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第三节

第三节. 第十四章. 场 论 初 步. 一、梯度. 二、散度. 三、旋度. 机动 目录 上页 下页 返回 结束. 一、梯度. 方向导数公式. 令向量. 方向导数取最大值：. 方向： f 变化率最大的方向. 这说明. 模 : f 的最大变化率之值. 机动 目录 上页 下页 返回 结束. 1. 定义. 向量. (gradient),. 称为函数 f ( P ) 在点 P 处的梯度. 记作. 即. 同样可定义二元函数. 在点. 处的梯度. 说明 :.

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  1. 第三节 第十四章 场 论 初 步 一、梯度 二、散度 三、旋度 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  2. 一、梯度 方向导数公式 令向量 方向导数取最大值： 方向：f 变化率最大的方向 这说明 模 : f 的最大变化率之值 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  3. 1. 定义 向量 (gradient), 称为函数 f (P) 在点 P处的梯度 记作 即 同样可定义二元函数 在点 处的梯度 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  4. 称为函数 f的等值线. 则L*上点P 处的法向量为 同样, 对应函数 有等值面(等量面) 其上 当各偏导数不同时为零时, 点P处的法向量为 函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) , 指向函数增大的方向. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  5. 3. 梯度的基本运算公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  6. 例1. 处矢径 r 的模 , 试证 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  7. 4、物理意义 (物理量的分布) 梯度场 数量场(数性函数) 如: 温度场, 电位场等 函数 场 向量场(矢性函数) 如: 力场,速度场等 可微函数 ( 势 ) (向量场) 注意:任意一个向量场不一定是梯度场. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  8. 例2. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点 试证 处所产生的电位为 证:利用例4的结果 这说明场强: 垂直于等位面, 且指向电位减少的方向. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  9. 二、流量与散度 引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 则由对坐标的曲面积分的物 设 为场中任一有向曲面, 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  10. 若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为 当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于 表明 内有泉; 流出的, 当 < 0 时, 表明 说明流入 的流体质量多于流出的,  内有洞 ; 当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . 根据高斯公式, 流量也可表为 ③ 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  11. 为了揭示场内任意点M 处的特性, 设 是包含点M 且 方向向外的任一闭曲面, 记 所围域为, 并令 以 在③式两边同除以 的体积 V, 任意方式缩小至点 M 则有 其值为正,负或 0, 此式反应了流速场在点M 的特点: 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  12. 其单位法向量 n, 为向量场 A通过 记作 称为向量场 A在点 M的散度. 定义: 设有向量场 其中P, Q, R具有连续一阶偏导数,  是场内的一片有向 则称 曲面, 有向曲面  的通量(流量) . divergence 在场中点 M(x, y, z) 处 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  13. , 则称 A为无源场. 若向量场 A处处有 说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且 表明该点处有正源, 表明该点处有负源, 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度. 例如,匀速场 故它是无源场. P16 目录 上页 下页 返回 结束

  14. 例3. 置于原点, 电量为 q的点电荷产生的场强为 解: 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  15. 三、 环流量与旋度 斯托克斯公式 设曲面  的法向量为 曲线 的单位切向量为 则斯托克斯公式可写为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  16. 称为向量场A 记作 向量 rot A称为向量场 A 的 令 , 引进一个向量 rotation 于是得斯托克斯公式的向量形式 : ① 或 定义: 沿有向闭曲线 的环流量. 旋度 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  17. 角速度为 , 旋度的力学意义: M为刚体上任一 设某刚体绕定轴 l转动, 点, 则 建立坐标系如图, 点 M的线速度为 (此即“旋度”一词的来源) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  18. 为向量场 A 沿 的环流量 向量场 A产生的旋度场 穿过  的通量 斯托克斯公式①的物理意义: 注意  与  的方向形成右手系! 例4. 求电场强度 的旋度 . 解: (除原点外) 这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  19. 例4. 设 计算 的外法向量, 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  20. 四、向量微分算子 定义向量微分算子: 它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子. 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  21. 则 高斯公式与斯托克斯公式可写成: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  22. 内容小结 梯度在方向 l上的投影. 1. 梯度 • 三元函数 在点 处的梯度为 • 二元函数 在点 处的梯度为 • 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  23. 2. 通量与散度 设向量场 P, Q, R, 在域G内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面  的通量为 G 内任意点处的散度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  24. 3. 场论中的三个重要概念 则 设 梯度: 散度: 旋度: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  25. 备用题1. 函数 在点 处的梯度 (92考研) 解: 则 注意 x , y , z具有轮换对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束

  26. 2. 则 提示: 三式相加即得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

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