如何学好 《 几何与代数 》 陈建龙 东南大学数学系

1. 如何学好《几何与代数》 陈建龙 东南大学数学系

2. 提 纲 一　数学是什么 二　代数是什么 三　线性代数是什么 四　线性代数与空间解析几何的联系 五　如何学好《几何与代数》 六 一点希望

3. 一、数学是什么 • 恩格斯:数学是研究现实世界中的空间形式与 数量关系的科学 • 数学的研究对象是‘‘形”与‘‘数” • 新对象如: 混沌, 分形几何等

4. 数学科学按内容分五大学科: （1）基础数学 （2）应用数学 （3）计算数学 （4）运筹学与控制论 （5）概率论与数理统计

5. 数学的核心领域: • 代数学—研究数的理论 • 几何学—研究形的理论 • 分析学—沟通形与数理论

6. 数学与其它学科的关系: 1.数学是一种语言,是一切科学的共同语言; 2.数学是一把钥匙,一把打开科学大门的钥匙; 3.数学是一种工具,一种思维的工具; 4.数学是一门艺术,一门创造性艺术。 (见 王元明,数学是什么,与大学一年级学生谈数学,东南大学出版社,2003)

8. 二、 代数是什么 代数学是从代数方程求根发展起来： • 公元前19-17世纪,古巴比伦解决了一元一次,一元二次方程求根问题； • 公元前4世纪,欧几里德在《几何原本》中用几何方法求解二次方程； • 公元1世纪,九章算术,三次方程和一次方程组的解法。

9. 由一次方程的求解问题发展起来的理论称为线性代数学由一次方程的求解问题发展起来的理论称为线性代数学 • 主要研究行列式,矩阵,向量空间,线性变换,型论,不变量论,张量代数 • 行列式的概念由日本人关孝和1683年引入 • 矩阵的概念由凯雷1855年引入

10. 由高次方程求根问题发展起来的理论称为多项式理论由高次方程求根问题发展起来的理论称为多项式理论 一元高次方程求解———困难 代数解法：希望和一元二次方程一样，由方程的系数 通过加、减、乘、除、乘方、开方六种运 算把根表示出来

11. 结论: (1) 一元三次、四次方程可求解（代数解法）; (2) 高于四次方程没有代数解法（伽罗 瓦,1811- 1832），引进一个新的概念“群”; (3) 高于四次的方程可求近似解（计算数 学范畴）

12. 高等代数：线性代数学 多项式理论 • 近世代数（抽象代数）： 研究代数体系：带有运算的集合，运算满足一 些规律（如交换律、结合律、 分配律等） 内容：群、环、域（整数环，有理数域，实数 域，复数域）

13. 三 、线性代数是什么 • 数学专业—高等代数、近世代数 • 非数学专业—线性代数 一般本科院校非数学专业线性代数：行列式、矩阵、向量、线性方程组，特征值与特征向量、二次型、线性空间、线性变换 。

14. 线性代数是研究多个变量与多个变量之间线性关系（即一次关系）的数学分支（代数分支），这种线性关系主要通过矩阵（包含向量）去刻画和处理，因此矩阵是线性代数的主要研究对象。线性代数是研究多个变量与多个变量之间线性关系（即一次关系）的数学分支（代数分支），这种线性关系主要通过矩阵（包含向量）去刻画和处理，因此矩阵是线性代数的主要研究对象。 • 线性代数是大学阶段三门主要数学课程之一。

15. 三门主要课程： （1）高等数学 中学基础：数列，函数（指数、对数、三角函 数），二次曲线，导数，积分等。 （2）线性代数 中学基础：矩阵和变换（二阶行列式、二阶 矩阵、二元方程组、特征值和特征向量）， 江苏版选修课程，附加题。 （3）概率统计 中学基础：古典概率，统计初步（方差、回归 等）。

16. 重要性：（1）是其他课程学习的基础 （2）是进一步深造考试的科目 以数学一为例：高等数学 55%，线性代数 22.5%，概率统计 22.5% • 高等数学：连续性数学—主要研究对象是函数 • 线性代数：离散性数学—主要研究对象是矩阵 • 概率统计：随机性数学—主要研究对象是随机现 象和数据

