今日の目標 １．時間に依存しないシュレーディンガー方程式を書ける ２．無限に高い井戸型ポテンシャルを示せる ３．１次元のシュレーディンガー方程式を示せる ４．無限に高いポテンシャル障壁内の粒子に対する シュレーディンガー方程式が解ける

1. 2011 第１１回　簡単な系の量子論 ・時間に依存しないシュレーディンガー方程式 ・無限に高い井戸型ポテンシャル ・１次元のシュレーディンガー方程式 ・不合理な解と意味のある解 今日の目標 １．時間に依存しないシュレーディンガー方程式を書ける ２．無限に高い井戸型ポテンシャルを示せる ３．１次元のシュレーディンガー方程式を示せる ４．無限に高いポテンシャル障壁内の粒子に対する 　　シュレーディンガー方程式が解ける

2. iE h t Ψ(r,t) = φ(r)e ∇ = ∂ ∂z ∂ ∂x ∂ ∂y +k i +j h H = - ∇2 + V(r) h 2 2m ∂Ψ(r,t) ∂t = HΨ(r,t) i ∂2 ∂z2 ∂2 ∂y2 ∂2 ∂x2 ∇2= + + シュレーディンガー方程式 ；系のエネルギーを表す演算子 ：ラプラシアン（Laplacian） ：ナブラ（Nabla） V(r) ：ポテンシャル>>>粒子の状態を決める ：波動関数 状態の情報を含んでいる

3. 例： 平面波；　Ψ(r,t) = Ae i(k･r-ωt) iE h iE h iE h t t t Ψ(r,t) = φ(r)e = Eφ(r) e ∇2 + V(r) HΨ = Hφ(r) =Eφ(r) φ(r) e h φ(r) = Eφ(r) ∇2 + V(r) h 2 2m h 2 2m ∂Ψ(r,t) ∂t i 固有関数 演算子 固有値 時間に依存しないシュレーディンガー方程式 波動関数 定常状態：エネルギーが時間に依存しない 固有方程式

4. V(x) m x 0 a H = - + V(r) h 2 2m h 2 2m H = - + V(x) ∂2 ∂z2 ∂2 ∂x2 ∂2 ∂x2 ∂2 ∂y2 + + 無限に高い井戸型ポテンシャル内の１次元粒子 V(x) = 0 ;0≦ x ≦ a V(x) = ∞ ;x＜0, x＞a

5. φ(x) = 0 V(x) = 0 = E φ(x) h 2 2m 2mE 2mE h 2 2m d2 φ(x) dx2 d2 φ(x) dx2 = φ(x) = κ2＞0 H = - h 2 h 2 ∂2 ∂x2 解　i) x＜0, x＞a の時 粒子が存在できない V(x) = ∞ ii) 0≦ x ≦ a の時 1) E ＜0 の時

6. = κ2 φ(x) を解く 一般解 φ(x)=Aeκx + Be -κx 境界条件 φ(0) = A + B φ(a) = Aeκa + Be -κa A = B = 0 eκa = 0 e -κa = 0 d2 φ(x) dx2 不合理 = 0 = 0 ；粒子が存在しないことになる ∴ φ(x)=0

7. を解く = 0 境界条件 φ(0) = B = 0 φ(a) = A a + B = 0 a = 0 A = 0 ；粒子が存在しないことになる ∴ φ(x)=0 d2 φ(x) dx2 不合理 2) E = 0 の時 φ(x) = Ax + B

8. = -α2 φ(x) を解く = φ(x) 一般解 φ(x)=A sinαx + B cosαx B = 0 2mE 2mE A sinαa= 0 d2 φ(x) dx2 d2 φ(x) dx2 h 2 h 2 1) E ＞ 0 の時 = α2＞0 境界条件 φ(0) = 0 + B = 0 φ(a) = A sinαa + B cosαa = 0

