Kerttechnikai és műszaki tanszék Előadó: dr. Tegze Judit Elérhetőség:

1. Kerttechnikai és műszaki tanszék Előadó: dr. Tegze JuditElérhetőség: • E félév feladata a Statika • A következőé a Szilárdságtan • 1. Zárthelyi időpontja: március 18. • 2. Zárthelyi időpontja: április 29. • Pót zh időpontja: május 11. • Házi feladat letölthető a tanszék honlapjáról • Nem kell beadni, célja csak az önálló gyakorlás • Megoldás ellenőrzésül 2 héttel később megtalálható ugyanott

2. Ajánlott irodalom: • Dr. Becker Sándor –Orosz László: Statika (1995) • Dr. Gáspár Zsolt – Dr. _Tarnai Tibor: Statika (jegyzet, azonosító:95036) • Tamássy T.: - Dr. Szentiványi B,: Statika példatár (jegyzet J-9-1094)

3. Feladat a1 = -30o = +330o a2= 60o a = 0o Speciális helyzetű erőt bontunk két adott irányú komponensre:F = F1 +F2 Geometriai megoldás: paralelogramma-szabály Számításos megoldás: egyenletrendszert írunk fel a vetületekre: X1 +X2= X Y1 +Y2 = Y F2 Ebbe beírjuk a vetületeket az irányszögek szögfüggvényeivel kifejezve: X1 = F1. cos a1 és Y1 = F1. sin a1 X2 = F2. cos a2 és Y2 = F2. sin a2 X = F. cos a és Y = F. sin a Ezzel a két egyenletben már csak két ismeretlen lesz: F1 és F2 Y2 F a2 X2 a1 X1 Y1 F1

4. Közös metszéspontú erők eredőjeAjánlott táblázatos számítási forma F1 + F2 – F = 0 Fix: ∑Fix = ∑Fi cos ai= 0 Fiy:∑Fiy= ∑Fi sin ai= 0 Fix: 0,866 F1 + 0,5 F2 - F = 0 Fiy:0,5 F1 + 0,866 F2 + 0 = 0

5. Ismétlés matematikából: vektorokra vonatkozó definíciók és összefüggések • Vektorok összegére igaz: • a + b = b + a kommutatív • (a + b) + c = a + (b + c) asszociatív • a + b ≤ a + b háromszög-egyenlőtlenség

6. skalár és vektor szorzataAz eredménye vektor ca = ac, c da = d ca, (c + d) a = ca + da, c(a + b) = ca + cb

7. Vektor felírása koordináta-vektorokkal • a = ax +ay +az = axi +ayj +azk itt i, j, k a koordináta-vektorok(egységvektorok), • ax , ay , az a koordináta irányú komponensek • ax , ay, az a vektor derékszögű koordinátái

8. Vektor-vektor szorzatokKét vektor skaláris szorzata – az eredménye skalár ab = ab cos φ a  i ax 0 x b a j ii = jj = kk = 1 Ij = ik= ji=jk= ki= kj = 0 ay ax =a i = a 1cosa = a cosa ay =a j = a 1sina = a sina ab = (axi + azj + azk)(bxi + byj + bzk) = axbx + ayby +azbz a = a =√aa y

9. Vektor-vektor szorzatok Két vektor vektoriális szorzata – az eredménye vektor a × b = ab sin φ e a × b = ijk = (aybz – azby) i + (azbx – axbz) j + axby –aybx) k axaYaz bxbybz Ebből következik a szuperpozíció (egymásrahalmozás) elve: Több hatás együttes működése az egyes hatások eredményének összege (mert az eredmények a hatások lineáris függvényei. determináns

10. Az erő vektorának megadása Térbeli vektor megadható 6 adattal: r = r(x,y,z) F = F(X,Y,Z) A támadáspont r helyvektorának és az F erővektornak három adatapl. 3 vetülete, Fx = F. cos a Fy = F. cos b Fz = F. cos g z’ z F Z g a X Y x’ b r x y’ y Merev testek mechanikájában ebből egyet elvethetünk, mert az erő a hatásvonalában eltolható, ezért 5 adat elegendő

11. A síkbeli erő vektorának megadása és a forgatónyomaték i rxi 0 x r = rxi + ryj F = Fxi + Fyj j r Fxi Az F erő origóra vonatkoztatott nyomatéka: Mo = r×F Mo = r×F = (rxi + ryj) × (Fxi + Fyj) Mo =(rx Fy - ryFx) k Nagysága Mo =rF sin  = k F a vektoriális szorzat definíciója alapján ryj  F Fyj y

12. Az erő nyomatéka az origóra Mo 0 x k  Mo Mo =r F sin  = k F r sin  = k r 0 x k F  r   F y Az erő nyomatéka pozitív Az erő nyomatéka negatív y

13. Nyomatékvektor iránya z Mo + x + y

14. Erőpár és nyomatéka F1 F1 =F2 =F F2 =-F1 k az erőpár karja k>0 Erőpár valamely pontra vonatkozó nyomatékaaz erőpárt alkotó erők nyomatékösszege  F2 M = k F zéruserő erő erőpár erőcsavar dinám Definíció: Erőcsavar: az F erő és a vele párhuzamos nyomatékvektor , mint egyetlen dinám

15. Erőpár nyomatékvektorának kiszámítása k2 0 Mo =rA×F1 + rB×F2 Mivel F2 = -F1 rB x rA F1 B r A k>0  Mo =rA×F1 - rB×F1 =(rA - rB) ×F1 = r×F1 k1 F2 Vektoriális szorzás nélkül is számítható: Mo =k2F2 - k1 F1=(k2 - k1)F1= k F1 Független az origó helyétől, tehát a sík bármely pontjára ugyanakkora az erőpár nyomatéka y y

