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Repeated Games and Reputations: Price Wars Analysis

Explore the application of repeated games in analyzing price wars, collusion, risk sharing, and achieving equilibrium outcomes in long-run relationships. Detailed representations and discussions are provided.

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Repeated Games and Reputations: Price Wars Analysis

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Presentation Transcript

  1. Repeated Games and Reputations Long-Run Relationships Chapter 6Applications Taiki Todo March 29, 2012

  2. Introduction • 本章では完全観測繰り返しゲームの適用例を３つ紹介 • 現実問題の解析・説明に繰り返しゲームを用いる際の定式化の例

  3. Outline • 6.1 Price Wars • n 企業間の価格競争 • プレイヤ間の協調 (collusion) の達成可能性 • 6.2 Time Consistency • 企業-政府間の資本課税競争 • 無限回繰り返しゲームによる効率的結果の実現 • 6.3 Risk Sharing • 消費と保険加入 • 現実問題の，均衡結果による説明

  4. 6. Applications 6.1 Price Wars

  5. Price Wars • 同一の商品を生産する n 個の企業 • 最安値を設定した企業のみが勝者（消費者に販売可能） • 勝者の利益は，消費者の需要量×価格 • 複数の企業が最安値を設定した場合，その企業間で需要を等分割 • この競争が繰り返し行われる場合に，企業間の協調（全員が同一価格を設定）は達成できるだろうか

  6. Repeated Game Representation(1/3) • n: 企業（プレイヤ）数 • s: 状態．全プレイヤが正確に状態を把握 (perfect monitoring) • S: 状態の集合 • q: S 上の分布関数．q(s) は状態 s が生起する確率 • p1,…, pn: 分布 q から選ばれる現在の状態を観測後，プレイヤが設定する価格．プレイヤの戦略． • s-min{p1,…,pn}: 最安値に対応する需要．この形式で与えられると仮定． • min{p} * (s – min{p}): 勝者が等分割する利益

  7. Repeated Game Representation(2/3) • 各期のゲームにおけるナッシュ均衡では，最安値は $0 となり，全員利得 0 • 他の誰か一人でも $0 を付けた場合，自分はどのような価格を付けても利得は 0 • 一方，自分以外の最安値が $100 のとき，$99 を付ければ全ての需要を独占 • この繰り返しにより最安値は $0 まで低下 • 一方，最も利得を増加させる価格は，需要 s に対して s/2. そのときの利得 (s/2)^2 • 自分以外の全員が s/2 を付けているとき，少し下げれば需要を独占

  8. Repeated Game Representation(3/3) • The most collusive equilibrium (MCE) • Strongly symmetric • Maximizes the firms’ expected payoff • 以降，この MCE p(s) を考慮 • p(s) <= s/2: min{p}(s-min{p}) の式より一般性を失わない • 均衡からの逸脱は，以降永久に処罰 • 分布 q の構造と均衡戦略との関係を議論 • 6.1.1 independent and identically distributed • 6.1.2 with persistence

  9. 6.1.1 Independent Price Shocks • 各期独立に，同一の分布 q に従って状態 s が生起 • MCE p(s) は，全ての s において以下の式の解： 協調した場合の今期の利得と今後の期待利得 均衡戦略 p から逸脱した場合の今期の利得

  10. For Large δ • δ が十分大きいとき，v* の式のみが有効 • すなわち，p(s) = s/2 が均衡戦略 • 現在の状態 s に対する価格設定による利得が小さくなる

  11. For Small δ (1/3) • 一方，δ が十分小さいとき，p(s) は次の式を解く： • 右図より，s = max{S} の場合であるから，必ず bar(s) が存在 u p(s)(s-p(s)) bar(s) p(s)

  12. For Small δ (2/3) • この bar(s) を用いて，MCE p(s) は次のように書ける： • s > bar(s) のとき • s <= bar(s) のとき u p(s)

  13. For Small δ (3/3):discussions • Bar(s) が与えられたとき，MCE p(s) は， • s > bar(s)に対して単調減少 (counter-cyclical) • 状態 s の値が大きいほど，逸脱した場合の利益は大きい • s < bar(s) に対して単調増加 (pro-cyclical) • 問題（特に需要 s ）が与えられたとき，需要が小さいうちは協調戦略の価格は増加傾向 • しかし，需要が大きくなると，協調戦略の価格が減少

