1 / 27

POLİNOMLAR

POLİNOMLAR. TANIM:. P(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 2 x 2 +a 1 x+a 0 biçimindeki ifadelere reel katsayılı. bir bilinmeyenli polinom denir. a n x n , a n-1 x n-1 , ... , a 1 x+a 0. Polinomun terimleri. a n , a n-1 , ... , a 1 , a 0. Terimlerin katsayıları. a n başkatsayı.

chuong
Download Presentation

POLİNOMLAR

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. POLİNOMLAR TANIM: P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x+a0 biçimindeki ifadelere reel katsayılı bir bilinmeyenli polinom denir. anxn, an-1xn-1, ... , a1x+a0 Polinomun terimleri an , an-1 , ... , a1 ,a0 Terimlerin katsayıları an başkatsayı a0 sabit terimdir.

  2. ÖRNEK1: reel katsayılı 3. dereceden bir polinomdur. Başkatsayısı Sabit terimi 4 tür.

  3. ÖRNEK2: ifadesi Çünkü; bir polinom değildir.

  4. SABİT POLİNOM Sabit polinomun derecesi sıfırdır.

  5. ÖRNEK1: sabit polinom ise a,b ve c değerleri ile P(x) polinomunu bulunuz.

  6. ÇÖZÜM: Sabit polinomlarda x içeren terimlerin katsayıları sıfır olacağından, a-2=0 ise a=2 2b-3=0 ise b=3/2 (c-1)/3=0 ise c=1 dir. Bu değerler P(x) polinomunda yerlerine konursa, P(x)=-4.(3/2)x+5=-1 bulunur.

  7. SIFIR POLİNOMU an=an-1=...=a1=a0 ise P(x) polinomuna sıfır polinomu denir ve P(x)=0 olarak gösterilir. Bütün katsayılar sıfır olduğundan (P(x)=0xn+0xn-1+...+0x+0=0) sıfır polinomunun derecesi belirsizdir. ÖRNEK1: P(x)=(3-a)x4+(2b-4)x2+(c-1)x+2a-b+d polinomu sıfır polinomu ise a+b+c+d=? ÇÖZÜM: P(x)=0 ise tüm terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. Buna göre; 3-a=0 ise a=3 2b-4=0 ise b=2 ve a+b+c+d=10 bulunur c-1=0 ise c=1 2a-b+d=0 ise d=4 tür

  8. POLİNOM OLMA KOŞULU ÖRNEK: P(x)=3x2-4xm-2+5x6-m+3 ifadesinin bir polinom belirtmesi için m’in alabileceği değerler kümesini bulunuz. ÇÖZÜM: P(x) bir polinom ise m-2 N ve (6-m) N olmalıdır. m-2 N ise m-2 0, m ve m 2 N 6-m N ise 6-m 0, m 6 ve m N 2,3,4,5,6 bulunur

  9. POLİNOMLARIN EŞİTLİĞİ TANIM: Dereceleri eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları karşılıklı olarak birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir. ÖRNEK1: P(x)=2x4-ax2+2x+3b-1 ve Q(x)=(c-1)xn+(d-2)x3+3x2+2ex-4 polinomları eşit polinomlar ise n,a,b,c,d,e sayılarını bulunuz. ÇÖZÜM: P(X)=Q(x) ise der(p(x))=der(Q(x)) olacağından n=4 tür Eşit polinomlarda aynı dereceli terimlerin katsyıları eşit olacağından; c-1=2 ise c=3 , d-2=0 ise d=2 (P(x) te x3lü terimin katsayısı sıfırdır.) -a=3 ise a=-3 , 2=2e ise e=1 3b-1=-4 ise b=-1 bulunur.

  10. POLİNOMLARDA İŞLEMLER 1. TOPLAMA VE ÇIKARMA: İki polinomu toplar veya çıkarırken dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır. ÖRNEK1: P(x)=5x4-2x3+3x+4 ve Q(x)=4x3+6x2-2x-7 ise A. P(x)+Q(x)=5x4+(-2+4)x3+6x2+(3-2)x+(4-7) =5x4+2x3+6x2+x-3 B. 2.P(x)-3Q(x)=(10x4-4x3+6x+8)-(12x3+18x2-6x-21) =10x4+(-4-12)x3-18x2+(6+6)x+8+21 =10x4-16x3-18x2+12x+29

  11. UYARI:1 0 olmak üzere; Der(P(x))=n Der(Q(x))=m ise der(a.P(x)+b.Q(x))=n dir. UYARI2: P(x) ve Q(x) n. dereceden iki polinom ise, Der(a.P(x)+b.Q(x)) en çok n olabilir.