17. 结论1：线性代数是大学三门主要数学课程之 一，考研约占数学卷的1/4（考研考4 门：政治 100分，英语 100分，数学一 150分，专业课 150分）； 结论2：线性代数有别于高等数学和概率统计， 培养基本的逻辑推理能力和分析问题解 决问题的能力。

18. 线性代数是一门应用性强的课程 • 线性代数的概念来源于实际问题 • 线性代数的理论提供了解决问题的方法 • 线性代数的题目可上机演算（借用于Matlab软件—工程中最基本的软件） • 线性代数的问题衍生了新的数学分支（数值线性代数等）

19. 线性代数的应用广泛： 线性代数的理论与方法已渗透到自然科学、工程技术和经济领域，1973 诺贝尔经济学奖工作是将线性代数应用于经济系统的研究。 （1）极值问题，控制理论，解析几何中一些问题与二次型 有关； （2）线性差分方程组或线性微分方程组与多变量线性关系 的时间离散系统或时间连续系统； （3）Google搜索引擎； （4）足球循环比赛的名次确定； （5）交通流量的预测； （6）图象压缩等技术。

20. 线性代数是一门内容抽象逻辑性强的课程 • 概念多： 矩阵类： 方阵的行列式，矩阵的秩，矩阵的初 等行变 换，初等矩阵伴随矩阵，可逆矩阵，正交矩阵， 对称矩阵，正定矩阵，矩阵的相抵，合同，相似； 向量类： 线性无关（相关），向量的极大无关组，基础解系，特征向量，正交 向量组，向量组的秩。

21. 定理（性质，公式）多： • 线性方程式有解判 别定理；矩阵可逆的判别定理；线性 相关的判别定理；唯一表示定理；二 次型为正定二次型判别定理；矩阵可相似对角阵的判别定理；行列式展开定理。

22. 线性代数是一门“另起炉灶”的课程 （i）线性代数以矩阵为主线；算术以数为主线。 • 学会两者类比：

23. 学会两者的区别： 左乘-----排成一行------初等行变换 右乘-----排成一列------初等列变换

24. (ii) 与中学(矩阵与变换)的联系 • 中学：二阶矩阵；二阶行列式；二元 • 线性方程组；2维分量的内积(数量 • 积)，长度； • 大学：m x n矩阵；n阶行列式；m x n • 线性方程组；n维向量的内积(数量 • 积)，长度。 • 大学内容是中学内容的推广和深化

25. 四、 线性代数与空间解析几何的联系 几何给代数提供了模型 代数给几何提供了方法

26. 直角坐标系，标准正交基 • 仿射坐标系，基 • 二次曲面的图形在高等数学中曲面积分密切相关。

27. 五、 如何学好《几何与代数》 1. 共性方法 • 不缺课； 几何与代数课：内容多，课时少，例题少，讲得快； • 预习，听课，复习，作业，小结； • 弄清课堂上或作业中不懂的内容； • 从特殊到一般, 从低维到高维。

28. 2. 个性方法 (1) 抽象概念如何掌握和理解? (a) 领会定义中的关键词语： 线性相关：不全为零 特征向量：不等于零 正交向量组：每个向量非零 正交矩阵前提：实方阵 正定矩阵前提：实对称 可逆矩阵前提：方阵

29. 借助几何直观帮助理解概念； • 向量的数量积，长度，基，维数，坐标，内积，标准正交基，正交变换来源于几何(2维或3维)， • 学习时与中学几何或高数中空间解析几何联系起来学。

30. (2) 定理，性质，公式如何证明 (a) 理清定理的条件和结论； (b) 利用熟知的结论证明；

31. 例如：证明矩阵可逆的常用方法有： • 用定义AB=E（或BA=E）; • |A|  0 ; • r(A)=n; • 列向量组线性无关； • A的特征值不为零； • Ax=0只有零解； • A可经过初等行变换变成E

32. (c) 分清楚充分条件，必要条件，充要条件区别； (d) 先特殊后一般。 先看标准形是否对,再看一般情况是否 对.

