第三章扭转

材料力学 第三章扭转

B O A  O  A B m m §3–1 概述轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。

O   A B m m 扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（）：直角的改变量。

§3–2 外力偶矩 · 扭矩及扭矩图 一、传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）

m m x T m 二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩 3 扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。

①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。 4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目的 T  x

m2m3m1m4 n A B C D [例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。解：①计算外力偶矩

m2m3m1m4 1 2 3 n A B C D 3 1 2 ②求扭矩（扭矩按正方向设）

m2m3m1m4 n A B C D – – ③绘制扭矩图 BC段为危险截面。 T 6366  x 4774.5 9549

薄壁圆筒：壁厚 （r0：为平均半径） §3–3 薄壁圆筒的扭转 · 纯剪切一、实验： 1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。

2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。 3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度  。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。

´   a  dy ´ b c d dx 微小矩形单元体如图所示： ①无正应力 ②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。

´   a  dy ´ b t z c d dx 二、剪应力互等定理：上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。

三、剪切胡克定律： 1.  与  的关系：

  2、薄壁圆筒剪应力 大小： A0：平均半径所作圆的面积。

  T=m  剪切胡克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。

式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。

§3–4 圆轴扭转截面上的应力 · 极惯性矩 ①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面圆轴横截面扭转切应力一、等直圆杆扭转实验观察： 1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。

塑性材料扭转断裂演示

二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系：距圆心为  任一点处的与到圆心的距离成正比。 —— 扭转角沿长度方向变化率。

t t max max 2. 物理关系：胡克定律：代入上式得： T

T dA O  令 3. 静力学关系：代入物理关系式得：

—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。 4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。  —该点到圆心的距离。 Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。

对于实心圆截面： 单位：mm4，m4。 ③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。 d D  O

D d 对于空心圆截面： d  O

t max ④ 应力分布 t t max max T T t max （实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。

由知：当对于实心圆截面：对于空心圆截面： ⑤ 确定最大剪应力： Wp — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。

[例2] 直径D=50 mm的圆轴受扭矩T=2.15 kN.m的作用。试求距轴心10 mm处的切应力，并求横截面上的最大切应力。解： (1) 圆轴的极惯性矩点的切应力 (2) 圆轴的抗扭截面系数截面上的最大切应力

小结传递功率、转速与外力偶矩的关系：切应力互等定理三个弹性常数之间的关系剪切胡克定律横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式

对于实心圆截面： 对于空心圆截面：极惯性矩与抗扭截面系数

对于薄壁圆截面： 极惯性矩与抗扭截面系数

链接至扭转变形 §3–6 圆轴扭转破坏 · 强度条件一、扭转失效与扭转极限应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。

二、圆轴扭转时的强度计算 强度条件： ([]称为许用剪应力。) 对于等截面圆轴：强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：

m m C A B D2=75 D1=70 D3=135 [例3]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。解：①求扭矩及扭矩图 T m x ②计算并校核剪应力强度 ③此轴满足强度要求。

t t max max T T t t max max 三、圆轴合理截面与减缓应力集中（实心截面）（空心截面）为提高材料的利用率，工程上采用空心截面构件（航天航空结构中的轴）。尽量减少截面尺寸的急剧变化，以减少应力集中。

[例4]驾驶盘的直径L=520 mm，加在盘上的平行力P=300 N，盘下面的竖轴的材料许用剪应力[τ]=60 MPa；(1)当竖轴为实心轴时，设计轴的直径；(2)采用空心轴，且α=0.8，设计内外直径；(3)比较实心轴和空心轴的重量比；解：①求竖轴内的扭矩 ②设计实心轴

③设计空心轴 • 实心轴与空心轴的重量之比等于横截面面积之比实心轴的重量约是空心轴的2倍。

§3–7 圆轴扭转变形 · 刚度条件 一、扭转时的变形由公式知：长为l一段杆两截面间相对扭转角为

二、单位扭转角 ： 或 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。三、刚度条件或 [ ]称为许用单位扭转角。

刚度计算的三方面： ① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。

[例5]长为 L=2m的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8 ，G=80GPa，许用剪应力 []=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①计算扭矩，画扭矩图 T 40Nm x

②设计杆的外径 40Nm T 代入数值得： D  0.0226m。 x

③由扭转刚度条件校核刚度 ④右端面转角为： 40Nm T x

N1 N2 N3 A B C 500 400 [例6]某传动轴设计要求转速n = 500 r /min，输入功率N1 = 368 KW，输出功率分别 N2 = 147KW及 N3 = 221KW，已知：G=80GPa ，[ ]=70MPa，[ ]=1º/m，试确定： ①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？ ②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排合理？解：①计算外力偶：

T (Nm) x –4221 –7028 N1 N2 N3 A B C 500 400 计算内力—扭矩：由强度条件：

综上： 由刚度条件得： ②全轴选同一直径时

③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才为 74.5mm。 T (Nm) 2807 x – 4210

四、扭转的超静定问题 解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程； ① 几何方程——变形协调方程； ② 物理方程； ③ 补充方程：由几何方程和物理方程得； ④ 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 ⑤

[例7] 图示一根二端固定的阶梯形圆轴，在截面突变处受一外力偶矩M的作用，若d1=2d2，材料的剪切弹性模量是G，试求固端反力偶。解：① 受力分析假设A、B两端的约束力偶为MA和MB，可列一个平衡方程，是一次静不定问题。平衡方程为：求扭矩：

② 几何方程——变形协调方程 ③ 物理方程—扭转变形： ④ 综合物理方程与几何方程，得补充方程： • 由平衡方程和补充方程得：

第三章 扭 转