群论（对称性）

群论（对称性） 任课教师：胡自翔 zxhu@cqu.edu.cn 15223059617 Office：phys201-6

物理学中的群论基础 • 参考书： • 群论及其在固体物理中的应用 • 徐婉棠，喀兴林，高等教育出版社，1999年版 • 群论及其在物理中的应用 • 马中骐，戴安英，北京理工大学出版社，1988年版 • 物理学中的群论 • 马中骐，科学出版社，1998年版 • “Elements of Group Theory for Physics” • 科学出版社，1982年版，John Wiley，（1977） • “量子化学中的群论方法” • C、D、H奇泽著，汪汉卿等译，科学出版社，1981版 • “群论” • 韩其智，孙洪洲编著，北京大学出版社，1987年版 • “群论及其在物理学中的应用” • 李子平，廖理几，新疆人民出版社，1986年版

群论简介 一、历史：群论源于十九世纪初，由高斯、柯栖、阿贝尔、哈密顿、伽罗瓦、西勒维斯特等人初创。二十世纪初，相对论和量子力学诞生，随后，群论被引进物理学，成为物理学的一个重要研究工具。二、群论与对称性群论是研究系统对称性质的数学工具。中国古代：殷商时期的“司母戊大方鼎”上的蟠龙纹和饕餮纹河姆渡象牙雕刻件“双鸟朝阳” 古埃及：金字塔

中国古代：殷商时期的“司母戊大方鼎”上的蟠龙纹和饕餮纹中国古代：殷商时期的“司母戊大方鼎”上的蟠龙纹和饕餮纹

中国古代：河姆渡象牙雕刻件“双鸟朝阳”

古埃及：金字塔 胡夫金字塔

三、群论及物理学 1．物理学中的对称性 ①空间坐标平移不变性（系统拉氏函数L不变）动量守恒，雅科比C.G.J.Jacobi（1884） ②L在空间转动下对称角动量守恒，雅科比（1884） ③L在时间平移下对称能量守恒，J.R.Schütz（1897） ④空间反演（）对称宇称守恒 ⑤晶体平移对称性（平移晶格常数的整数信） Bloch定理 ⑥全同粒子交换对称性玻色子，费米子 ⑦标度变换对称性临界现象，非线性物理，生命起源……

⑧强相互作用的SU(2)同位旋对称性相同自旋粒子的内禀对称性，是电荷的自由度中子和质子看成同一粒子的两个不同同位旋状态。⑧强相互作用的SU(2)同位旋对称性相同自旋粒子的内禀对称性，是电荷的自由度中子和质子看成同一粒子的两个不同同位旋状态。 ⑨超对称性玻色子和费米子之间的对称性，它已在10-33~1030cm范围内的物理学中产生影响。在超对称物理中，所有粒子都有它的超对称伙伴，超伙伴与原来的粒子有完全相同的量子数，如：颜色、电荷、重子数、轻子数……等。玻色子的超伙伴是费米子，费米子的超伙伴是玻色子。

2．物理学的根本问题：对称性？ 例： ①晶格平移不变性（周期为a）能带理论各种晶体、材料：导体、半导体、绝缘体等。 ②全同粒子交换对称性玻色子、费米子、量子统计…… ③标度不变性细胞繁殖、生命起源。 ④宇宙的时空平移不变性？ “人类”的起源和未来 …………

四、群论及其发展 抽象群论群表示论 + 应用举例=本课程内容连续群和李群李群表示李代数李代数表示理论拓朴学拓扑空间→三色地图问题，微分流形一笔画问题 1736，Euler，Kongberg（地名） Kac-Moody代数 Virasoro代数辫子群（Braid group）重正化群共形群量子群超对称代数 ………… 以上数学均和物理学中的根本问题，如超弦理论、规范场、宇宙学，凝聚理论，大统一理论等密切相关

第一章 线性代数复习§1.1线性矢量空间，内积空间集合由无穷多个数学对象组成，K为某一数域，定义：加法：封闭性乘法：（α∈K） 1.11线性矢量空间：并满足：加法公理和乘法公理

①加法公理： ⅰ）对易性（commutativity） ⅱ）组合性（associativity） ⅲ）集合中有零元，对任意，恒有（null element） ⅳ)对任何，均有逆元(inverse element) ，使得（并不是定义减法） ②乘法公理α,β∈K ⅰ) 组合率（associatirity） ⅱ) 双线性（bilineality） ⅲ) ⅳ) ⅴ)

显然： 且显然：还有一般是复数例： n维欧氏空间En, 其中

1.1.2内积空间（inner product space） 1．内积公理（两矢量乘积变成数的运算，称为矢量的内积）令 ∈R，定义内积( )，并满足 ⅰ) ( )是非负实数，( )≥0, 且如果( ) = 0，必有 =0 ⅱ) = ⅲ) 分配性（distributivity） ⅳ) 满足以上四个条件的线性矢量空间为内积空间