  14. 6.1.2 Correlated Price Shocks • 6.1.1 では，各期の状態は独立に同一の分布から選ばれると仮定 • 現実の問題，次の状態は現在の状態と何らかの関係を持つことが多い • 特に，次の状態が現在の状態から変わりにくい（粘度，persistence）というのはよく見られる傾向 • 景気の変動：好景気と不景気が急激に入れ替わることは稀，多くの場合緩やかに変動

  15. Simple Example • n=2 • S = {1 (low demand) , 2 (high demand)} • q: 次状態の分布．以下のマルコフ過程で定義： • 初期状態はランダム（互いに確率 1/2）で生起 • 確率 1-φ で，現在の状態と同一の状態が生起 • 確率 φ で，現在の状態と異なる状態が生起 • φ を小さく選べば，persistent な状況を表現可能 • δ = 11/20 （1/2 より微妙に大きい点がポイント）

  16. Cf. MCE • 先に，6.6.1 のケースと同様の i.i.d. の分布を仮定し，MCE を考えてみる • 需要が小さいとき (s=1), 1/2 を設定 • 需要が大きいとき (s=2), 次の式で与えられる p を設定： • この式を解くと，p~ = 0.22 が得られる • 即ち，countercyclical • High-demand の場合の方が均衡価格が低くなる

  17. Persistent States (1/2) • 次に，定義したマルコフ過程を考える • 各期 s/2 を定める戦略 p を考える • s に関して単調増加 • この戦略が MCE であれば，このモデルは pro-cyclical • φ がほぼ 0 のとき（＝ persistence が強いとき）， • 初期状態 s=1 -> v* = 1/8 • 初期状態 s=2 -> v* = ½ • よって，上記の戦略が MCE となるための必要十分条件は

  18. Persistent States (2/2) • これらを解くと，δ >= ½ • よって，現在の discount factor 11/20 であれば，各期 s/2 を定める戦略が MCE • この MCE p(s) は明らかに単調増加 • すなわち，このモデルは pro-cyclical: 需要 s が増加すれば，協調 (MCE) による利益も増加

  19. 6. Applications 6.2 Time Consistency

  20. Time Consistency • 企業と政府の資本課税競争 • 企業は各期，１単位の分割財を，消費と資本に分割 • 消費はそのまま自分の利益 • 資本は，ある一定の割合の収益を生み出すが，その収益は政府によって課税される • 徴収された税によって，公共財が生産され，企業はその公共財からも（微量の）利益を得る • 企業が毎期同一の分割を行うような税率は？ • 政府は benevolent/慈善的

  21. 6.2.1 Stage Game • Player 1: 政府 • Player 2: 企業．毎期同一性能の異なる企業が参加 • c: 消費 (consumption) • 1-c: 資本 (capital) • R: 資本からの収益 (return). R>1 • t: 政府による課税率 (tax rate) • γ(>1): 税収からの公共財の生産率．R-1<γ<R

  22. Consumer’s Utility • 但し，G は公共財の量 • 企業の立場では，G は微少量と考えられる？ため，固定して計算

  23. Government’s Response • 企業が分割 c を選択したときの政府の最適な課税率 t • ただし，政府は慈善的であり，目的関数は企業の利益の最大化

  24. Best Response • 互いの最適反応を図示すると右図のようになる • ところで，政府は慈善的であるから，政府-企業の利害は一致 • R は資本からの収益であるから明らかに R>1 • よって，企業は全て資本とする (c=0) のが効率的 • そのときの最適な課税はt = γ/R （点 B）

  25. 6.2.2 Equilibrium, Commitment, and Time Consistency • しかし，点 B は効率的ではあるが，均衡でない • 課税率 t=γ/R に対する最適な分割は c=1 • 実際，均衡は点 A • 企業が最適反応を取ると仮定すると，企業の利得を最大化する課税率はt=(R-1)/R となり，結果は点 C • 企業が全て資本とするような最大の課税率

  26. Commitment Problem • 先に政府が t=(R-1)/R を選び，それを企業が観測できるのであれば，点 C の結果を保証可能 • しかし，現実には不可能 • このとき，政府の立場から見るとコミットメント問題が生じる • 相手の戦略決定前に自分の戦略を相手に伝えることができれば，自分の効用（この場合は政府の効用であり，問題の定義より企業の効用と等価）を増加可能 • Time consistency problem とも呼ばれる．このとき，政府は optimal だが time inconsistent な課税率を持つ，という

