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第 25 课　梯　形

第 25 课　梯　形. 1 ．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形． 的梯形叫做等腰梯形． 2 ．等腰梯形的判定方法： (1) 的梯形； (2) 相等的梯形； (3) 相等的梯形．. 基础知识 自主学习. 要点梳理. 两腰相等. 两腰相等. 同一底上的两个角. 对角线. 3 ．梯形转化为三角形或四边形常见的辅助线：. 4 ．梯形的中位线定理： 梯形的中位线平行于上、下两底，且等于两底和的一半．. [ 难点正本　疑点清源 ] 1 ．类比平行四边形定义，理解梯形定义 有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，

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第 25 课　梯　形

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  1. 第25课　梯　形

  2. 1．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形．1．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形． 的梯形叫做等腰梯形． 2．等腰梯形的判定方法： (1)的梯形； (2)相等的梯形； (3)相等的梯形． 基础知识 自主学习 要点梳理 两腰相等 两腰相等 同一底上的两个角 对角线

  3. 3．梯形转化为三角形或四边形常见的辅助线：3．梯形转化为三角形或四边形常见的辅助线：

  4. 4．梯形的中位线定理： 梯形的中位线平行于上、下两底，且等于两底和的一半．

  5. [难点正本　疑点清源] 1．类比平行四边形定义，理解梯形定义 有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形， 关键在于另一组对边的位置或平行的一组对边的数量关系， 梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平 行四边形中平行的一组对边必相等，梯形平行的一组对边必 不相等．

  6. 2．梯形中经常用到的添辅助线方法 在解决梯形问题时，常常要视已知条件来添加某些辅助线，将梯形 化为三角形或平行四边形(或矩形)，从而使分散的条件相对集中，找出 原题的解答． (1)当已知条件中含梯形两腰时可延长两腰，把梯形问题转化为三 角形问题来解决；或平移一腰或过上底两端点作高，把梯形转化为平行 四边形和三角形来解； (2)当已知条件中含梯形对角线时，可平移一条对角线，把梯形转 化为平行四边形或三角形来解； (3)当已知对角线中点时，可将顶点与该中点连接并延长与另一底 相交于一点，把梯形问题转化为三角形问题来解； (4)当已知一腰中点时，可把一顶点与中点连接并延长与另一底相 交；或过这腰中点作梯形另一腰的平行线，把梯形问题转化为平行四边 形或三角形问题来解；或取梯形另一腰的中点，构成梯形中位线问题．

  7. 1．(2011·临沂)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，则梯形ABCD的周长是()1．(2011·临沂)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，则梯形ABCD的周长是() A．12 B．14 C．16 D．18 答案　C 基础自测

  8. 2．(2011·宜昌)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论一定正确的是()2．(2011·宜昌)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论一定正确的是() A. ∠HGF＝∠GHE B．∠GHE＝∠HEF C．∠HEF＝∠EFG D．∠HGF＝∠HEF 答案　D

  9. 3．(2011·台州)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，对角线BD、AC相交于点O.下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是()3．(2011·台州)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，对角线BD、AC相交于点O.下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是() A．∠1＝∠4 B．∠1＝∠3 C．∠2＝∠3 D．OB2＋OC2＝BC2 答案　B

  10. 答案　B

  11. 5．(2011·潍坊)已知直角梯形ABCD中， AD∥BC，∠BCD＝90°， BC＝CD＝2AD , E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论不正确的是() A．CP平分∠BCD B．四边形 ABED为平行四边形 C．CQ将直角梯形 ABCD分为 面积相等的两部分 D．△ABF为等腰三角形 答案　C

  12. 【例 1】　如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD，BD⊥CD. (1)求sin∠DBC的值； (2)若BC长度为4 cm，求梯形ABCD的面积． 题型分类 深度剖析 题型一　梯形的相关计算题

  13. 探究提高　掌握梯形的面积公式；或者根据条件，将梯形问题转化为三角形问题来加以解决．

  14. 知能迁移1(2011·河南)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE＝AD，连接DE交AB于点M.知能迁移1(2011·河南)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE＝AD，连接DE交AB于点M. (1)求证：△AMD≌△BME； (2)若N是CD的中点，且MN＝5，BE＝2，求BC的长．

  15. 【例 2】　如图，在等腰梯形ABCD中，∠C＝60°，AD∥BC，且AD＝DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE＝CF，AF、BE交于点P. (1)求证：AF＝BE； (2)请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论． 题型二　等腰梯形

  16. 解：(1)∵BA＝CD＝AD， ∠BAE＝∠ADF， AD＋DE＝CD＋CF，即AE＝DF， ∴△BAE≌△ADF(SAS)，[3分] ∴AF＝BE.[4分] (2)猜想∠BPF＝120°.[5分] 证明：由(1)得△BAE≌△ADF， ∴∠ABE＝∠DAF.[6分] ∴∠BPF＝∠ABP＋∠BAP＝∠BAE. 又∵AD∥BC，∠C＝∠ABC＝60°， ∴∠BPF＝∠BAE＝120°.[8分] 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！

  17. 探究提高　利用等腰梯形的性质“同一底上的两个底角相等”直接求得∠BPF的度数．探究提高　利用等腰梯形的性质“同一底上的两个底角相等”直接求得∠BPF的度数．

  18. 知能迁移2(2011·芜湖)如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC, BD平分∠ABC，∠A＝60°.过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF，求证：△DEF为等边三角形.

