電子物性第 1 　第 4 回

電子物性第1　第4回 電子物性第1スライド4-1 ーシュレーディンガーの波動方程式ー目次２　はじめに３　Ψがあると電子がある。４　電子の居場所を解析しよう。５　ポテンシャル６　見えているのはエネルギー７　周波数はエネルギー８　周波数の計算９　周波数からのエネルギー 10　波長は運動量 11　運動量の計算 12　運動エネルギー 13　シュレーディンガーの波動方程式 14　まとめ

Ψがあると電子がある。 波動関数Ψ の意味を考えよう。 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) だと電子が一個存在する。（単位[個nm-3]など）縦軸は、正体不明のまま。意味するところは、Ψがあれば電子がある。電子物性第1　第4回はじめに－シュレーディンガーの波動方程式－電子物性第1スライド4-2 水素原子の電子のエネルギーは、量子化されている。電子の波動性（＝干渉する性質）を考えるとよい。問題：何が電子の波なのか正体不明。対応：正体不明のまま波動関数Ψを導入し解析。 ①　波動関数Ψを導入しました。

はじめに 電子の居場所を解析しよう。水素原子の電子のエネルギーは、量子化されている。波動関数Ψがあれば電子がある。電子の波動性（＝干渉する性質）を考えるとよい。 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) 問題：何が電子の波なのか正体不明。の性質（微分とか）を利用して、対応：正体不明のまま波動関数Ψを導入し解析。矛盾しない（干渉してなくならない）条件 ⇒電子の所在を解析できる。 Ψがあると電子がある。電子物性第1スライド4-3 波動関数Ψ の意味を考えよう。 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) だと電子が一個存在する。（単位[個nm-3]など）縦軸は、正体不明のまま。意味するところは、Ψがあれば電子がある。 ①Ψの意味は、それがあるところは電子がある。

ポテンシャル 波動関数Ψを解析する。ポイントは電子にとってのポテンシャルエネルギー原子核＋eの静電気電子の波動性はΨが保証。 Ψがあると電子がある。波動関数Ψ の意味を考えよう。 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) だと電子が一個存在する。（単位[個nm-3]など）縦軸は、正体不明のまま。意味するところは、Ψがあれば電子がある。電子の居場所を解析しよう。電子物性第1スライド4-4 波動関数Ψがあれば電子がある。 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) の性質（微分とか）を利用して、矛盾しない（干渉してなくならない）条件 ⇒電子の所在を解析できる。 ①Ψの方程式は電子の居場所を解析します。

見えているのはエネルギー 電子の居場所を解析しよう。波動関数Ψがあれば電子がある。 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) の性質（微分とか）を利用して、矛盾しない（干渉してなくならない）条件 ⇒電子の所在を解析できる。ポテンシャル電子物性第1スライド4-5 波動関数Ψを解析する。ポイントは電子にとってのポテンシャルエネルギー原子核＋eの静電気電子の波動性はΨが保証。 ①　電子の感じるポテンシャルは原子核の静電気。

周波数はエネルギー は、 E= hν 0 時間軸でよく振れると、エネルギー大と示します。 0 ポテンシャル 0 波動関数Ψを解析する。ポイントは電子にとってのポテンシャルエネルギー見えているもの原子核＋eの静電気第2に p = 　　　　の運動量 h λ 電子の波動性はΨが保証。見えているのはエネルギー電子物性第1スライド4-6-1 つぎにどうやってΨを解析するか？ポイントは　測定可能な量　を調べたい。波でわかったものは、第1に E= hνのエネルギーエネルギーの方でまとめて、 ①　観測できる量は、エネルギーと運動量 ②　波は見えなくとも、エネルギーは見える（図示）。

周波数はエネルギー は、 E= hν 0 時間軸でよく振れると、エネルギー大と示します。 0 ポテンシャル 0 波動関数Ψを解析する。ポイントは電子にとってのポテンシャルエネルギー原子核＋eの静電気電子の波動性はΨが保証。見えているのはエネルギー電子物性第1スライド4-6-2 ①　観測できる量は、エネルギーと運動量 ②　波は見えなくとも、エネルギーは見える（図示）。

見えているのはエネルギー 周波数の計算 dΨ ｄｔ dΨ ｄｔ＝－iωei(kx－ωt) Ψの時間微分 Ψ で割ってあげると、＝ei(kx－ωt) と（角）周波数がでました。＝－iω Ψ 周波数はエネルギー電子物性第1スライド4-7-1 エネルギーの方程式で、波動関数Ψを考えます。まず、光で最初に出てきた、 E= hν式を使います。すなわち、強さでなく周波数がエネルギーです。図に示すと、 ①E=hν式で周波数がエネルギーに対応する。 ②　エネルギーが増えても振幅ではなく、周波数の増加。

