Twist-3 distribution amplitudes of the pion and kaon from the QCD sum rules

1. Twist-3 distribution amplitudes of the pion and kaon from the QCD sum rules 周明震 zhoumz@mail.ihep.ac.cn 2005年11月15日 中国高等科技中心

2. Contents • 引言 • twist-3分布振幅的矩的求和规则 • twist-3分布振幅矩的数值计算和结果 • 从两粒子分布振幅到三粒子分布振幅的一些讨论 • 总结

3. 1.引言 文献[Z.Phys.C48,39(1990)]给出了pion介子twist-3分布振幅的系研。 作者基于已有的QCD求和规则对三粒子twist－3分布振幅的矩的研究， 再加上由运动方程给出的两粒子twist-3分布振幅与三粒子twist-3分布振 幅的约束关系，间接得到了两粒子twist-3分布振幅的性质。 但是，由[Z.Phys.C48,39(1990)]给出的三粒子twist－3分布振幅的 矩的数值来看，其精确度实际上是很低的。因为数值区域很宽，以其中 一个矩的数值为例，《α3》＝0.06~0.22，可见其不确定度较大。所以 直接用QCD求和规则来考察两粒子twist-3分布振幅的性质是有必要的。 同时计算出来的矩，也可以通过同样的twist-3分布振幅的约束条件， 反推三粒子twist-3分布振幅的性质，从而比较QCD求和规则的可靠性。 Kaon介子类似于pion介子，我们也讨论了它的twist-3分布振幅的性质。

4. 相关文献： Pion介子twist-2分布振幅的讨论有：[PRD22,2157(1980)],[NPB201,492(1982)],[Phys.Rep.112,173(1984 )],[PRD49,1490(1994)]等。 Pion介子twist-3分布振幅的讨论有： [Z.Phys.C48,39(1990)],[NPB529,323(1998)]等。 Kaon介子twist-2分布振幅的一矩的讨论有： [PRD70,094002(2004)]。

5. 2. twist-3分布振幅的矩的求和规则 Pion介子的两粒子twist-3分布振幅 和 的定义为， 其中 fπ pion介子衰变常数 , 和 是为了保证矩阵元的规范不变性而插入的Wilson线。 是直接QCD求和 规则计算时引入的归一化常数，其值可以通过零矩的求和规则得到。

6. 相似的，我们可以定义kaon介子的两粒子twist-3分布振幅 和 如下： 为了很好的抽取twist-3分布振幅的信息，我们定义它们的矩为： 这是pion介子的； 这是kaon介子的。 由于光锥分布振幅满足演化方程，可以用Gegenbauer多项式展开，而 其展开系数可以通过用QCD求和规则计算出上面定义的矩而得到。

7. 对于pion介子，我们在z2=0 附近展开上面定义的强子矩阵元，则有： 通常而言，pion介子被认为具有SU(2)同位旋对称性是恰当的。换句话 说，也就是它的分布振幅的奇数矩是必然为零的。所以，我们在这里仅仅 需要考虑它们的偶数矩而相应的引入下面2个关联函数：

8. 对于kaon介子，我们在z2=0 附近展开上面定义的强子矩阵元，则有： 然而，对于kaon介子则不同，其奇数矩并不为零，因为s夸克的质量 是不等于u（d）夸克的，也就是说它是SU(3)味对称性破缺的。所以， 相应的我们另外选择了2个不同样pion介子的关联函数：

9. 下面就是用QCD求和规则去计算上面给出的4个关联函数。现在我下面就是用QCD求和规则去计算上面给出的4个关联函数。现在我 们以pion介子的关联函数计算为例。 首先，在深Educlidean区域(-q2>>0) ，微扰计算到领头阶，凝聚项 计算到αs阶，凝聚维数到6维，得到pion介子2个关联函数的QCD表示 为：

10. 其次，在物理区域，pion介子的2个关联函数也可以写成强子谱的表示：其次，在物理区域，pion介子的2个关联函数也可以写成强子谱的表示： 最后，在两个不同区域的同一个关联函数的表示可以通过Borel变换下的 色散关系式： 联系起来，得出pion介子twist-3分布振幅的矩的求和规则。其中M是 Borel参数。将IQCD和Im Ihad代入色散关系式中，我们得到矩的求和规 则：

11. 这是pion介子twist-3分布振幅 的矩的求和规则； 这是pion介子twist-3分布振幅 的矩的求和规则。其中 和 是需要恰 当选取的有效阈值，并且零矩已经被归一 (i.e., )。 对于kaon介子的计算与pion介子的计算相似，我们得到的kaon介子 的物理区域的强子谱表示为：