  12. 2. POLİNOMLARDA ÇARPMA: İki polinomu çarparken birinci polinomun her bir terimini ikinci polinomun her bir terimi ile çarpar ve aynı dereceli terimleri toplarız. ÖRNEK1: P(x)=x2-3 ve Q(x)=2x3-4x+1 P(x).Q(x)=( x2-3).( 2x3-4x+1) =x2(2x3-4x+1)-3(2x3-4x+1) =2x5-4x3+x2-6x3+12x-3 =2x5-10x3+x2+12x-3

  13. Der(P(x))=n Der(Q(x))=m UYARI: ise der(P(x).Q(x))=m+n dir. ÖRNEK: P(x)=xn+5 ve Q(x)=x6/n-3 polinomları veriliyor. A(x)=P(x).Q(x) olduğuna göre A(x) polinomunun derecesi kaç farklı değer alabilir? ÇÖZÜM: der(A(x))=der(P(x)+derQ(x)=n+6/n dir. olacak şekilde n değerleri alınırsa, n=1 için der(A(x))=1+6/1=7 n=2 için der(A(x))=2+6/2=5 n=3 için der(A(x))=3+6/3=5 n=6 için der(A(x))=6+6/6=7 olmak üzere A(x) polinomunun derecesi iki farklı değer alır.

  14. POLİNOMLARDA BÖLME: P(x) Q(x) Bölme işleminde ; . . . B(x) P(x)= Q(x).B(x)+K(x) Bölünen =bölen.bölüm+kalan - 1. der(P(x)) der(Q(x)) K(x) 2. der(K(x)) < der(Q(x)) 3. der(K(x)) < der(B(x)) ise Q(x) ile B(x)’ in yer değiştirmesi kalanı değiştirmez. 4.K(x)=0 ise P(x) polinomu Q(x)’ e tam bölünür.

  15. ÖRNEK: P(x)= x4-2x3+3x-5 polinomunu Q(x)=2x2-4 polinomuna bölelim. x4-2x3+3x-5 2x2-4 x4-2x2 -x +1 Bölüm=B(x)= -2x3+2x2+3x-5 Kalan=K(x)=-x-1 dir. -2x3+4x 2x2-x-5 2x2-4 -x-1

  16. UYARI: der(P(x))=m, der(Q(x))=n ve m > n olmak üzere der(P(x):Q(x))=m-n , der(pk(x))=k.m dir. ÖRNEK: P(x)=(x2-x+2)3 ve der(Q(x))= 4 olduğuna göre ; a) der(P(x))= 2.3 = 6 dır. b) der(P(x)-Q(x))= der(P(x)= 6 dır. c) (der( x3.Q2(x)) = 3+2.4 = 11 dir.

  17. 2. P(x) in x=k için değeri: P(x) = anxn +an-1xn-1 +...+a1x+a0 polinomunun x=k için değeri ; P(k) = ankn +an-1kn-1+...+a1k+a0 dır. a. P( 1 ) = an + an-1+ . . . +a1 + a0 P(x) polinomunun katsayılar toplamıdır. b. P( 0 ) = a0 P(x) polinomunun sabit terimidir. x’ in çift kuvvetli terimlerinin katsayıları toplamıdır. c. x’ in tek kuvvetli terimlerinin katsayıları toplamıdır. d.

  18. ÖRNEK: P(x)=(2x2+x-5)3 polinomunun ; a. Katsayılar toplamı: P(1)=(2+1-5)3 = (-2)3 = -8 dir. b. Sabit terimi : P(0) = (-5)3 = - 125 tir. c. Çift kuvvetli terimlerin katsayıları toplamı : d. Tek kuvvetli terimlerin katsayıları toplamı :

  19. P(x) polinomunun ax+b ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için; ax+b=0 denkleminin kökü olan x=-b/a için P(x)polinomunun değeri olan P(-b/a) hesaplanır. Çünkü P(x)=(ax+b).B(x)+K ise P(-b/a)=K dır. ÖRNEK: P(x) = x4-x2+2x+5 polinomunun x+2’ ye bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: x+2=0 ise x=-2 dir. Buna göre kalan P(-2) dir. K=P(-2)= (-2)4-(-2)2+2(-2)+5= 16-4-4+5= 13 bulunur.

  20. ÖRNEK: P(x)= x3+(k-1)x2+kx-13 polinomunun x-2 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre x+2 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: P(2)=3 olduğundan; 8+4k-4+2k-13=3 ise k=2 dir. Yani ; P(x)= x3+x2+2x-13 tür. P(x) in x+2 ile bölümünden kalan P(-2) olduğundan ; P(-2) = -8+4-4-13=-21 olur.