  19. 题型三　直角梯形

  20. 解　(1)证明：过D作DG⊥BC于G. 由已知可得，四边形ABGD为正方形. ∵DE⊥DC， ∴∠ADE＋∠EDG＝90°＝∠GDC＋∠EDG， ∴∠ADE＝∠GDC. 又∵∠A＝∠DGC，且AD＝GD， ∴△ADE≌△GDC . ∴DE＝DC，且AE＝GC. 在△EDF和△CDF中， ∠EDF＝∠CDF，DE＝DC，DF为公共边， ∴△EDF≌△CDF. ∴EF＝CF.

  21. 探究提高　涉及直角梯形的问题，常作高构造矩形和直角三角形来解决问题．探究提高　涉及直角梯形的问题，常作高构造矩形和直角三角形来解决问题．

  22. 知能迁移3(2011·潼南)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝BC，且AE⊥BC.知能迁移3(2011·潼南)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝BC，且AE⊥BC. (1)求证：AD＝AE； (2)若AD＝8，DC＝4，求AB的长．

  23. 【例 4】(2010·咸宁)如图，直角梯形 ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°， AD＝2DC＝4，AB＝6，动点M以每秒 1个单位长度的速度，从点A沿线段AB 向点B运动；同时点P以相同的速度， 从点C沿折线C－D－A向点A运动， 当点M到达点B时，两点同时停止运动， 过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A－C－B的交点为Q， 点M运动的时间为t(秒)． (1)当t＝0.5时，求线段QM的长； (2)当0<t<2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值； (3)当t>2时，连接PQ交线段AC于点R，请探究 是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由． 题型四　梯形的相关综合题

  24. 备用图1

  25. 备用图2

  26. 探究提高　梯形问题常与三角形、平行四边形、矩形等综合，考查综合分析的能力．探究提高　梯形问题常与三角形、平行四边形、矩形等综合，考查综合分析的能力．

  27. 知能迁移4(2011·茂名)如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1＝∠2.知能迁移4(2011·茂名)如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1＝∠2. (1)求证：OD＝OE； (2)求证：四边形ABED是等腰梯形； (3)若AB＝3DE, △DCE的面积为2, 求四边形ABED的面积．

  28. 易错警示 16．正确使用定理，养成严格论证的习惯

  29. 剖析　以上证法的错误之处在于没有经过证明就承认E、M、N三点共线，于是就认为EN是△ADB的中位线，这就犯了没有根据就下结论的错误，并当成已知条件去用的毛病．剖析　以上证法的错误之处在于没有经过证明就承认E、M、N三点共线，于是就认为EN是△ADB的中位线，这就犯了没有根据就下结论的错误，并当成已知条件去用的毛病．

  30. 批阅笔记　在证题中一定要做到推理过程中步步有根据，养成严格论证的习惯，正确使用定理．梯形问题可转化为平行四边形和三角形的问题去研究.

  31. 方法与技巧 由于梯形只有一组对边平行，引申出的性质很少，因而解有关 梯形的题目，一般要添加辅助线，所以要熟悉梯形常用的辅助线和 它们的作用． 1. 作一腰的平行线：可以起到平移一腰和一个底角的作用，使 两腰和同一底上两底角会聚到一个三角形中．对于只涉及梯形的腰、 底角、上下底之差的题目，常常利用这条辅助线． 2. 从上底两顶点作高线：这两条高线把梯形分为两个直角三角 形和一个矩形，矩形以梯形的上底及高为长、宽；涉及梯形的高线、 面积的题目，常常利用这种辅助线． 3. 过一个顶点，作一条对角线的平行线，与所对底边的延长线 相交：把一条对角线平移出来，造成一个由两条对角线上、下底之 和组成的三角形．涉及梯形对角线或上下两底之和的题目，常常利 用这种辅助线． 思想方法 感悟提高

  32. 4. 延长两腰使之相交：这种辅助线使得便于应用平行线分线段成比例定理．

  33. 失误与防范 1．梯形定义及性质中的易错点： (1)梯形的两底还可分为上底和下底，通常把较短的底 叫做上底，较长的底叫做下底； (2)等腰梯形的性质“在同一底上的两个角相等”，常被 错误地说成：等腰梯形两底上的角相等，或等腰梯形两底角 相等，要坚决杜绝上面的说法，对于定理应准确记忆并加以 理解．

  34. 2．有关梯形问题，往往会由于对梯形概念的内涵理解不准确， 只注重一组对边平行，而忽略另一组对边不平行的条件，导致解题 错误． 例如：命题“梯形的中位线能与它的一条底边长相等”是否正 确？ 错解：正确．当中位线与它的一条底边长相等时，照是梯形． 错因剖析：梯形的一组对边平行而另一组对边不平行．若梯形 的中位线与它的一条底边长相等，不妨设梯形的中位线长为l，上、 下底长分别为a、b，b＝l，则l＝(a＋l)，即a＝l.这样梯形的上、下 底平行且相等，变成了平行四边形，不再是梯形．

  35. 完成考点跟踪训练25

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