16. F erő 0 pontra való redukálása  Mo társerőpár = 0 0 r x x F F0 = F F0 társerő y y Mo =r×F

17. Az M0 nyomatékvektor egyenértékű egy erőpárral Mo =kF = k1F1 F F1   = = k1 k   F1 Mo F

18. Dinámrendszer redukálása az origóra n erőből és m nyomatékból álló dinámrendszer M0 0 x F1 F2 F3 … Fn M1 … Mm y F0 Társerő és társerőpár

19. Dinámrendszer redukálása az origóra n erőből és m nyomatékból álló dinámrendszer A nyomatékok szabadvektorok, eltolhatók az origóba, így a teljes dinámrendszer egyenértékű egy társerővel és társerőpárral: (F1, … , Fn, M1, … ,Mm) = (F0, M0) i = 1,…,n j = 1, …, m szétszórt erők nyomatékok Az erők helyettesíthetők egy társerővel és társerőpárral: Fi0 = (Fi0, Mi0) i = 1,…,n Így a dinámrendszer: (F1,M10, … , Fn, Mn0, M1, … ,Mm) = (F0, M0) F0 = ∑ Fi0, M0 = ∑ MI0 + ∑ MI két vektoregyenlet vagy F0x = ∑ Fi0x, F0y = ∑ Fi0y, M0z = ∑ Mi0z + ∑ Miz három skaláregyenlet További jelölések: t tengelyre felírt vetület Ft A pontra felírt nyomaték M(A) m n n I = 1 I = 1 I = 1 n n n n I = 1 I = 1 I = 1 I = 1 Két vetületi egyenlet nyomatéki egyenlet

20. Dinámrendszer eredője Az erők helyettesíthetők egy társerővel és társerőpárral, a nyomatékok szabadvektorok, eltolhatók az origóba. Így a teljes dinámrendszer egyenértékű egy társerővel és társerőpárral: (F1, … , Fn, M1, … ,Mm) = (F0, M0) = D i = 1,…,n, és j = 1, …, m HaF0 és M0 is zérus nagyságú, akkor egyensúlyi rendszer D = 0 HaF0 zérus nagyságú, de M0 nem, akkor D = M, az eredő nyomaték M0 = ∑Mi0 + ∑Mi0M0z = ∑ Mi0z + ∑ Miz Ahol Mi0 =ri×Fi ill. M0iz = rixFiy –riyFix HaF0 nem zérus nagyságú, akkor az eredő egy erő D = (F0, M0) = R R = F0, : helyvektorát pedig valamelyik koordináta-tengelyen választjuk: r = M0/F0y i , ha F0y = 0, különben r = -M0/F0x j Skalár egyenletekkel: Rx = F0x R y = F0y haF0y = 0, r x= M0/F0y , ry = 0, Különben rx = 0 , ry = -M0/F0x n n n m I = 1 I = 1 I = 1 I = 1

21. Dinámrendszer egyensúlyozása • egyetlen dinámmal • egy adott ponton átmenő erővel és nyomatékkal • egy adott ponton átmenő és adott hatásvonalú erővel • három adott hatásvonalú erővel

22. Dinámrendszer egyensúlyozása egyetlen dinámmal Már láttuk, hogy: A nyomatékok szabadvektorok, eltolhatók az origóba, így a teljes dinámrendszer egyenértékű egy társerővel és társerőpárral: (F1, … , Fn, M1, … ,Mm) = (F0, M0) i = 1,…,n, j = 1, …, m Ezen eredők ellentettje az egyensúlyozó erő.

23. Dinámrendszer egyensúlyozása egy adott ponton átmenő erővel és nyomatékkal Tétel: Minden dinámrendszert egyensúlyozhatunk egy adott ponton átmenő erővel és egy nyomatékkal. Válasszuk az adott pontot a koordináta-rendszer origójául (láttuk, erre redukálható a dinámrendszer). Az így kapott F0, M0 dinámok ellentettjei egyensúlyozzák a vizsgált dinámrendszert. Tétel:Minden dinámrendszert egyensúlyozhatunk az eredőjének az ellentettjével

24. Egyensúlyozás egy adott ponton átmenő és egy adott hatásvonalú erővel (F1, … , Fn, M1, … ,Mm, A, B) = 0 F1 F2 F3 Fn M1….. Mm x A Ax y B k Ay Az A pontra felírt nyomatéki egyenletből kiszámítható a B erő (hacsak az A pont nincs a b egyenesen) Ezután A meghatározható az x és y tengelyre felírt vetületi egyenletekből  b

25. Tétel: Minden síkbeli dinámrendszer egyensúlyozható e síkban fekvő egy adott ponton átmenő és egy adott hatásvonalú erővel, ha az adott pont nem illeszkedik az adott egyenesre

26. Dinámrendszer egyensúlyozása három adott hatásvonalú erővel (F1, … , Fn, M1, … ,Mm, S1, S2, S3) = 0 1. eset: nincs köztük párhuzamos Ritter-módszer O2 M Egyik kiválasztott erő főpontjának a másik két erő hatásvonala metszéspontját nevezzük. Itt Si-hez tartozik Oi Fn F1 F2 S3 c S1 O1 O3 a S2 b Ritter-módszer: bármelyik erő nagysága kiszámítható a főpontjára felírt nyomatéki egyenletből

27. 2. eset: Főpont a végtelenben (két erő párhuzamos) S3 c M O2 Fn F1 F2 O3 a  S1 b Két párhuzamos erő nagysága kiszámítható a főpontjára felírt nyomatéki egyenletből (S2 és S3) Az őket metsző harmadik a t segédvonalra vett vetületi egyenletből határozható meg (S1)  t S2