  27. 6.2.3 The Infinitely Repeated Game • 無限回の繰り返しゲームを考えることで，政府が企業に情報を伝えられるのではないか • 仮定として，政府は割引率 δ を持つものとする • ここでは， grim-trigger 戦略を考え，毎期点 C を達成可能なサブゲーム完全均衡となることを示す

  28. Grim Trigger Strategy • 状態: wL and wH • wL: 低税率（t=t*=(R-1)/R）かつ c=0 • wH: 高税率（t=1）かつ c=1 • 初期状態 wL • 行動 • 政府: wL のとき t*, otherwise t=1 • 企業: wL のとき c=0, otherwise c=1 • 遷移 • wL かつ t=t* のとき wL, otherwise wH

  29. 6. Application 6.3 Risk Sharing

  30. Risk Sharing • 消費者の消費と保険契約 • 高所得者は低所得者よりも消費が多い？ • 現実のデータを見ると，必ずしもそのようにはなっておらず，現在や過去の収入状況に依存している，らしい． • ここでは，プレイヤ２人のシンプルなモデルを用いて，そのデータに一つの説明をつける • モラル・ハザードとの関係？

  31. 6.3.1 The Economy (1/2) • n=2: プレイヤは二人 • State: e(1) = (y-, y_) & e(2) = (y_, y-) • 初期保有量を規定 • y- + y_ = 1, y- \in (1/2, 1) • 等確率 (random state RG) • Stage game strategy:相手に譲渡する量（＝保険料？） • 譲渡後の保有量を c1, c2 で表記 • Utility u(c): 保有量に関する関数 • 単調増加かつ凹 → リスク回避 • Ex. 限界効用逓減 u(c) c

  32. 6.3.1 The Economy (2/2) • Strategy: 前期までの履歴と今期の初期保有量から，今期相手へ譲渡する額を出力 • Ex. No-transfer: 効用関数が単調増加なので，各期相手に譲渡しないことが均衡．但し，concave であるから結果は非効率的（risk-neutral であれば効率的） • 各期で効率的な結果を導くサブゲーム完全均衡は存在する？それはどのような場合？

  33. 6.3.2 Full Insurance Allocations • Full-insurance strategy profile: ある定数 c が存在し，任意の履歴に対してプレイヤ 1 が c を保有し，プレイヤ 2 が 1-c を保有するような戦略の組 • 即ち，任意の履歴に対して，両エージェントが毎期同じ額を消費する戦略の組 • No-transfer は full insurance? • Player1-all-transfer は full insurance? • Equal-payoff-transfer は full insurance? • Full insurance 自体は均衡とは別の概念 → NO → YES → YES

  34. SPE and Full Insurance • Full Insurance (FI) strategy profile がサブゲーム完全均衡となるのはいつ？ • Minmax payoff 及び feasibility より，扇型の領域が IR かつ feasible なpayoff の集合 • サブゲーム完全均衡戦略は，次の式を解く： • 例えば，多くの δ について，equal-payoff transfer はこの式を解く，即ちFI かつ SPE

  35. Equal-Payoff Strategy • 相手が逸脱しない限り，互いの保有量が 1/2 となるように譲渡 • 相手が逸脱したあとは，一切の譲渡を行わない • 性質： • Full insurance: 常に同じ消費を行う • Sub-game perfect: 逸脱の誘因が生じない

  36. 6.3.3 Partial Insurance • δ* を，equal-payoff equilibrium のみが full insurance SPE となる最小の割引率とする • δ* より小さい割引率の場合，full insurance equilibrium は存在しない • このとき，代わりの概念として，stationary-outcome equilibrium (SOE) を導入 • e(1) においてはプレイヤ 1 がεだけ保険料を支払い，e(2) においてはプレイヤ 2 がεだけ支払う • FI profile → SO profile. Equal-payoff も stationary-outcome.

  37. Discussions on Risk Sharing • ここまで，δが十分大きい場合 (full insurance),及びδがδ* よりも少しだけ小さい場合 (partial insurance) を議論してきた • 即ち，割引率が大きい範囲においては，収入 (endowment) のレベルが異なっていても，消費 (consumption) が一定となる均衡が存在

  38. Remainings • 以降の内容は十分理解できていない • 6.3.4 Consumption Dynamics • 6.3.3 の一般化 • 履歴に e(1) のみが現れる場合 (y-, y_), それ以外では stationary-outcome をとるような戦略 • 6.3.5 Intertemporal Consumption Sensitivity • 状態数が 3 （middle state を追加）の場合の議論

  39. Summary

  40. Summary • 完全観測繰り返しゲームによる定式化と解析

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