** -------- 的模（modulus） or 的范数（norm） **if ，称 --------orthogonal 可推出： ① ②

2．Schwarz不等式 ，则。其中：令左= y 0，则必有即证明: λ为实数分配性

例：n维欧氏空间En , 定义内积或定义：满足内积公理一般是复数

例：在[a,b]上定义复函数，如果 存在，把看作矢量，定义内积显然满足内积公理注：此内积定义即为量子力学中对厄密算符和态函数内积的定义，即：力学量，态函数， ——平均值 f1f2 ——本征值

证明： ⅰ) ，如果，则 ⅱ) ⅲ) ⅳ)

1.1.3 线性矢量空间的维数 1．线性相关（linearly dependent）若对于矢量，有不全为零的数C1, C2, ……, Cl，使得成立，则这组矢量线性相关（*） 3．完备集（complete set）或基（basis）若有线性无关矢量，对任何，均有存在，则称为完备集或基，m称为该空间的维数。 2．线性无关（linearly independent）即上面（*）不可能存在，除非C1，C2，……Cl均为零。

4．基（basis） 如果基矢量中，任意一个基均有，且，则称为正交归一基 (normalized orthogonal basis) 且在中，称为在基上的分量。注：可以是一组函数，如能量的本征函数 , ；付里叶变换中的三角或指数函数，只要满足即可。

1.1.4 完备集或基总可以正交归一化——Schmidt正交化方法若基不正交归一，而从中选一组正交归一基的方法如下：证：： ; ：令 ∴ ∴

：令 ∴ ∴ ………… 令 ∴

1.1.5 线性变换 满足的算符称为线性算符。线性算符描写的变换称为线性变换。矩阵 aij是A的第i行j列矩阵元。 aii是A的对角元素。n等于m时称为m维矩阵。

将其转置共厄：“+” or 线性变换使得，即：

要使此式成立，必有 (单位矩阵), 即称为么正矩阵 ①么正变换（Unitary transformation）（酉变换）矢量模在变换前后不变

②正交变换（即实空间中的么正变换） 令即必有 “~”——转置

③相似变换（similarity transformation） 有基，矢量， , 且现要将基换为令若，则 ∴ or令 , ------此类变换称之相似变换

1．证明：在内积空间中， 。证明1：按Schmidt正交化法则，总可找到正交归一基则又

§1.2 矩阵代数（19世纪中叶形成）1.2.1 矩阵运算的定义和规律 1）加法： 2）乘法：数λ：其中：一般，但：

3）直接乘积（direct product） 例：直接乘积：

列：(1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) 行：例：(2,2)行，(3,1)列即 ——超矩阵（super-matrix）中某一个矩阵称为子矩阵（submatrix）

证：例：证明

证：两对角矩阵， 注：数数 1．证明：对角矩阵的直接乘积仍为对角矩阵。

定义： ⅰ)单位矩阵： ⅱ) 若方阵满足det ( ) = 0 ——奇异矩阵（singular matrix） ⅲ)若方阵满足det ( )≠0 ——非奇异矩阵（non-singular matrix）为完全反对称张量，且具有任何一对下标互换，它改符号，下标有重复时为零，且

定理：非奇异矩阵必存在，使得 ，且。 1）证明（第2式）：若，令，则，即两边同乘得： ∴ ? 2）证： , 右乘便可得证

ⅰ）证：同理可证：定义：矩阵的迹 ⅱ）矩阵经过相似变换后，其迹不变证：

ⅲ）证：

1.22 本征值和本征矢量 本征值问题：其中为常数，称为的本征值，为的本征矢理。将(*)写成矩阵形式：有非零解的充要条件为： ------久期方程

------久期方程 从中可求得n个根，即为本征值，也可能出现重根。对每一个根，均可由得矩阵必有：，其中这样就将通过相似变换，对角化了。定理：任何一个么正矩阵或厄密矩阵总可以通过另一个么正矩阵的相似变换而使其对角化，即：是对角矩阵。（证明略）

1.2.3 矩阵的指数函数 1．收敛问题：定义：只要证明有界的，则矩阵中n2个级数也收敛，故是收敛。用数学归纳法，证明是有界：当时，有界当时，有界

证明：对于 ，有本征矢量n个：， ……， 2．定理：若的本征值为则的本征值为

§1.3 张量代数1.3.1 逆变矢量（contravariant vector）与协变矢量（covariant vector）例1：n维空间中的矢径 or （写在上面的指标定义逆变矢量，写在下面定为协变矢量）变换矩阵将变为另一组基：则：而不是幂，是标记

即：但矢量本身没有变，故： ∴必有：即：即

显然有 ∴

例2：n维空间中的梯度 基，分量 , 有标量函数定义 f 的梯度：现要变为

即 ∴ 即

定义：若某一矢量 的变化规律同矢径变化规律相同，即：称为逆变矢量。若某一矢量的变化规律同递度变化规律相同，即称为协变矢量。 ——标量

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