12. 应用Borel变换后的色散关系式，我们最后得到kaon介子twist-3分布振幅应用Borel变换后的色散关系式，我们最后得到kaon介子twist-3分布振幅 的矩的求和规则： 这是kaon介子twist-3分布振幅 的矩的求和规则；

13. 这是kaon介子twist-3分布振幅 的矩的求和规则。这里γE=0.577216是 是Euler常数。 和 是需要恰当选取的有效阈值，并且零矩已经被归一 (i.e., )。

14. 3. twist-3分布振幅矩的数值计算和结果 我们选取如下的输入参数：fK＝0.131GeV, fπ＝0.131GeV; ms=0.130GeV,mu=0.004GeV,md=0.007GeV; , , , . αs=0.5，重整化能标在下面的分析中取μ=M。 作为求和规则中的有效阈值 ，虽然，当它们取值越大时，可 以有更宽的Borel窗口，但是，有效阈值不能超过第一激发态的质量的平 方。为了得到尽可能稳定的求和规则，它们取值为相应道的第一激发态 质量的平方，

15. Pion介子和kaon介子的两粒子twist-3分布振幅的前3个矩的数值分析结果Pion介子和kaon介子的两粒子twist-3分布振幅的前3个矩的数值分析结果 被显示在下面的3个表格中： 这里需要指出的是如果考虑到文献[Phys.Rep.127,1(1985)]给出的 和 的求和规则的微扰部分的αs修正时，它们的值将增加15-20%：

16. 这是pion介子twist-3分布振幅 ， 的四矩和kaon介子twist-3分布振幅 ， 的二矩的Borel窗口图。其中，实线和虚线分别是连续态的贡献和六维凝 聚项的贡献和完全求和规则的比率。

17. 从上面的图和表格，我们可以发现前3个矩的求和规则都在30％不确定从上面的图和表格，我们可以发现前3个矩的求和规则都在30％不确定 度的twist-3分布振幅仅仅是kaon介子的 ，而分布振幅 和 的前2 个矩能满足30％的不确定度要求，第3个矩则要将不确定度放宽到35%- 40%才能得到。 所以，当分布振幅Gegenbauer多项式展开到第3项时， 用我们的方法能够比较可靠得出的两粒子twist-3分布振幅是kaon介子的 分布振幅： 上式中，是由表格中心值代入得到的结果，考虑不确定性后，则有0.30 有0.09的偏差，0.73有0.30的偏差。可以看出，kaon介子是味SU(3)对称 性破缺的，并且重的s夸克携带的径向动量比轻夸克携带的要大，这跟通 常的夸克模型的预期是一致的。

19. 4.从两粒子分布振幅到三粒子分布振幅的一些讨论4.从两粒子分布振幅到三粒子分布振幅的一些讨论 对于pion介子，这里存在三个twist-3分布振幅 。它们其 实不是完全独立的。通过QCD运动方程，可以得到它们之间的联系：

20. 由QCD运动方程可以认为 ，但是我们这里直接用QCD求 和规则计算两粒子twist-3分布振幅，这两个参数是有差异的， 这里将我们计算中比较可靠的pion介子的矩 和 代入上面的关系式中 得到两个方程： 再将前面表格中的数值代入求解方程得到： 而由QCD求和规则直接计算三粒子分布振幅得到的是：

21. 下面讨论kaon介子的情形。它的两粒子twist-3分布振幅和三粒子分布振下面讨论kaon介子的情形。它的两粒子twist-3分布振幅和三粒子分布振 幅的关系式也是和pion介子的情形相似。将前面分析的kaon介子的两粒 子分布振幅的矩代入关系式，可以得到下面三个方程： 其中， 。第一个等式是对求和规则的一个直接检 验，由表格给出的数据，代入发现这个等式的符合还是可以的，因为 而另外两个方程求解，则得到：

22. 5.总结 对于pion介子和kaon介子的twist-3分布振幅的研究，由于其包含了3个 不完全独立分布振幅，而不像twist-2分布振幅那样仅有1个分布振幅需要 确定，所以twist-3分布振幅的不确定度较大是不可以避免的。我们在这里 直接用QCD求和规则计算了它们的两粒子twist-3分布振幅的矩，并且通 过QCD运动方程给出的两粒子分布振幅和三粒子分布振幅的关系式，反 推出三粒子分布振幅的一些结果，这些结果与直接由QCD求和规则计算 三粒子分布振幅的得到结果是基本一致的，说明我们在这里用QCD求和 规则直接计算两粒子分布振幅的矩是可行的。 另外，我们计算中引入的归一化常数 这比来自QCD运动方程的值要小，但与pQCD唯像分析给出的对应值基 本相当。

23. Thanks