見えているのはエネルギー 周波数の計算 dΨ ｄｔ dΨ ｄｔ＝－iωei(kx－ωt) Ψの時間微分 Ψ で割ってあげると、＝ei(kx－ωt) と（角）周波数がでました。＝－iω Ψ 周波数はエネルギー電子物性第1スライド4-7-2 は、 E= hν のように対応し、時間軸でよく振れると、エネルギー大と示します。 ①E=hν式で周波数がエネルギーに対応する。 ②　エネルギーが増えても振幅ではなく、周波数の増加。

周波数はエネルギー は、 E= hν 0 時間軸でよく振れると、エネルギー大と示します。 0 0 dΨ ｄｔ dΨ ｄｔ = hω = h = ih 操作（Ψ）として消してしまいたい。 ⇒ Ψ 1 周波数からのエネルギー　－i h 2π E = hν （ただし h＝　　　）からエネルギーは、 Ψ Ψ となります。周波数の計算電子物性第1スライド4-8-1 周波数は、単位[s-1]です。 Ψ は、単位[正体不明]です。 Ψ は、そのまま残してはだめ。 ①Ψは正体不明のため、割って消して解析したい。 ②　Ψを時間微分してΨ自身で割れば、時間分の1。 ③　Ψの時間微分÷Ψの定数倍で周波数がでる。

周波数はエネルギー は、 E= hν 0 時間軸でよく振れると、エネルギー大と示します。 0 0 dΨ ｄｔ dΨ ｄｔ dΨ ｄｔ dΨ ｄｔ = hω の単位は[正体不明･s-1]。 Ψ は、単位[正体不明]です。 = h Ψ は、そのまま残してはだめ。 = ih 操作（Ψ）として消してしまいたい。 ⇒ Ψ 1 周波数からのエネルギー　－i h 2π E = hν （ただし h＝　　　）からエネルギーは、 Ψ Ψ Ψ となります。周波数の計算電子物性第1スライド4-8-2 Ψの時間微分割ってあげると、周波数が出せる。は、単位[s-1]で、 ①Ψは正体不明のため、割って消して解析したい。 ②　Ψを時間微分してΨ自身で割れば、時間分の1。 ③　Ψの時間微分÷Ψの定数倍で周波数がでる。

周波数はエネルギー は、 E= hν 0 時間軸でよく振れると、エネルギー大と示します。 0 0 dΨ ｄｔ dΨ ｄｔ dΨ ｄｔ dΨ ｄｔ = hω Ψの時間微分 Ψ 割ってあげると、＝ei(kx－ωt) は、単位[正体不明]です。 = h Ψ は、そのまま残してはだめ。 = ih ＝－iω 操作（Ψ） νが出せる。は、単位[s-1]で、として消してしまいたい。 ⇒ Ψ 1 周波数からのエネルギー　－i h 2π E= hν （ただし h＝　　　）からエネルギーは、 Ψ Ψ Ψ となります。周波数の計算電子物性第1スライド4-8-3 ＝－iωei(kx－ωt) と（角）周波数がでました。 ①Ψは正体不明のため、割って消して解析したい。 ②　Ψを時間微分してΨ自身で割れば、時間分の1。 ③　Ψの時間微分÷Ψの定数倍で周波数がでる。

波長は運動量 0 x 0 y 波が立つ波があまり立たない。電子が運動している。電子が運動していない。周波数の計算 dΨ ｄｔ dΨ ｄｔ dΨ ｄｔ dΨ ｄｔ＝－iωei(kx－ωt) Ψの時間微分 h 2π = hω （ただし h＝　　　） Ψ で割ってあげると、＝ei(kx－ωt) = h = ih と（角）周波数がでました。＝－iω 1 　－i Ψ Ψ Ψ 周波数からのエネルギー電子物性第1スライド4-9 E = hν からエネルギーは、となります。 ①　もちろん、微分して出したνにhを掛けてエネルギー。

