとも見なせる

・カイラル変換のもとで不変

slide20

☆ 補助場の導入

フェルミオンに関する経路積分を実行

large N 展開 = σ, π に関するループ展開

slide21

☆ large N 近似での有効ポテンシャル (σ,π に対するツリー近似)

積分は発散している → ユークリッド化してからcutoff を導入して正則化

slide22

☆ 有効ポテンシャル

σ

σ

π

π

対称性が自発的に破れている

対称性が回復している

slide23

☆ 真空期待値の決定 ・・・ ポテンシャルの停留条件 (Gap 方程式)

・G < Gcrのとき → v = 0 のみが解

・G > Gcrのとき → v = 0 と v ≠ 0 の両方の解がある

→ v ≠ 0 の解が安定解

v

G

Gcr

symmetric

phase

broken

phase

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☆ カイラル対称性の自発的破れ

NJLの4体相互作用により、yLと yRが真空中で凝縮

・オーダー・パラメータ

真空は yLと yRを同時に回転させる対称性のみ持つ

◎ 南部-ゴールドストーンの定理

1 個の南部-ゴールドストーン粒子 (質量ゼロ)

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☆ 有効場の理論

・ 対称性の性質 ・・・

SSB : U(1)L×U(1)R = U(1)V ×U(1)A→U(1)V

・ 低エネルギー展開

= 微分展開

・ 場の量 ・・・ U = exp[ ip (x) / fp ] ~ yRyL

変換性 : U→ eiqLUe-iqR= e-iqAU