DISTRIBUCIÓN NORMAL DÍA 62 * 1º BAD CS

1. DISTRIBUCIÓN NORMALDÍA 62 * 1º BAD CS

2. DISTRIBUCIÓN NORMAL • Así como de todas las distribuciones discretas destacábamos la distribución binomial, entre las distribuciones continuas la más importante es la distribución normal. • Resulta idónea para explicar: • Aceptación de una norma. • Gusto por las costumbres. • Consumo de un bien. • Impacto de un producto. • Coeficiente intelectual. • Velocidad de cálculo. • Estatura o peso. • Calibre de unos guisantes. • Errores de medidas Esta distribución permite describir probabilisticamente fenómenos estadísticos donde los valores más usuales se agrupan en torno a uno central y los valores extremos son escasos. Fue De Moivre (1733) quien investigó por primera vez la distribución normal, pero no fue hasta 1809 cuando Gauss formuló la expresión analítica y la gráfica de la función de densidad, al estudiar los errores en las medidas.

3. Campana de Gauss: N(μ, σ) N(μ, σ) = N(- 3’5, 0,75) N(μ, σ) = N(0, 1’5) N(μ, σ) = N(3, 1’5) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 μ=- 3,5μ=0μ=3

4. FUNCIÓN DE DENSIDAD EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL • Llamada campana de Gauss por su forma, presenta los siguientes rasgos: • Su dominio es todo el eje real. • Su recorrido es de 0 a 1/ σ. √2. π • Es simétrica respecto a su media. • Posee un máx. absoluto que coincide • con la media, la moda y la mediana. • Sus coordenadas son: • Máx = ( μ , 0’4 ) • En los puntos ( μ ‑ σ) y ( μ + σ) • presenta puntos de inflexión • (cambia la curvatura). • El eje de abscisas es una asíntota de la curva. • El área limitada entre los puntos ( μ - σ) y ( μ +σ) es 0,6826 ; entre los puntos ( μ - 2σ) y ( μ +2σ) es 0,9544 ; y entre los puntos ( μ - 3σ) y ( μ +3σ) es prácticamente la unidad. N(μ, σ) = N(0, 1) - 3 -2 -1 0 1 2 3

5. Expresión algebraica 2 ( x - μ ) -- --------------- 2 1 2. σ f(x) = ---------------- e σ. √2.π Como se ve en el caso de que la variable X siga una distribución normal, el cálculo de probabilidades implica hallar áreas bastantes complicadas debido a la expresión analítica de su función de densidad. Para facilitar el trabajo existen Tablas que nos proporcionan directamente el valor de estas áreas para el caso de μ = 0, σ = 1 Esta distribución se llama distribución normal tipificada y se simboliza así: N(0,1)

6. D. N. TIPIFICADA • DISTRIBUCIÓN NORMAL • TIPIFICADA • Una distribución normal, N(μ, σ ), vimos que presenta la forma de una campana de Gauss. • Cuando μ=0 y σ=1, nos encontramos con una distribución normal tipificada o estándar: • N( 0, 1) • La principal ventaja es que se dispone de Tablas elaboradas para calcular todo tipo de probabilidades. -3 -2 -1 0 1 2 3

7. D. N. TIPIFICADA • DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA • A efectos prácticos podemos convertir una distribución normal N( μ, σ ) en una distribución normal tipificada o estándar: • N( 0, 1) , mediante el cambio: • X - μ • Z = ------------ • σ • Gracias a ese cambio de variable podemos utilizar las Tablas ya elaboradas para calcular probabilidades en una distribución normal. • Evidentemente para ello nos deben dar los valores de μ y de σ • (cuyo cálculo ya hemos dicho que excede del nivel del curso).

8. D. N. TIPIFICADA • Ejemplo 1 • Sea la distribución normal N(7, 1’5). • Hallar la probabilidad de X ≤ 8,845 • Aplicamos el cambio: • X - μ • Z = ------------ • σ • 8,845 – 7 • Z= -------------- = 1,23 • 1,5 • Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P ( Z ≤ 1,23 ) • Pues P(X ≤ 8,845)= P ( Z ≤ 1,23 )

9. P ( Z ≤ 1,23 ) • En la tabla tomamos la fila 1,2 ( unidades, décimas del valor de Z ) • Y la columna 0,03 ( centésima del valor de Z). • El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P.

10. D. N. TIPIFICADA • Ejemplo 2 • Sea la distribución normal N(7, 1’5). • Hallar la probabilidad de ( 3,775 ≤ X ≤ 8,845 ) • Aplicamos el cambio: • 3,775 - 7 • Z = ---------------- = - 2,15 • 1,5 • 8,845 – 7 • Z= -------------- = 1,23 • 1,5 • Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P (-2,15 ≤ Z ≤ 1,23 ) • Pues P(3,775 ≤ X ≤ 8,845)= P (-2,15 ≤ Z ≤ 1,23 )

11. Hay que hallar P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) • Calculemos • P ( Z ≤ 2,15) • En la tabla tomamos la fila 2,1 ( unidades, décimas del valor de Z ) • Y la columna 0,05 ( centésima del valor de Z). • El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P

12. Razonamiento: • P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) = P( Z ≤ 1,23) - P( Z ≤ - 2,15) = • = P( Z ≤ 1,23) - P( Z ≥ 2,15) = • = P( Z ≤ 1,23) - [ 1 - P( Z ≤ 2,15)] = • = P( Z ≤ 1,23) + P( Z ≤ 2,15) - 1 • P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) = • = 0,8907 + 0,9842 – 1 = • = 1,8749 – 1 = 0,8749 • Que como era de esperar es • menor que la del ejemplo • anterior. • NOTA: • Por las Tablas NO se puede calcular ni P( Z ≤ - 2,15) • ni P( Z ≥ 2,15) . Sólo P (Z ≤ k) , siendo k POSITIVO -3 -2’15 -1 0 1,23 3

13. D. N. TIPIFICADA • Ejemplo 3 • Sea la distribución normal N(7, 1’5). • Hallar la probabilidad de (7 ≤ X ≤ 11,5) • Aplicamos el cambio: • 7 - 7 • Z = ---------- = 0 • 1,5 • 11,5 – 7 • Z= -------------- = 3 • 1,5 • Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P (0 ≤ Z ≤ 3 ) • Pues P(7 ≤ X ≤ 11,5) = P (0 ≤ Z ≤ 3 )

14. Hay que hallar P (0 ≤ Z ≤ 3) • Calculemos • P ( Z ≤ 0) • En la tabla tomamos la fila 0,0 ( unidades, décimas del valor de Z ) • Y la columna 0,00 ( centésima del valor de Z). • El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P

15. Razonamiento: • P (0 ≤ Z ≤ 3) = • = P( Z ≤ 3) - P( Z ≤ 0) = • = P( Z ≤ 3) - 0,5000 = • = P( Z ≤ 3) – 0,5000 • P (0 ≤ Z ≤ 3) = • = 0,9995 – 0,5000 = • = 0,4995 -3 -2 -1 0 3