運動量の計算 dΨ ｄx dΨ ｄｔ dΨ ｄx dΨ ｄｔ = hω 運動量の計算 pは、となります。 p = h = h = ih p = 　　　　で求められます。 h λ を使っています。 = ikei(kx－ωt) = ikΨ 1 周波数からのエネルギー　－i h 2π E = hν （ただし h＝　　　）からエネルギーは、 Ψ Ψ Ψ ｰi となります。波長は運動量電子物性第1スライド4-10-1 次は運動量です。例えば、空間で波が密だと運動していることになります。 ①　運動量は電子の波長の逆数から出せます。 ②　電子の運動する方向に沢山波が立ちます。 ③　運動していない方向には電子の波は立ちません。

運動量の計算 dΨ ｄｔ dΨ ｄx dΨ ｄx dΨ ｄｔ = hω 運動量の計算 pは、次は運動量です。となります。 p = h = h = ih 空間で波が密だと運動していることになります。 p = 　　　　で求められます。 h λ を使っています。 = ikei(kx－ωt) = ikΨ 1 周波数からのエネルギー　－i h 2π E= hν （ただし h＝　　　）からエネルギーは、 Ψ Ψ Ψ ｰi となります。波長は運動量電子物性第1スライド4-10-2 　　一方、運動していない　　　方向に波を見ると、 ①　運動量は電子の波長の逆数から出せます。 ②　電子の運動する方向に沢山波が立ちます。 ③　運動していない方向には電子の波は立ちません。

運動量の計算 dΨ ｄｔ dΨ ｄｔ dΨ ｄx dΨ ｄx = hω 運動量の計算 pは、となります。 p = h = h = ih を使っています。 = ikei(kx－ωt) = ikΨ 1 周波数からのエネルギー　－i h 2π E= hν （ただし h＝　　　）からエネルギーは、 Ψ Ψ Ψ ｰi となります。波長は運動量電子物性第1スライド4-10-3 ①　運動量は電子の波長の逆数から出せます。 ②　電子の運動する方向に沢山波が立ちます。 ③　運動していない方向には電子の波は立ちません。

波長は運動量 0 x 0 y 波が立つ波があまり立たない。電子が運動している。電子が運動していない。運動エネルギー d2Ψ ｄx2 d2Ψ ｄx2 運動エネルギーは、 1 2m p2 2m 1 2m p2 2m Ek = mv2 = (mv)2 1 2 = = = ですが、二階微分 =(ik)2ei(kx－ωt) =ｰk2Ψ = hk p2は、 k より、ｰ h2 2m p = p = Ek 2 = (hk) h 2π h λ Ψ 運動量の計算電子物性第1スライド4-11-1 運動量の計算は、を波数kで、とすれば簡単です。 ①　運動量は波数kに比例します。 ②　波数kはΨの空間微分で出てきます。 ③　運動量はΨの空間微分から計算可能です。

波長は運動量 0 x 0 y 波が立つ波があまり立たない。電子が運動している。電子が運動していない。運動エネルギー d2Ψ ｄx2 d2Ψ ｄx2 dΨ ｄx 運動エネルギーは、運動量の計算は、 p = を波数kで、 p2 2m 1 2m p2 2m 1 2m Ek= mv2 = (mv)2 1 2 = = = p = hk ですが、二階微分 =(ik)2ei(kx－ωt) =ｰk2Ψ p2は、とすれば簡単で、より、ｰ h2 2m Ek 2 = (hk) h λ Ψ 運動量の計算電子物性第1スライド4-11-2 Ψをxで微分します。すなわち、 = ikei(kx－ωt) =ikΨ です。 ①　運動量は波数kに比例します。 ②　波数kはΨの空間微分で出てきます。 ③　運動量はΨの空間微分から計算可能です。

波長は運動量 0 x 0 y 波が立つ波があまり立たない。電子が運動している。電子が運動していない。運動エネルギー d2Ψ ｄx2 d2Ψ ｄx2 dΨ ｄx dΨ ｄx 運動エネルギーは、 p2 2m p2 2m 1 2m 1 2m Ek = mv2 = (mv)2 1 2 = = = ですが、二階微分 =(ik)2ei(kx－ωt) =ｰk2Ψ p2は、 p = h より、ｰ h2 2m Ek 2 = (hk) = ikei(kx－ωt) = ikΨ Ψ Ψ ｰi 運動量の計算電子物性第1スライド4-11-3 運動量の計算 pは、となります。 k を使っています。 ①　運動量は波数kに比例します。 ②　波数kはΨの空間微分で出てきます。 ③　運動量はΨの空間微分から計算可能です。

