开题报告 项目名称： “ 阿贝尔 — 费马 ” 方程及其特殊解法 第二组

1. 开题报告 项目名称：“阿贝尔—费马”方程及其特殊解法 第二组

2. 1 理论依据 • 1.1 问题背景 • 在中学数学学习过程中，完全平方和与完全立方和公式常用于某些问题的解决，而在问题的解决过程中，某些学生常将两个公式误用即把两个公式： 和 。对此，教师们在进行点评时常常以指出误用公式而导致问题出错宣告结束，尚未引导学生对错误公式成立的充要条件加探究，致使一个较有价值的错误失去了它特有的价值功能一个偶然的机会引起了我们的重视，我们将两个等式与费马大定理中的方程进行比较分析，发现两个等式正是费马大定理中方程的退化变形式，而将一元n次多项式替换费马大定理中方程中的x、y、z，又得到一类特殊的方程，将这类方程转化后又将变为阿贝尔定理中所涉及到的方程，因此，我们把这类方程命名为：“阿贝尔—费马”方程。由两个等式成立的充要条件，我们猜想到这类特殊的方程一定存在着某种特殊解法，为此，我们提出“阿贝尔—费马”方程及其特殊解法这一项目进行探究。

3. 1.2 项目研究的意义 1）.通过对阿贝尔定理和费马大定理的比较分析提出并命名了“阿贝尔—费马”方程。 2）.通过对： 和 等式成立的充要条件的探究给出了“阿贝尔—费马”方程在实数范围内的同解原理。 3）.为“阿贝尔—费马”方程在实数范围内提供了一种特殊的解法。

4. 1.3研究现状 历史上卡耳丹等人曾研究过五次以下的一元方程的解法,并给出了著名的卡耳丹公式。 1824年挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上的一元高次方程,不存在代数解法,这一事实现被称为阿贝尔定理, 阿贝尔还考虑了一些特殊的能用根式求解的方程,其中一类被成“阿贝尔方程”。 通过查阅有关资料,尚未发现有“阿贝尔—费马”方程之说。也未曾发现有人研究过“阿贝尔—费马”方程的解法。 1.4参考文献李文林、<<数学史概论>>(M)、北京、高等教育出版2002.8(2005年)重印。

5. 2 研究方案 2.1研究目标 1）.“阿贝尔—费马”方程的界定。 2). “阿贝尔—费马”方程的同解原理。 3）. “阿贝尔—费马”方程的解法。 2.2 研究内容 1).等式成立的充要条件。 2).等式成立的充要条件。 2.3 拟解决的关键问题 等式成立的充要条件的证明及同方程同解原理的得出。 2.4研究方法和技术路线 1).应用观察、分析、比较等方法给出“阿贝尔—费马”方程的概念。 2).应用严密的逻辑推理导出等式成立的充要条件,在此基础上给出“阿贝尔—费马”方程的同解原理。 3).应用同解原理解决有关方程。

6. 2.5 可行性分析 1).方程容易构造。 2).等式成立的充要条件的证明所用数学知识较为简单, 证明过程较为简捷。 2.6 研究的创新之处 1).界定了一类特殊的方程—“阿贝尔—费马”方程。 2).给出了“阿贝尔—费马”方程的有关同解原理。 3).为“阿贝尔—费马”方程在实数范围内提供了一种特殊的解法。 2.7预期研究进展及成果 争取半年时间初步完成本项目的研究,研究成果以论文形式形成。