  21. Bir polinomun herhangi bir polinom ile bölümünden kalanı bulmak: 1. axn+b ile bölümünden kalanı bulmak için (axn+b=0 ise xn=-b/a) ; polinomda xn yerine –b/a yazılır. ÖRNEK1: P(x) = 3x3-2x2-1 polinomunun x2-4 polinomuna bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: x2-4=0 ise x2 = 4 (polinomda x2yerine 4 yazılacak) P(x) =3x2.x-2x2-1 Kalan=3(4)x-2(4)-1 Kalan= 12x-9 olur.

  22. ÖRNEK2: P(x) = x3-x2+mx+n polinomunun x2+x-2 ye bölümünden kalan 2x-5 ise m-n=? ÇÖZÜM: x2+x-2=0 ise x2=2-x P(x)=x2.x-x2+mx+n K(x)=(2-x).x-(2-x)+mx+n = 2x-5 K(x)=2x –x2-2+x+mx+n = 2x-5 K(x)=3x –(2-x)-2+mx+n = 2x-5 K(x)=(4+m)x+n-4 = 2x-5 (polinom eşitliğinden) 4+m=2 ise m=-2 ve n-4=-5 ise n=-1 bulunur. m-n=-2-(-1)=-1 elde edilir.

  23. ÖRNEK3: P(x) bir polinom olmak üzere , (x+1).P(x)+3=x3+mx2-5x-2 dir. P(x)’ in x-3 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: Önce m’yi bulmak için x=-1 alırsak; (-1+1).P(-1)+3=-1+m+5-2 0+3=-1+m+5-2’ den m=1 bulunur. Buna göre; (x+1).P(x)+3=x3+x2-5x-2 dir. Kalan P(3) olacağından; x= 3 alırsak; 4.P(3)+3=27+9-15-2 4P(3)=16 P(3)=4 bulunur.

  24. KURAL: P(x) polinomu (x-a).(x-b).(x-c)... ile tam olarak bölünebiliyorsa x-a,x-b,x-c... ile de ayrı ayrı tam olarak bölünür. ÖRNEK4: P(x)=x3+mx2+nx+2 polinomu Q(x)=x2-3x+2polinomuna tam bölünebildiğine göre m.n=? ÇÖZÜM: x2-3x+2=(x-2)(x-1) olduğundan P(x) polinomu x-2 ve x-1’e tam bölünür. P(2)=0 ise 8+4m+2n+2=0 P(1)=0 ise 1+m+n+2=0 2m+n=-5 m+n=-3 m=-2 ve n=-1 bulunur. m.n =2 dir.

  25. ÖRNEK5: P(4x-2)= x3+2x+m polinomu veriliyor. P( x-3) polinomunun x-5 ile bölümünden kalan 8 olduğuna göre P( x+1) polinomunun x+11 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: P(x-3) polinomunun x-5 ile bölümünden kalan ; P(5-3)=P(2)=8 P(x+1) polinomunun x+11 ile bölümünden kalan ; P(-11+1)=P(-10) dur. O halde; P(2)=P(4.1-2)=13+2.1+m=8 ise m=5 tir. P(-10)=P(4.(-2)-2)=-8-4+5=-7 dir.

  26. ÖRNEK6: Bir P(x) polinomunun x-2 ilebölümünden kalan 7,x+1 ile bölümünden kalan 1 ise P(x) in x2-x-2 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: P(x)=(x2-x-2).Q(x)+ ax+b şeklindedir. ( Bölen 2. dereceden olduğundan kalan 1. dereceden olacaktır.) P(2) = 7 ve P(-1) = 1 olduğundan ; 2a+b=7 ve -a+b=1 2a+b=7 -a+b=1 a=2 , b=3 , Kalan= K(x)= 2x+3 tür.

  27. ÖRNEK7: P(x) polinomu x-3 ile bölündüğünde bölüm Q(x) kalan 4’tür.Q(x) polinomunun x+2 ile bölümünden kalan 3 ise P(x)’in x2-x-6 ile bölümünden kalan nedir? ÇÖZÜM: P(x)= (x-3). Q(x) +4 Q(x) 1. eşitlikte yerine konursa, Q(x)= (x+2). B(x) +3 P(x)= (x-3). +4 P(x)= (x-3). (x+2)B(x) +3(x-3) +4 P(x)= (x2-x-6) B(x) +3x-5 P(x)’in x2-x-6 ile bölümünden kalan; K(x)= 3x-5 tir.

More Related