空间解析几何简介

1. 空间解析几何简介 • 向量及其线性运算 • 数量积 向量积 *混合积 • 空间平面及其方程 • 空间直线及其方程 • 二次曲线及其方程 • 二次曲面及其方程

2. 空间解析几何 第一部分 向量 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 —点,线,面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 —坐标法; 向量法

3. 第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

4. 一、向量的概念 向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 或a , 表示法: 有向线段M1M2 , 向量的模 : 向量的大小, 起点为原点的向量. 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 模为 0 的向量, 零向量:

5. 则称 a 与 b 相等, 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 记作－a ; 与 a的模相同, 但方向相反的向量称为 a的负向量, 记作 规定: 零向量与任何向量平行 ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .

6. 二、向量的线性运算 1. 向量的加法 平行四边形法则: 三角形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 .

8. 2. 向量的减法 三角不等式

9.  与 a的乘积是一个新向量, 记作 3. 向量与数的乘法  是一个数 , 规定 : 可见 总之: 结合律 运算律 : 分配律 因此

10. Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅰ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅴ 三、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念 由三条互相垂直的数轴按右手规则 过空间一定点 o , 组成一个空间直角坐标系. z轴(竖轴) • 坐标原点 • 坐标轴 • 坐标面 zox面 • 卦限(八个) y轴(纵轴) x轴(横轴)

11. 在直角坐标系下 向径 点M 有序数组 (称为点M的坐标) 特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C

12. 坐标轴 : 坐标面 :

13. 任意向量 r可用向径 OM表示. 此式称为向量r的坐标分解式 , 2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 则 设点 M的坐标为 沿三个坐标轴方向的分向量.

14. 四、利用坐标作向量的线性运算 设 则 平行向量对应坐标成比例:

15. 五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 对两点 与 因 得两点间的距离公式:

16. 记作 2. 方向角与方向余弦 任取空间一点 O , 设有两非零向量 称  =∠AOB (0≤ ≤  )为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 ,  ,  为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦.

17. 方向余弦的性质:

18. 第二节 数量积 向量积 *混合积 一、两向量的内积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积

19. 记作 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 则力F所做的功为 位移为 s , 一、两向量的内积 沿与力夹角为 的直线移动, 1. 定义 设向量 的夹角为 , 称 内积 (点积，数量积) .

20. 记作  故 2. 性质 则有 为两个非零向量,

21. 3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 时, 显然成立 ; 事实上, 当

22. 4. 数量积的坐标表示 设 则 两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于 , 得

23. 求 例2.已知三点  AMB . 解: 则 故

24. 为单位向量 的流体流过一个面积为 A 的平 例3.设均匀流速为 且 与该平面域的单位垂直向量 的夹角为 面域 , 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 为  ) . 解: 单位时间内流过的体积

25. 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F作用在杠杆上的力 矩是一个向量M : 二、两向量的向量积 有一个与杠杆夹角为 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 符合右手规则

26.   称 1. 定义 定义 方向 : 且符合右手规则 向量 模 : 向量积 , 记作 (叉积) 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积 S＝

27. ∥ ∥ 2. 性质 为非零向量, 则 证明: 3. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律

28. 4. 向量积的行列式计算法

29. 求三 例4. 已知三点 角形ABC的面积 解: 如图所示,

30. 导出刚体上 例5. 设刚体以等角速度  绕 l轴旋转, 一点 M的线速度 的表示式 . 解: 在轴 l上引进一个角速度向量 使 其 作 方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l上任取一点 O, 则 的夹角为 , 向径 它与 点 M离开转轴的距离 符合右手法则 且

31. 记作 *三、向量的混合积 1. 定义 已知三向量 称数量 混合积 . 几何意义 为棱作平行六面体, 则其 高 底面积 故平行六面体体积为

32. 2. 混合积的坐标表示 设

33. 3. 性质 (1) 三个非零向量 共面的充要条件是 (2) 轮换对称性 : (可用三阶行列式推出)

34. 例6. 已知一四面体的顶点 4 ) , 求该四面体体积 . 解: 已知四面体的体积等于以向量 为棱的平行六面体体积的 故

35. 例7.证明四点 共面 . 解:因 故 A , B , C , D四点共面 .

36. 内容小结 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积:

37. 混合积: 2. 向量关系:

38. 第三节 平面及其方程 一、平面的方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角

39. 设在 中给定一个平面 ，采用线性代数的术语来描述平面 ， 是 中的一个集合，则集合 是 中的一个二维线性子空间。反之，给了 中一个二维子空间 ，存在 中的平面 使得 实际上，任取点 记 则 可充当平面 的，可见这种平面有无限多。 定义： 设 是 中一个平面， 定义如上，则 中与二维子 空间 正交的非零向量称为平面 的法向量；平面 的 所有法向量添上零向量组成 的一个一维子空间， 中以平面 的法向量为方向向量的直线称为平面 的法线。

40. 一、平面的方程 设一平面通过已知点 ，法向量是 故 称为平面 的向量形式方程。 ① 称①式为平面 的坐标形式方程（点法式）。

41. 还可以采用两个参数来表述平面。设 是 的一个二维子空间。设 是两个不共线的向量。设 是一个固定点，设 是 上的任意点，则 并得到平面 的参数方程。

42. 例1.求过三点 的平面的方程. 解: 取该平面的法向量为 利用点法式得平面  的方程 即

43. 此平面的三点式方程也可写成 说明: 过三点 一般情况 : 的平面方程为

44. 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 时, 平面方程为 此式称为平面的截距式方程. 分析:利用三点式 按第一行展开得 即

45. 二、平面的一般方程 ② 设有三元一次方程 任取一组满足上述方程的数 则 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的图形是 的平面, 此方程称为平面的一般 法向量为 方程.

46. 特殊情形 • 当D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于x轴; 平行于y轴的平面; •A x+C z+D = 0 表示 •A x+B y+D = 0 表示 平行于z轴的平面; •C z + D = 0 表示 平行于 xoy面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz面 的平面； •B y + D =0 表示 平行于 zox面 的平面.

47. 例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简,得所求平面方程

48. 三、两平面的夹角 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角的余弦为 即

49. 特别有下列结论：

50. 和 且 例4. 一平面通过两点 垂直于平面∏: x + y + z = 0,求其方程 . 解:设所求平面的法向量为 则所求平面 方程为 即 故 的法向量 因此有 约去C , 得 即