33. 如何克服“上课时听得懂，作业 不会做”现象 原因(一)：光听(看)不练，或练习机会少。 解决方法：(1) 建议“做例题” 课后把上课 讲的，书上的例题自己做一遍； (2) 建议多做典型题目，做后分析 方法，举一反三，总结经验。

34. 原因(二)：基本概念不清，重要定理(性质，公式)记忆不牢原因(二)：基本概念不清，重要定理(性质，公式)记忆不牢 解决办法： (1) 搞清概念的含义； (2) 定理(性质，公式) 的条件，结论

35. (4) 如何避免或减少答题中的错误 • 认真审题：如用正交变换化简二次型不能同配方法或初等变换法 • 旧错不犯：如 矩阵左乘，右乘不同；非零矩阵未必可逆；基础解系不能从非齐次线性方程组中求 • 检查验算：把答案回代，是否满足原题要求。

36. (iv) 强化逻辑：充分性“<=”，必要性“=>”常搞错； • 充分条件，必要条件。 • 例如: A是实对称阵或A有互不相同的特征值是A相 • 似对角化的充分条件 • 举例非证：不能用举例用作证明,可用反例来否定命 • 题。 • 例如: 相似阵特征多项式相同，反之不真。 • 的特征多项式相同，但 • 不相似。

37. (5) 如何做单项选择题（间接法） • 特殊（特例）带入验算法，排除某些选项； • 蕴含关系排除法; 如(A) => (B),则不选(A);如 • (A)  (B), 则不选(A),(B)。 • 举反例排除法; 如有例子不满足(C),则不选(C)。 • 归谬排除法; 如由选项(A)出发导出错误结论,不 • 选(A)。

38. (6) 如何开展研究型学习 • 善于提问，掌握解题方法 • (a) 面对的问题从哪里来？ • (b) 用以前学到的知识能否解决？ • (c) 别人是怎么去解决问题的(提出了什么概念，采用了何种方法，解决到哪一步，还剩下什么问题)? • (d) 能否在别人的基础之上有所改进或创新？ • 结论：经过思考而得到的知识更易吸收，更有效提高解题能力。

39. 善于总结，构建知识体系 • 从教材，学习指导书，老师，同学，网络中归纳总 • 结，整理知识体系，参见教材配套辅导书, 如： • 《线性代数学习指导》 张小向，陈建龙 编 • 科学出版社 2008.3 • 结论：经过归纳，类比，得出的知识体系更 • 易整体把握实质。

42. 参考答案 提示 详细解答

46. 善于思考，慎用“题海战术” • 做完一道题后，思考如下问题： • (a) 用了哪些条件和哪些知识点； • (b) 有无其他方法； • (c) 结果意味着什么； • (d) 条件能否减弱； • (e) 能否推广到更一般情况； • (f) 能否更进一步推出什么？ • 结论：事半功倍，做研究的方法。

47. 波利亚的《解题表》 • 乔治·波利亚——美籍匈牙利数学家、教育家，数学解题方法论的开拓者。 • (a) 弄清问题； • (i) 已知是什么？未知是什么？ • (ii) 条件是什么？结论是什么？ • (iii) 画出草图，引入适当的符号。

48. 拟定计划 (i) 见过这道题或与之类似的题吗？ (ii) 能联想起有关的定理或公式吗? (iii) 再看看未知数! (iv) 换一种方式来叙述这道题. (v) 回到定义看看! (vi) 先解决一个特例试试. (vii) 这个问题的一般式是什么? (viii) 你能解决问题的一部分吗?

49. (c) 实行计划 (i) 你用了全部条件吗? (ii) 实现你的解题计划并检验每一步骤. (iii) 证明你的每一步都是正确的. (d) 回顾 (i) 检查结果并检验其正确性. (ii) 换一个方法做这个题. (iii) 尝试把你的结果和方法用到其它问题上.

50. 六、 一点希望 • 要有理想 • 要有信心，相信自己的能力；要有志向，再拼搏，考研 • 要勤奋学习 • 大学是人生中最重要的时期，是一个新的起点，不能浪费青春年华。华罗庚说:勤能补拙是良训，一分辛苦一份才。 • 网迷 → 挂科 →重修 → 成绩单调递减