Symmetriat ja symmetriarikot kvanttikenttäteorioissa

1. Symmetriat ja symmetriarikot kvanttikenttäteorioissa Laudaturseminaari 25.9.07 Matti Antola

2. 0.1 Alkupölinät • Esitelmän kulku: 1 Symmetrioista 3 2 Symmetrioiden ja symmetriarikkojen luokittelu 5 3 Higgsin mekanismi 8 4 Kiraalisymmetria 11 Yhteenveto 14 • Enemmän kiinnostaa tässä symmetriarikko kuin symmetriat itsessään

3. 1.1 Symmetrioita • Kirjain T on peilisymmetrinen keskiakselin suhteen => peilauksen jälkeen T näyttää samalta • Pallo on pallosymmetrinen => rotaation jälkeen pallo näyttää samalta • Matemaattisesti? • Lagrangianilla on isospin SU(2) symmetria => muunnoksen jälkeen Lagrangiani säilyttää muotonsa • Helpompi käyttää sanoja ’invariantti’ ja ’muunnos’ • Pallo on invariantti rotaatiomuunnoksessa, Lagrangiani on invariantti SU(2) muunnoksessa

4. 1.2 Symmetriat kvanttikenttäteorioissa • Mikä on kvanttikenttäteoria (kahdessa rivissä)? • Fysikaalisesti: klassiset ratkaisut kentille + fluktuaatiot • Matemaattisesti: aktio => korrelaattorit, määrittelee teorian täysin • Symmetriat tärkeitä • Kvanttimekaniikassa eksakteja symmetrioita • Teorioiden luokitus lokaalien ryhmien mukaan • SM=SU(3)xSU(2)xU(1) (väri x heikko x elektromagneettinen) • Usein havaittu symmetria luonnossa => vaatimus teorialle • Esim. isospin SU(2)

5. 2.1 Symmetrioiden luokittelu • Vaikutusavaruuden mukaan • aika-avaruus koordinaatit => kenttäteoriassa ’ulkoinen’ symmetria, esim: Lorentz symmetria • Kvanttitilat => ’sisäinen’ symmetria, esim: Isospin SU(2) * • Symmetriaryhmän mukaan • Jatkuva (Lie ryhmä), esim: isospin SU(2) ja Poincare * • ei-jatkuva, esim: varauskonjugaatio ja pariteetti • Aika-avaruusriippuvuus • ei riipu paikasta x: globaali symmetria, esim. isospin SU(2) • riippuu paikasta x: lokaali symmetria (gauge symmetry), esim: SU(2) weak

6. 2.2 Symmetrioiden luokittelu • Pitävyyden perusteella • eksakti symmetria / rikkoutumaton symmetria • likimääräinen symmetria: pieni määrä rikkoutumista (kvantifioitava) • rikottu symmetria: symmetria ei ole havaittavissa • Likimääräinen tai rikottu symmetria rikkoutunut • Eksplisiittisesti, esim: termi Lagrangianissa • Spontaanisti, esim: potentiaali symmetrinen, mutta kentän minimiarvon lähellä epäsymmetrinen • Dynaamisesti, esim: fermionikondensaatti => massa fermionille

7. 2.3 Symmetrioiden luokittelu • Yhteensä ...monta... kombinaatiota! • Tavoitteena: • Mikä on Goldstonen teoreema? • Johdattaa Higgsin mekanismiin ja kiraalisymmetriaan • Ensimmäinen lokaali eksakti spontaanisti rikottu, toinen globaali likimääräinen (dynaamisesti) rikottu • Spontaneous Symmetry Breaking (SSB) / Dynamical Symmetry Breaking (DSB) / Explicit Symmetry Breaking (ESB) ... niin mitä eroa?

