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由中學幾何到相對論

由中學幾何到相對論. 由歐幾里德幾何到非歐幾何的 數學發展及故事 數學組數學專題講座系列 2007 – 3- 14. 由一本奇書開始. 歐幾里德 Euclid ( 約公元前 300 – 260) 《幾何原本》 ( The Elements) 一本總結性的數學著作. 泰勒斯 （開始了命題證明）. 公元前 600 年. 畢達哥拉斯 （證明「畢氏定理」 及發現不可公度量）. 公元前 500 年. 柏拉圖 （成立「柏拉圖學園」）. 公元前 400 年. 公元前 300 年. 歐幾里德 （撰寫《幾何原本》）. 阿基米德 （計算圓周率、球體體積等）.

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由中學幾何到相對論

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  1. 由中學幾何到相對論 由歐幾里德幾何到非歐幾何的 數學發展及故事 數學組數學專題講座系列 2007 – 3- 14

  2. 由一本奇書開始 • 歐幾里德 Euclid (約公元前 300 – 260) • 《幾何原本》 (The Elements) 一本總結性的數學著作

  3. 泰勒斯（開始了命題證明） 公元前 600 年 畢達哥拉斯（證明「畢氏定理」及發現不可公度量） 公元前 500 年 柏拉圖（成立「柏拉圖學園」） 公元前 400 年 公元前 300 年 歐幾里德（撰寫《幾何原本》） 阿基米德（計算圓周率、球體體積等） 公元前 200 年 《幾何原本》的背景

  4. 《幾何原本》的五大公設 • 過相異兩點，能作且只能作一直線 (直線公理)。 • 線段可以任意地延長。 • 以任一點為圓心，任意長為半徑，可作一圓(圓公理)。 • 凡是直角都相等。 • 若一直線與兩直線相交，且同旁的兩角之和小於兩直角，則兩直線向該旁延長必定相交。

  5. 第五公設: 平行公設 (The parallel axiom) a + b < 180。 a b

  6. 平行公設的等價敍述 • 通過一直線 L以外的一點 P，只能畫出一條與 L平行的直線。 P L

  7. 三角形的內角和為 180。

  8. 若一四邊形有一對對邊相等，且它們與第三邊構成的角為直角，則其餘的兩角也是直角。若一四邊形有一對對邊相等，且它們與第三邊構成的角為直角，則其餘的兩角也是直角。

  9. 對第五公設的質疑 • 歐幾里德本人對此公設有疑問，幾何原本較少使用此公設。 • 前面四條公設簡單易明。 • 其他公設都有「有限」的特點，只涉及線段及有限的平面圖形。 • 不斷有學者嘗試用更簡單的命題去推論它，都不成功。

  10. 推證第五公設的思路 • 一種方法是用比較自明的敍述來替代平行公設。 • 另一種是嘗試由歐基里德的其餘公設來推出平行公設。

  11. 無數英雄盡折腰 • 普羅克洛斯 (Proclus, 410 – 485) 哲學家，數學家，歷史學家。 • 納西爾.埃丁.阿爾-圖西 (Nasir Eddin Al –Tusi, 1201- 1274)。 • 吉羅拉莫‧薩開里 (1667 – 1733) 意大利耶穌會教士。 • 約翰. 沃利斯 (John Wallis, 1616 – 1703) 英國數學家。

  12. 推證失敗的原因 • 所有這些證明都使用了和平行公設等價的命題，也就是犯了邏輯學上的 「循環論證」

  13. 一個令人可惜的例子 • 吉羅拉莫‧薩開里 (1667 – 1733) 意大利耶穌會教士。 • 採用「反證法」(直接證明太難了，簡直是天方夜譚 ！)

  14. 反證法的思路 • 平設公設：「通過直線AB以外的一點 P， 只能作出一條與AB平行的直線。」 跟公設矛盾的命題有以下兩種形式： • (1) 過 P 點沒有直線與 AB 平行 • (2) 過 P 點有不只一條直線與 AB 平行

  15. 他證明第一種方案和其他公理產生矛盾！ • 第二種方案沒有產生任何的矛盾。 • 怪事卻發生了：三角形的內角和少於 180。，而且還和三角形的大小有關。 a c a + b +c < 180。 b