シュレーディンガーの波動方程式 がシュレーディンガーの波動方程式です。これを満たすΨが存在する場所に電子がいます。運動量の計算 d2Ψ ｄx2 d2Ψ ｄx2 d2Ψ ｄx2 dΨ ｄx dΨ ｄx dΨ ｄｔ運動量の計算 pは、 + V(r)Ψ= 1 2m p2 2m 1 2m p2 2m Ek= mv2 = (mv)2 1 2 = = = となります。 p = h ｰ h2 2m ｰ h2 2m Ek 2 = (hk) を使っています。 = ikei(kx－ωt) = ikΨ Ψ ih Ψ ｰi 運動エネルギー電子物性第1スライド4-12 運動エネルギーは、ですが、二階微分 =(ik)2ei(kx－ωt) =ｰk2Ψ p2は、より、 ①　運動エネルギーはΨの２階微分で求めます。

運動エネルギー まとめ d2Ψ ｄx2 d2Ψ ｄx2 d2Ψ ｄx2 運動エネルギーは、シュレーディンガーの波動方程式は、 1 2m 1 2m p2 2m p2 2m Ψの時間微分から、周波数とエネルギーを、 Ek = mv2 = (mv)2 1 2 = = = ですが、二階微分 =(ik)2ei(kx－ωt) =ｰk2Ψ p2は、 Ψの空間微分から、運動量、運動エネルギーをより、ｰ h2 2m ｰ h2 2m Ek 2 = (hk) それぞれ、求め、電子の所在を解析します。 Ψ Ψ シュレーディンガーの波動方程式電子物性第1スライド4-13-1 運動エネルギーは、位置エネルギーを足して全エネルギーですから、周波数からのエネルギー + V(r) = ①　運動エネルギー＋ポテンシャルでエネルギー ②　周波数から求めたエネルギーも代入できる。 ③　シュレーディンガーの方程式ができました。

運動エネルギー まとめ d2Ψ ｄx2 d2Ψ ｄx2 d2Ψ ｄx2 dΨ ｄｔ運動エネルギーは、運動エネルギーは、位置エネルギーを足して全エネルギーシュレーディンガーの波動方程式は、 1 2m 1 2m p2 2m p2 2m ですから、 Ψの時間微分から、周波数とエネルギーを、 Ek= mv2 = (mv)2 1 2 = = = ですが、二階微分 =(ik)2ei(kx－ωt) =ｰk2Ψ p2は、 Ψの空間微分から、運動量、運動エネルギーを ih + V(r) = より、ｰ h2 2m ｰ h2 2m Ek 2 = (hk) それぞれ、求め、電子の所在を解析します。 Ψ Ψ Ψ シュレーディンガーの波動方程式電子物性第1スライド4-13-2 ですが、これにΨを掛けて、 ①　運動エネルギー＋ポテンシャルでエネルギー ②　周波数から求めたエネルギーも代入できる。 ③　シュレーディンガーの方程式ができました。

運動エネルギー まとめ d2Ψ ｄx2 d2Ψ ｄx2 d2Ψ ｄx2 dΨ ｄｔ運動エネルギーは、シュレーディンガーの波動方程式は、 + V(r)Ψ= p2 2m 1 2m 1 2m p2 2m Ψの時間微分から、周波数とエネルギーを、 Ek = mv2 = (mv)2 1 2 = = = ですが、二階微分 =(ik)2ei(kx－ωt) =ｰk2Ψ p2は、 Ψの空間微分から、運動量、運動エネルギーをより、ｰ h2 2m ｰ h2 2m Ek 2 = (hk) それぞれ、求め、電子の所在を解析します。 Ψ ih シュレーディンガーの波動方程式電子物性第1スライド4-13-3 がシュレーディンガーの波動方程式です。これを満たすΨが存在する場所に電子がいます。 ①　運動エネルギー＋ポテンシャルでエネルギー ②　周波数から求めたエネルギーも代入できる。 ③　シュレーディンガーの方程式ができました。

シュレーディンガーの波動方程式 がシュレーディンガーの波動方程式です。これを満たすΨが存在する場所に電子がいます。 d2Ψ ｄx2 dΨ ｄｔ + V(r)Ψ= ｰ h2 2m ih スライドを終了します。まとめ電子物性第1スライド4-14 シュレーディンガーの波動方程式は、 Ψの時間微分から、周波数とエネルギーを、 Ψの空間微分から、運動量、運動エネルギーをそれぞれ、求め、電子の所在を解析します。 ①Ψの微分演算を工夫して波動方程式を作りました。

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