§2.1 导数的概念

1. §2.1 导数的概念 一、导数概念的引出 二、导数的定义 三、导数与连续的关系 四、单侧导数 五、导函数 六、导数的几何解释

2. 一、导数概念的引出 1、瞬时速度 现代仪器测定，女子网球发球速度最快者是美国的维纳斯·威廉姆斯, 1998年10月16日，在瑞士苏黎士举行的欧洲室内锦标赛上，她的发球速度为每小时205千米。 2004年2月6日，美国的罗迪克在戴维斯杯网球赛中，创下了发球最快球速的世界纪录——时速241.3千米。 什么叫发球速度？它又是怎样计算出来的呢？ 类似这样的问题还有很多：子弹出枪樘的速度，运动员冲刺的速度，两辆汽车同向而行，后一辆超过前一辆时的速度……

3. 以上所提到的速度，我们称之为瞬时速度，即运动的物体在某一时刻 t =t0时的速度。在数学史上，瞬时速度并不是一个容易被接受的概念。 设有一质点作直线运动， 运动规律为:s = s(t)， 如果质点 作匀速直线运动， 则每一时刻的瞬时速度都是 如果质点作非匀速直线运动，设 Δt = t -t0 , Δs = s(t) - s(t0) , 质点在 t与 t0之间的平均速度为： 称为质点在t0时刻的 瞬时速度。

4. 求物体在t =t0时的瞬时速度 记 自由落体运动：

5. 2、 曲线的切线 在中学，我们接触过圆的切线： 相交 相切 相离 切线:与圆只有一个公共点的直线。 实际上，中学里并没有给出一般曲线的切线的定义。

6. 对一般的平面曲线C：y = f (x) ， 在曲线C上P0的附近另取一点 P， 为曲线C上的一点， 作割线PP0， 当点P沿曲线C趋于P0时 ， 如图： C 如果割线PP0的极限位置T 存在，

7. 对一般的平面曲线C：y = f (x) ， 在曲线C上P0的附近另取一点 P， 为曲线C上的一点， 如图： 作割线PP0， 当点P沿曲线C 趋于P0时 ， C 如果割线PP0的极限位置T 存在，

8. 对一般的平面曲线C：y = f (x) ， 在曲线C上P0的附近另取一点 P， 为曲线C上的一点， 如图： 作割线PP0， 当点P沿曲线C 趋于P0时 ， C 如果割线PP0的极限位置T 存在，

9. 对一般的平面曲线C：y = f (x) ， 在曲线C上P0的附近另取一点 P， 为曲线C上的一点， 如图： 作割线PP0， 当点P沿曲线C 趋于P0时 ， C 如果割线PP0的极限位置T 存在， T 则称直线T为曲线C：y = f (x)在点 P0处的切线。 割线PP0的斜率

10. 因为 所以，切线T 的斜率： 如图： C T

11. 3.　边际成本 设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为 我们来研究当q＝q0时，产量变化Δq对成本的影响. 产量变化Δq对成本的影响可用： 来刻划. 而极限 称为q＝ q0时C=C(q)的边际成本. 它表明当产量为q0时，增加单位产量需付出成本:

12. 则称函数y = f (x) 在 点的不可导。 点的可导， 并称此极限为函数y = f (x) 在 点的导数， 如果极限 不存在， 设函数y = f (x) 在点的某邻域内有定义， 上述引例中,如果去掉问题的具体属性（物理的，几何的或经济的），我们可抽象出： 二 导数的定义 给自变 定义1 量以改变量 函数相应的改变量为 如果 存在， 则称y = f (x)在 记作： 或 即

13. 得： 令 牛顿的“流数术”与“第二次数学危机” 牛顿求函数 y = f (x) = x2在点x0处的导数（流数）的方法如下： 1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》,矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他认为: “无穷小ε既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬的”“ε为逝去量的灵魂”。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。

14. 求函数y = f (x)在点x0处的导数一般分为以下三个步骤： 10 计算函数值的改变量 20 求比值 30 求极限 注意：导数定义的其他形式。

15. 所以曲线 在(1,1) 点的切线方程为： 并求曲线 例1 求函数 在 x = 1 点的导数， 在 (1,1) 点的切线方程。 解： y – 1 = 2 (x – 1) 即y = 2x – 1

16. 三 单侧导数 左导数： 定义2 右导数： 左导数与右导数统称为单侧导数. 实质上，网球的发球速度是一个单侧导数。 在x = 0 点不可导. 例3 但

17. 所以 其中 四 可导与连续的关系 定理1 若函数y = f (x) 在 可导， 连续。 则y = f (x) 在 证： 设函数y = f (x) 在 可导， 则 于是 故y = f (x) 在 连续， 注意： 定理的逆不成立， 例如， 在 x = 0 点连续， 但在x = 0 点不可导。

18. ≥ 存在 都存在，且 定理2 由单侧极限与极限的关系即知定理成立。 设f (x) = 例4 求其在x = 0 点的单侧导数。 解： 因为左右导数不相等，所以 此函数在x = 0 点不可导。

19. 五 导函数 定义3 若函数y = f (x)在区间I上每一点都可导， 则称 y = f (x)在区间I上可导。 与之对应， 简称为导数，记作： 由此而确定的函数称为导函数， 即 例5 求函数 的导数。 解：

20. 例6 求函数 的导数。 解： 推广: 由此可得： 则 则

21. 例7 求函数 的导数。 解： 由此可得： 则 例8 求函数 的导数。 解： 由此可得： 则

22. 例9 求函数 的导数。 解： 由此可得： 则 则

23. 六 导数的几何解释 可导， 则y = f (x)在 点的 函数 y= f (x)在 切线斜率 所以曲线y = f (x)在 点的切线方程为： 法线方程为： 例10 求曲线 在 点的切线方程与法线方程。 解： 切线方程为： 法线方程为：