  16. 兩千多年來，這類嘗試沒有一個成功。每一個「證明」都藏著或明或暗的漏洞。兩千多年來，這類嘗試沒有一個成功。每一個「證明」都藏著或明或暗的漏洞。

  17. 開創時代的英雄降臨了！

  18. 非歐幾何的產生 • 到了十九世紀，波爾約和羅巴切夫斯基分別地證實，即使否定了第 5 公設，我們仍然可以得到一個沒有矛盾的幾何體系。 波爾約 (1802  1860 ) 羅巴切夫斯基 (1792  1856 )

  19. 高斯 Carl Friedrich Gauss(1777- 1855) • 德國數學王子。 • 小時候快速算出從1加100的傳奇故事。 • 15歲的時候，就已經意識到有一種新幾何學的存在 。 • 22歲時，確信第五公設是不能被推證。 • 為人保守，不輕易發表研究結果。

  20. 高斯的數學研究幾乎遍及所有領域，在數論、代數學、非歐幾何、複變函數分析學、統計學和微分幾何等。高斯的數學研究幾乎遍及所有領域，在數論、代數學、非歐幾何、複變函數分析學、統計學和微分幾何等。 • 他還把數學應用於天文學、大地測量學、電學、磁學和重力的研究。 • 名句：寧可少些，但要好些 數學是科學裏的皇后，而數論 是數學中的女王

  21. 第一個非歐幾何 (雙曲幾何) • 羅巴切夫斯基在苦思證明第五公設之法的過程中，發展出他的羅巴切夫斯基幾何，這是第一個被提出的非歐幾何系統。 • 羅巴切夫斯基幾何裡頭包含兩個重要的結論： (1) 第五公設無法被證明。 (2) 「過直線外一點能作兩條直線與它平行」 替代第 五公設，所建立的幾何體系與歐氏幾何體系同樣 地完善、嚴密。

  22. 此非歐幾何的特徵是： (1) 通過直線AB以外的一點P，可以有無窮多條直線與 AB平行。 (2) 三角形的內角和小於 180。。

  23. 黎曼 Georg Friedrich Bernhard Rlemann(1826 – 1866) • 高斯的學生 • 1854年發表論文 《論幾何學的 基本假設》，提出另類的非歐幾何， 稱為「黎曼幾何」，或「橢圓幾何」。 • 提出「黎曼猜想」。 • 此非歐幾何的特徵是： (1) 直線不是無限而是有限且封閉的。 (2) 不存在平行線。 左圖為「黎曼幾何」的模型，直線為圓 心等於球心的圓 (3) 三角形的內角和大於 180。。

  24. 三種不同幾何體系的模型

  25. 非歐幾何對世界有何重大貢獻？

  26. 非歐幾何的世界 • 1915年愛因斯坦(A.Einstein)在朋友格羅斯曼的幫助下利用非歐幾何創立廣義相對論 (General Relativity) • 愛因斯坦為建立相對論努力幾個月後，仍無進展，向他的老朋友格羅斯曼求助，「格羅斯曼，你必須幫助我，要不我就要瘋了！」 • 在格羅斯曼的協助下，愛因斯坦選擇了非歐幾何中的黎曼幾何作為廣義相對論的幾何體系。

  27. 愛因斯坦的理論預測了： • 光線的彎曲 • 水星在近日點的偏移 • 星系的紅外移

  28. 我們身處在哪種幾何世界 ？ • 人類生存的空間只是小範圍可視為歐幾里德空間。 • 大範圍以致整個宇宙必須用非歐幾何來描述。 • 我們身處在四維的時空內，隨著未來的發展，我們可能會發現身處在十維或更多維的幾何世界中，當然新的數學理論是必需的！

  29. 由一句說話終結 數學不管多抽象，總有一天可以用在外在的真實世界。 羅巴切夫斯基 (Lobachevesky)

  30. 參考資料： • 伊萊.馬奧爾 著，無窮之旅 – 關於無窮大的文化史 上海教育出版社 • Amir D. Aczel 著，上帝的方程式 愛因斯坦, 相對論和膨脹的宇宙 上海世紀出版集團 • W.W.Sawyer 著， 數學家是怎樣思考的 純粹帶來力量 天下文化出版社 • 吳志揚, 陳文豪 著， 幾何學發展史簡介 • David Wells 著 ， 奇妙而有趣的幾何 上海教育出版社

  31. 謝謝！

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