9. αa = nπ (n = 1, 2, 3,…) √2mEn α = nπ a = h En = n2 nπ a φ(x) h 2π2 2ma2 = A sin x A sinαa= 0 n：量子数 ；固有エネルギー ；固有関数

10. a a ∫0 φn* φndx = 1 ∫0 φn* φndx = A2 ∫0sin2 dx a 2 = A2 En = n2 nπx a nπ a nπ a h 2π2 2ma2 φn(x) = A sin x 規格化 a =1 √ 2 a 2 a A = √ φn (x) = sin x ；　n = 1,2,3,…

11. h a h Δx = 運動量の不確定さ； Δp = 2 a 2 a 2 a 0 a 基底エネルギー π2 h 2 2ma2 n = 1 E1 = ≠ 0 零点エネルギー 位置の不確定さ； Δx ≒ a n=3 π2 h 2 2ma2 √ √ √ 2π a π a 3π a E3 = 32 0 φ1 (x) = sin x φ3 (x) = sin x φ2 (x) = sin x n=2 π2 h 2 2ma2 E2 = 22 0 n=1 π2 h 2 2ma2 E1 = 12 0

12. 無限に高い井戸型ポテンシャル内に束縛された粒子無限に高い井戸型ポテンシャル内に束縛された粒子 ；固有エネルギー ；固有関数 En = n2 2π a π a nπ a 3π a φn (x) h 2π2 2ma2 = A sin x 2 a 2 a 2 a 0 a 粒子の存在確率 En 確率密度 n=3 |φ3 (x)| 2= sin2 x π2 h 2 2ma2 32 0 φ3 (x) n=2 |φ2 (x)| 2= sin2 x π2 h 2 2ma2 22 0 φ2 (x) n=1 π2 h 2 2ma2 |φ1 (x)| 2= sin2 x 12 0

13. 物理的制約 ①連続 ②一価 ③２乗積分可能 |Ψ|2 dτ |Ψ|2 dτ ∬ ∫全空間 p(q1,q2,q3, ・,・,・, q3N,t) = |Ψ|2 dτ=1　；規格化 ∬ ∫ 形式Ⅰ：波動関数 a)波動関数；粒子系の状態を表す １粒子の場合；　Ψ（x,y,z,t） N粒子の場合；　Ψ（q1,q2,q3, q4,q5,q6,・,・,・, q3N-2, q3N-1, q3N,t） b)体積dq1dq2dq3・・・ dq3N（=dτ）の中に粒子を見いだす確率 p(q1,q2,q3, ・,・,・, q3N,t)は p(q1,q2,q3, ・,・,・, q3N,t) ∝ Ψ*Ψdτ= |Ψ|2 dτ

14. ；固有エネルギー 例：無限に高い井戸型ポテンシャル内に束縛された粒子 En = n2 ；固有関数 nπ a φn (x) h 2π2 2ma2 = A sin x 直交 ∫ =0n≠m（状態が違う） ∬φn*φmdτ=δnm 内積 =1n=m c)直交性 時間に依存しないシュレーディンガー方程式 Hφ＝Eφ 解： Hφn＝Enφn

15. 演習 １．ヘキサトリエンCH2=CH-CH=CH-CH=CH2が１次元の量子系として 　　１電子の運動を議論しなさい。但し、C-C結合は1.54Å、C=C結合 　　は1.35Åとする。 （１）基底エネルギーはいくらか。 （２）基底状態から第１励起状態に遷移するためにはどんな波長の 　　　電磁波を吸収させるか。 （３）第３励起状態まで吸収していると、どんなスペクトルになるか、 　　　ピークの位置だけ議論しなさい。 ２．ニュートンの運動方程式とシュレーディンガー方程式の違いに 　　ついて、あなたが気付いたことを述べなさい。 レポート提出（手書き） 12月26日まで、数理科学研究室（5461、和田） 今日の用語 定常状態、時間に依存しないシュレーディンガー方程式、波動関数、 固有方程式、固有関数、固有値、量子数、固有エネルギー、 零点エネルギー、直交性

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