Matrizes Aleat órias: Passeio por Fundamentos e Aplicações

1. Matrizes Aleatórias: Passeio por Fundamentos e Aplicações Marcel Novaes Departamento de Física Universidade Federal de São Carlos

2. Sumário Surgimento com Wigner e Dyson Ensembles Gaussianos Aplicação em Caos Quântico Outros Ensembles (Wishart-Laguerre, Circular, Jacobi) Conexão com polinômios ortogonais clássicos Aplicações: Topologia, Combinatória, Teoria de Grupos

3. Introdução Anos 50: Wigner Anos 60: Dyson Ideia inicial: Hamiltoniana de um núcleo grande é muito complexa Pode ser trocada por uma matriz aleatória análise estatística do espectro Os elementos da matriz são sorteados aleatoriamente Autovalores e autovetores se tornam variáveis aleatórias Autovalores formam um conjunto de variáveis correlacionadas Novas distribuições universais = para além da distribuição normal (TCL)

4. Ensembles Gaussianos Primeira escolha: Espaço amostral dos elementos Número reais? Complexos? Quatérnios? Índice de Dyson: , respectivamente (dimensão do espaço amostral) Segunda escolha: Distribuição dos elementos Caso mais simples: variáveis Gaussianas independentes Formam os famosos GOE, GUE e GSE (a letra do meio se refere ao grupo de simetria)

5. Ensembles Gaussianos Para os três, a densidade é dada por Grupo de simetria: Grupos Ortogonal, Unitário e Simplético para GOE, GUE e GSE Distribuição dos autovalores: + Integração sobre os autovetores Diagonalização Resultado: O Jacobiano é chamado de Vandermonde Dá origem a uma repulsão entre autovalores próximos

6. ) ( Ensembles Gaussianos Quantidades derivadas (assintóticas): Densidade de estados: (Lei do Semicírculo) Função de correlação: Espaçamento entre vizinhos: Distribuição do maior autovalor: então (Lei de Tracy-Widom) onde q(x) satisfaz uma EDO não-linear (Painlevé II)

7. Primeira aplicação: Caos Quântico Sistemas dinâmicos clássicos são em geral caóticos Separação exponencial de condições iniciais (Hiperbolicidade) Trajetórias longas “cobrem” todo o espaço (Ergodicidade) Exemplo mais simples: partícula na caixa bidimensional Sistemas regulares: Sistemas caóticos: Quais as consequências do caos para o problema quântico?

8. Matrizes Aleatórias em Caos Quântico 1984: Bohigas, Giannoni, Schmit Mesmo um sistema de poucos graus de liberdade pode ser descrito por matrizes aleatórias, se sua dinâmica clássica for caótica Evidências sólidas, tanto experimentais quanto numéricas. Por exemplo, P(s): Experimento com vibrações de um bloco de quartzo Experimento com hidrogênio em campo magnético intenso Simulação numérica para bilhar caótico Simetria ortogonal = Simetria de reversão temporal (Depois disso, explosão: matrizes aleatórias por toda parte)

9. Outros Ensembles Ensemble de Wishart-Laguerre. Matrizes , com H NxM Gaussiana Usado para modelar: matrizes de covariância, comunicação wireless, econofísica, transporte eletrônico, dinâmica de populações, emaranhamento, etc. densidade reduzida Distribuição matrizes: Distribuição autovalores: Densidade de níveis: (Lei de Marchenko-Pastur) Maior autovalor: Também Tracy-Widom

10. Outros Ensembles Ensembles Circulares Circular Unitary Ensemble, CUE: Grupo Unitário U(N) com medida de Haar COE: Matrizes Unitárias Simétricas. Isomorfo ao quociente U(N)/O(N) Usados para modelar matrizes de espalhamento, propagadores Espectro sobre o círculo unitário Distribuição autovalores: Densidade de níveis: constante Se a função f(H) depende apenas dos autovalores de H, é natural tomar a média sobre os autovetores

11. Se ou , então ou Outros Ensembles Ensembles de Jacobi: JUE, JOE Em uma situação de espalhamento como esta, a matriz de espalhamento tem quatro blocos A matriz é chamada matriz de transmissão Distribuição de matrizes: Distribuição de autovalores: Densidade de níveis: onde

12. Polinômios ortogonais Distribuição Polinômios Ortogonalidade Hermite Laguerre Jacobi Propriedade do Vandermonde: Existem muitas matrizes M possíveis. Por exemplo: Uma consequência: em média, níveis de energia = zeros dos polinômios

13. Outras Aplicações Vimos algumas aplicações (Caos Quântico, Espalhamento, Emaranhamento), em que aparecem de fato matrizes que são praticamente aleatórias Mas a estatística subjacente aparece em situações sem matriz nenhuma Exemplo 1: Zeros da função z de Riemann Hipótese de Riemann: Os números tn parecem ter estatística GUE (Montgomery ’73, Odlyzko  ’92, Keating & Snaith ’01, etc.) Exemplo 2: Maior subsequência crescente de permutações tem L=4 A estatística de L satisfaz Tracy-Widom (Baik, Deift & Johansson ‘99)

14. Aplicação em Topologia Seja o GUE(N) e Lei de Wick: Valor médio de produto = produto de valores médios aos pares Covariância: Consideremos Polígono de 2k lados, arestas coladas aos pares Característica de Euler: Expansão topológica: (Harer-Zagier, ’86)

15. Aplicação em Combinatória Seja o GUE(N) e com Como então Formulação diagramática: Cada traço vira um vértice Lei de Wick: Todas as conexões possíveis Exemplo: Cálculo de discutido anteriormente:

16. Aplicação em Combinatória Em geral, coisas complicadas (`t Hooft, ’74) (Brézin, Itzykson, Parisi, Zuber, ’78) No novo modelo, Um dado valor de m em produz m vértices Ao final, teremos para um gráfico com A arestas, m vértices e F faces Conclusão: é o número de diagramas com A arestas, genus g e kn vértices de grau n

17. Aplicação em Teoria de Grupos Seja Então Prova: Teoria de funções simétricas + Teoria de caracteres Função de potência Função de Schur (caracter do grupo unitário) Caracteres do grupo de permutações Classe de conjugação Tamanho do centralizador da classe

18. Aplicação em Teoria de Grupos Integral de Itzykson-Zuber: Pode ser provado de várias formas que Recentemente, (Goulden, Guay-Paquet & Novak ’12) onde é função geratriz para certa classe de fatoração de permutações Estreitamente relacionada a uma generalização dos números de Hurwitz Fornece estatística da condutância de pontos quânticos caóticos

19. Aplicação em Teoria de Grupos Produto de elementos de matriz É preciso que ao final haja apenas módulos quadrados Os índices k/m devem ser alguma permutação dos i/j W é chamada função de Weingarten