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R solution d un programme lin aire

PROGRAMME LIN

clancy
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R solution d un programme lin aire

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Presentation Transcript

    1. Résolution d’un programme linéaire Plan Méthode graphique Méthode du Simplexe Exercices d’application

    2. PROGRAMME LINÉAIRE FONCTION OBJECTIF Maximiser ou minimiser z = c1x1 +… + cnxn Contraintes a11x1 + … + a1nxn (?, =, ?) b1 a21x1 + … + a2nxn (?, =, ?) b2 am1x1 +… + amnxn (?, =, ?) bm Contraintes de non-négativité xj ? 0 ; j = 1, 2, 3, … n avec xj variables de décision (inconnues) aij, bi, cj paramètres du programme linéaire

    3. Méthode Graphique Valable si 2 variables de décision seulement. Le nombre de contraintes est quelconque. Repose sur une représentation des contraintes dans un plan.

    4. Contrainte =inégalité à 2 variables a1x1 + a2x2 <= b ; b > 0, a1 >0, a2 > 0

    5. Maximisation sous contraintes

    7. Exemple 1 Maximisation du profit Contrainte de rareté d’une ressource Contraintes de demande

    8. Solution graphique de l’exemple 1

    9. Exemple 2 MAXIMISER z = 3 x1 + 5 x2 Contraintes : x1 ? 4 2 x2 ? 12 3 x1 + 2 x2 ? 18 x1 ? 0 ; x2 ? 0

    10. ZONE DE SOLUTION RÉALISABLE Zone limitée par les contraintes du problème et par les limites des variables de décision SR

    11. FONCTION OBJECTIVE Déplacement de la fonction objective à l’intérieur de la zone de solution réalisable pour atteindre un extremum

    12. Exemple 3 Maximiser Z = x1 + 2x2 2x1 + x2 ? 4 x1 + x2 ? 8 -x1 + x2 ? 4 x1 ? 5 x1 ? 0, x2 ? 0

    13. Exemple 3 (suite)

    14. Exemple de MINIMISATION Minimiser Z = x1 – x2 Sachant que : ½ x1 + x2 ? 8 -x1 + 8x2 ? 40 x1 ? 8 x2 ? 8 x1 ? 0, x2 ? 0

    15. PROBLÈME DE MINIMISATION

    16. Cas possibles La zone SR peut être : Vide: Contraintes contradictoires (pas de solution optimale) borné : le problème possède toujours au moins une solution optimale non borné : selon la fonction objectif Si MIN : il y a une solution finie Si MAX : Solution non bornée

    17. Le nombre de solutions optimales ? Une seule. Une infinité : si deux sommêts réalisent l’optimum (tout le segment reliant les deux sommêts optimaux)

    18. Méthode du simplexe Méthode algébrique Méthode itérative

    19. Etapes Forme standard du PL Tableau de départ du simplexe Application de l’algorithme du simplexe

    20. Forme standard d’un PL Maximiser Z = 7x1 + 5x2 Sachant que : x1 ? 300 x2 ? 400 x1 + x2 ? 500 2x1 + x2 ? 700 x1 ? 0 x2 ? 0

    21. Inégalités ? égalités x1 ? 300 ? x1 + e1 = 300 x2 ? 400 ? x2 + e2 = 400 x1 + x2 ? 500 ? x1 + x2 + e3 = 500 2x1 + x2 ? 700 ? 2x1 + x2 + e4 = 700 ei = Variable d’écart.

    22. Maximiser Z = 7x1 + 5x2 Sachant que : x1 + e1 =300 x2 + e2 = 400 x1 + x2 + e3 = 500 2x1 + x2 + e4 = 700 x1 ? 0 ; x2 ? 0 ei ? 0 

    24. Tableau de départ du simplexe

    25. Changement de variable

    26. Deuxième tableau

    27. Changement de variable

    28. Troisième tableau

    29. Changement de variable

    30. Quatrième tableau

    31. Solution optimale En base : x1 = 200  e2 = 100  e1 = 100  x2 = 300 e3 = e4 = 0 (hors base) Max Z = 2900

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