§10-1. 对弧长的曲线积分

1. §10-1. 对弧长的曲线积分 §10-4.对面积的曲面积分

2. y B L A x D   10-1. 对弧长的曲线积分  = L R2, f (X ) = f (x, y), (x, y)L, d  =ds 对弧长的曲线积分 因为ds>0. 所以对弧长的曲线积分与曲线的方向无关：

3. 计算： 曲线积分 定积分 (1) L：y=y(x), a≤x≤b 假设 y(x)C1([a, b]). 有 ( a < b )

4. (2) L：x=x(y), c≤y≤d 假设 x(y)C1([c, d]). 有 ( c < d )

5. 解1： 0≤x≤2 y 2 y2=2x 0 2 x 例1.计算 其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2) 的一段弧.

6. 解2： 0≤y≤2 y 2 0 2 x

7. y B 2 OA: y=0, 0≤x≤1 A x O 1 例2.计算 L: 连接O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2)的闭折线OABO. 解：L分段光滑 ds=dx

8. AB: y=22x, 0≤x≤1 y BO: x=0, 0≤y≤2 B 2 x A O 1 ds=dy =2

9. (3) L：x=(t), y=(t), ≤t≤ ( < )

10. 例3.计算 其中L: x2+y2=a2. L: x=acos t, y=asin t, 0≤t≤2

11. z  y O x (4) 空间R3中的曲线：x=(t), y=(t), z=(t), ≤t≤ ( < )

12. 解：直线段 AO 方程： 例4.计算 其中：从点A(3, 2, 1)到点O(0, 0, 0)的直线段. 化成参数方程：x=3t, y=2t, z=t, 0≤t≤1.

13. 10-4. 对面积的曲面积分  = R3, f (X)=f (x, y, z), (x, y, z), d=dS 对面积的曲面积分 计算： 曲面积分 二重积分

14. z dS n z n dS M M  dS n    S S  d y 0 x d d Dxy (1)：z=z(x, y), (x, y)Dxy 假定 z(x, y) C1(Dxy), f (x, y, z) C() 有 d =cosdS或

15. 有 d =cosdS或 因为 所以 故

16. 于是

17. z  h  y a O Dxy x 例5.计算 其中为球面 x2+y2+z2=a2被平面 z=h(0<h<a)截出的顶部. 解： Dxy: x2+y2≤a2h2 又

18. 有 故

19. z 2 1 y Dxy x 例6. 计算 其中  是圆锥面 与平面 z=1 所围圆锥体的整个外表面. 解： 1： Dxy: x2+y2≤1 又

20. 有 故

21. z 2 1 y Dxy x 2：z=1 Dxy: x2+y2≤1 又 有 故 从而

22. (2) ：x=x (y, z) (3) ：y=y (x, z)