Download
1 / 23
230 likes | 367 Views
建國科技大學 通識教育中心 建國科大學報 工程類 民國 98 年， 28(3) ， 1-18 林安裕. SVD 應用於系統模式 與影像簡化之研究. 報告者 : 林維達. 目錄. 摘要 前言 研究方法 研究結果 結論 參考文獻. 摘要. 由於 SVD （ S ingular V alue D ecomposition ）分解之技術可將一矩陣分解成兩個正交矩陣與一個對角陣之特質，為壓縮技術領域中之一重要方法。
E N D
建國科技大學 通識教育中心 建國科大學報 工程類 民國98年，28(3)，1-18 林安裕 SVD應用於系統模式 與影像簡化之研究 報告者:林維達
目錄 • 摘要 • 前言 • 研究方法 • 研究結果 • 結論 • 參考文獻
摘要 • 由於SVD（Singular Value Decomposition）分解之技術可將一矩陣分解成兩個正交矩陣與一個對角陣之特質，為壓縮技術領域中之一重要方法。 • 若色彩、明暗對比皆假定均化之簡單影像及LTI多輸入多輸出MIMO之控制系統，由文中模擬之結果，可看出利用SVD的確能達到預期之效果。 LTI：Linear Time Invariable MIMO：Multi Input Multi Output
前言 • 資料壓縮技術應用對象主要為針對一般數位資料、多媒體資料。 • 資料壓縮需求之不同，以過程之失真度來衡量概分為無失真壓縮與失真壓縮兩種。 • 本文擬以探討奇異值分解法SVD嘗試應用於影像與控制系統模式簡化之研究，採用失真壓縮技術。
研究方法 • 矩陣運算與內積空間為線性代數所探討的四大範疇中的兩個，對任一矩陣其秩數決定，是線性代數上之重要課題。 • 所謂矩陣之秩，可定義如下： range(A) = { y ∈ Rm : y = Ax 對某些 x∈ Rn } rank(A) = dim( range(A)) • 若對一矩陣A，存在一行列式值不等於零之最大階數之附矩陣Mm×m，則A 之秩數為m。
研究方法 • 一向量集合A = { x 1,x 2,.....,x p } 若滿足 x iT x j =0 for i ≠ j ，則稱A 為正交向量集合；若滿足 x iT x j =δ ij ，則稱A 為正規正交向量集合 • 一矩陣Q，若滿足QTQ = I ，則稱Q 為正交矩陣。
研究方法 – 矩陣分解 • 三角分解法是將方陣分解成一個上三角形矩陣和一個下三角形矩陣，此法又稱為LU分解法。 • QR分解法是將矩陣Am×n（假定m≥ n ）分解成一正規正交矩陣與一上三角形矩陣。 亦即 A = QR －(1) 上式中Q∈ℜm×m為正規正交矩陣， R∈ℜm×n為上三角形矩陣，且滿足QTQ = I 。
研究方法 – 矩陣分解 • 奇異值分解法為另一種正交矩陣分解法，為一種基底變換之演算法則。本法則將一矩陣分解為兩個正交矩陣與一個對角陣，表示如下 A 為一m×n實矩陣， A =UΣVT －( 2 ) 上式中U ∈ℜm×m與V ∈ℜn×n 皆為正交矩陣， Σ = diag(σ1,σ2,....,σp)∈ℜm×n p = min{m,n } 。 Σ之特性為 σk > 0 for 1 ≤ k ≤ p , 且 σi = 0 for ( p + 1) ≤ k ≤ n 。
研究方法 – 矩陣分解 • U之行向量稱為左奇異向量，VT之列向量稱為右奇異向量， σi我們稱為奇異值， 由(2)式可得 UTAV = diag(σ1 ,σ2,.......,σp)∈ℜm×n Σ之形式如下：
研究方法 - SVD運算特性 • 考慮矩陣A為方陣，則(3)式成為一方對角陣，令(3)式中之U、V改表示如下： U=[ u1 u2 .............un ] V=[ v1 v2 .............vn] 上式中ui , vi , λi分別為U、V 之行向量， λi為對角 陣中之項。 若A 為非奇異，則p=n。
研究方法 – SVD處理法則 壓縮過程以下圖表示
研究方法 – 控制系統模式簡化 如下圖所示，對一LTI系統，系統轉換函數可表示為: T =[I + PG]−1PGF ； P∈Ƥ
研究方法 – 控制系統模式簡化 當引入去耦控制器後，相對缺點是提高了系統的階數
研究結果 – case A 圖4-1 秩數為67、72、113 及45 圖4-2 秩數降為33、36、56 及25 圖4-3 秩數降為16、18、28 及15 圖4-4 秩數降為5、5、5 及5
研究結果 – case A 圖6-1秩數為67、72、113 及45 圖6-2 將秩數降為33、36、56 及25
研究結果 – case C 圖8-1秩數為40 圖8-2 秩數降為20 圖8-3 秩數降為5
結論 • 針對色彩、明暗對比皆假定均化之簡單影像及LTI-MIMO之控制系統，採用SVD之技術，分別達到壓縮及簡化之效果。 • 影像幾何特性分佈較複雜時影像壓縮比顯得較低，若強行降低秩數，影像重整時，顯得有較大之失真度；反之，當幾何特性分佈較為單純時，影像各像素間相干度較強，亦即資料之亂度較小。
參考文獻 [1] Alter O, Brown PO, Botstein D, “Singular value decomposition for genome-wideexpression dataprocessing and modeling”, Proc Natl Acad Sci U S A, 97,10101-6,2000. [2] H. C. Andrews, C. L. Patterson,”Singular Value Decompositions and DigitalImage Processing”. IEEE Transactions on acoustics speech, and signalprocessing, VOL. asp-24, no.1, 1976. [3] C-C Cheng et al.,“Quantitative feedback design of uncertain multivariable controlsystems”,Int. J. Control,65,3,537-553, 1996. [4] 林安裕, 數值QFT 法用於MIMO 控制系統之設計, 建國學報第二十二期,2003. [5] Golub, G.H., and Van Loan, C.F., “Matrix Computations”, 2nd ed., 1989.(Baltimore: Johns Hopkins University Press). [6] 林安裕,洪啟東, 控制系統之耦合特性研究, 89 年度專題研究計畫結案報告書,2000. [7] 林安裕, DCC 用於MIMO 控制系統之研究, 建國學報第二十三期, 2004. [8] B-C Wang, Horowitz, I.M.,“An alternative method for the design of MIMOsystem with large plant uncertainty”, Control Theory and Advance Technology, 9955-969, 1993. [9] B.C. Kuo, Digital control systems,Holt, Rinehart & Winston, Inc. 1994. [10] OGATA,K., “Modern Control Engineering”, 復漢出版社,1990. [11] Chi-Tsong Chen, “Linear system theory and design”, 狀元出版社,1996. [12] 林安裕, 以數值計量回饋理論用於控制系統之設計, 86 學年度技專校院重點科技專題製作論文研討會,1998,Vol.Ⅰ, pp.144-153. [13] 林安裕,洪啟東, 數值EDA 法用於不確定控制系統之設計, 建國學報第十八期,1999,pp.219-228. [14] 林安裕, SVD 應用於系統模式與影像簡化之研究, 95 年度專題研究計畫結案報告書,2006.