8. 3.1 Spontaani symmetriarikko • Esimerkkinä kompleksinen skalaarikenttä • Usein järjestysparametri

9. 3.2 Goldstonen teoreema • Jokaista rikottua symmetriageneraattoria vastaa yksi massaton hiukkanen = Goldstonen bosoni • Pätee globaalille eksaktille symmetrialle • Jos symmetria likimääräinen => pienimassainen bosoni, pseudo-Goldstone • Lokaalin symmetrian vastine: jokaista rikottua symmetriageneraattoria vastaava mittabosoni saa massan • Ei pystytä osoittamaan yleisesti • Tämä on Higgsin mekanismi

10. 3.3 Higgsin mekanismi • Higgsin mekanismi on tapa saada mittakentille ja fermioneille spontaanisti massa • SM:n tapa rikkoa heikko vuorovaikutus (EWSB) • Myös fermionit saavat massan, kun Lagrangianiin otetaan Yukawa-muotoinen termi • Miksi? • L:ltä vaaditaan jotain symmetrioita => usein massatermit pilaavat symmetrian • Mittakentän massatermi ei invariantti • heikko vuorovaikutus... • renormalisoituvuus • SM leptoneilla ei voi olla massatermiä • Korkeilla energioilla symmetrinen faasi & hiukkaset massattomia, matalilla energioilla rikottu faasi & massat

11. 4.1 Likimääräinen symmetria • Likimääräinen symmetria ~ heikko eksplisiittinen symmetriarikko • jokin symmetria on melkein voimassa: voidaan kirjoittaa L = L0 + L1 • Usein osa L1 voi tulla jonkin toisen sektorin spontaanista symmetriarikosta • Myös anomaliat • Anomalia voi häivyttää symmetrian jäljet kokonaan, kuten QCD:n ’flavor axial U(1)’ • Vain jos kiraalisymmetria mittakenttäteoriassa (lokaali symmetria)

12. 4.2 Dynaaminen symmetriarikko • Dynaaminen symmetriarikko (Dynamical Symmetry Breaking) on eräänlainen spontaani symmetriarikko • Teknisiä laskuja • Vain mittakenttäteorioissa • Ei näy klassisella tasolla eli puutason graafeissa • Ei näy potentiaalista… johtuu interaktioista! • Täydellinen propagaattori: VOI olla ratkaisuja jotka ei toteuta alkuperäisiä symmetrioita

13. 4.3 Kiraalisymmetria • QCD:ssä kaksi kevyintä kvarkkia on hyvin kevyitä • Jos kvarkkien massat poistetaan, huomataan että Lagrangiani erottuu vasenkätisten ja oikeakätisten hiukkasten osalta kokonaan • Tähän liittyy globaali symmetria SU(2)xSU(2), joka on siis likimääräinen symmetria • Pioneilla on oikeat kvanttiluvut vastatakseen rikkoutuneen kiraalisymmetrian Goldstoneja • Pseudo-Goldstoneja, kun otetaan huomioon että kvarkit eivät ole kokonaan massattomia • Eli: kvarkkien massatermit ovat hyvin pieniä, mutta silti antavat spontaanille symmetriarikolle suunnan • Tässä keskusteltu kahdesta kevyimmästä kvarkista… voidaan osoittaa (ainakin Weinberg voi), että vastaava SU(3)xSU(3) on varmasti spontaanisti rikottu

14. Yhteenveto • Goldstonen teoreema osoittaa, että jokaista globaalin symmetrian rikottua generaattoria vastaa massaton hiukkanen • Lokaalin symmetrian tapauksessa rikottua generaattoria vastaava mittakenttä saa massan (Higgsin mekanismi) • Voidaan argumentoida että QCD:ssä on dynaamisesti rikottu likimääräinen kiraalisymmetria, jolle suunnan antaa kvarkkien pienet massat • SSB on mikä vain symmetriarikko, millä on jollain tavalla dynaaminen alkuperä: vaikka m2(T) • DSB tarkoittaa nimenomaan interaktioista johtuvaa symmetriarikkoa • ESB: jokin staattinen efekti rikkoo symmetrian