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§1 平面图形的面积 §2 由平行截面面积求体积 §3 平面曲线的长 §4 定积分在物理学中的应用

第十章 定积分的应用. §1 平面图形的面积 §2 由平行截面面积求体积 §3 平面曲线的长 §4 定积分在物理学中的应用. 第十章 定积分的应用. §1 平面图形的面积. 本章中我们将用前面学过的定积分的知识来 分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的 不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且 更重要的还在于介绍运用元素法解决问题 的定积分的分析方法。. y. o. a. x. b. 一 问题的提出. 考虑曲边梯形面积计算问题. 面积表示为定积分要通过如下步骤：. （ 3 ） 求和，得 A 的近似值.

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§1 平面图形的面积 §2 由平行截面面积求体积 §3 平面曲线的长 §4 定积分在物理学中的应用

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Presentation Transcript

  1. 第十章 定积分的应用 §1 平面图形的面积 §2 由平行截面面积求体积 §3 平面曲线的长 §4 定积分在物理学中的应用

  2. 第十章 定积分的应用 §1 平面图形的面积

  3. 本章中我们将用前面学过的定积分的知识来 分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的 不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且 更重要的还在于介绍运用元素法解决问题 的定积分的分析方法。

  4. y o a x b 一 问题的提出 考虑曲边梯形面积计算问题

  5. 面积表示为定积分要通过如下步骤： （3） 求和，得A的近似值 （4） 求极限，得A的精确值

  6. 要想得到一个定积分表达式，只要求出被积 表达式 这就是定积分的元素法 两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边 的定积分表达式有很好的对应。我们让

  7. 二 定积分的元素法（Element Method ）

  8. 元素法的一般步骤

  9. 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．

  10. 三、平面图形的面积: • 复习: 定积分的几何意义 由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所 围成的图形 y y=f(x) a 0 b x 怎样求面积呢？

  11. A -A A表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积 y=f(x)>0 y y A a b 0 x 0 x a b A y=f(x)<0

  12. 2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图 y y=f(x) a 0 x b • 结论： 几何意义

  13. y y y=x2 y=f(x) y=g(x) x 0 a b 0 2 x • 讲授新课: • 直角坐标系 问题:试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。

  14. 1 直角坐标系情形 y o x 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 被积函数上-下、右-左 穿针法或微元素法

  15. 结论:一般地,由上,下两条曲线y=f(x)与y=g(x) 以及两条直线x=a与x=b(a<b)所围平面图形 的面积计算公式为

  16. 例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积 y y f(x)=(x-1)2-1 y y f(x)=x2 f(x)=x2 f(x)=1 0 a -1 0 2 a 0 x -1 0 2 b x x x 解：

  17. y y f(x)=(x-1)2-1 y y f(x)=x2 f(x)=x2 f(x)=1 0 a -1 0 2 a 0 x -1 0 2 b x x x 解：

  18. y y f(x)=(x-1)2-1 y y f(x)=x2 f(x)=x2 f(x)=1 0 a -1 0 2 a 0 x -1 0 2 b x x x 解：

  19. y y f(x)=(x-1)2-1 y y f(x)=x2 f(x)=x2 f(x)=1 0 a -1 0 2 a 0 x -1 0 2 b x x x 解：

  20. 选 为积分变量 注 被积函数为上-下，上为下为 解 两曲线的交点， 解方程组 面积元素

  21. 选 为积分变量 解 两曲线的交点 注 被积函数为“右-左” 右为直线，左为抛物线

  22. 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积

  23. 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．

  24. 2 极坐标系情形 面积元素 曲边扇形的面积

  25. 解 于是

  26. 解 利用对称性知

  27. 解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积

  28. 四 小结 元素法的提出、思想、步骤. （注意微元法的本质） 平面图形面积的计算方法 （注直角坐标、参数方程、极坐标） 思考题 微元法与定积分的关系是什么？

  29. 第十章 定积分的应用 §2 由平行截面面积求体积

  30. 1 旋转体的体积 一、 空间立体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台

  31. y o x 旋转体的体积为

  32. 过原点及点 解 直线方程为

  33. 解

  34. 利用公式， 可知上例中

  35. 立体体积 2、平行截面面积为已知的立体的体积 从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.

  36. 解 建立坐标系， 底圆方程为 截面面积 立体体积

  37. 解 建立坐标系， 底圆方程为 截面面积 立体体积

  38. 第十章 定积分的应用 §3 平面曲线的弧长

  39. 平面曲线的弧长 1、平面曲线弧长的概念

  40. 定理 光滑曲线弧是可求长的。 简介 光滑曲线 当曲线上每一点处都具有切线，且切线 随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为 光滑曲线。

  41. 2 直角坐标情形 由第三章的弧微分公式知 弧长 就是弧长元素

  42. 解 所以弧长为

  43. 3 参数方程情形 设曲线弧为 弧长

  44. 的全长 解 所以

  45. 4 极坐标情形 曲线弧为 弧长

  46. 解

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