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一元分析基础

一元分析基础. 主讲教师： 罗汉. 制作：刘金莲. 第五章. 一元函数的积分学. §4. 定积分的计算. 例 1. 0≤ x ≤ . 例 2. 设 f ( x )=. x <0 或 x > . 0 ，. . x. . 0. 求  ( x )=. (  < x < +). 解： 当 x <0 时. x. ( x )=. =0. . x. . 0. 当 0≤ x ≤  时. x. ( x )=. . x. . 0. 0 ， x <0.

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Presentation Transcript

  1. 一元分析基础 主讲教师： 罗汉 制作：刘金莲

  2. 第五章 一元函数的积分学

  3. §4. 定积分的计算

  4. 例1.

  5. 0≤x≤ 例2.设f (x)= x<0 或 x> 0，  x  0 求(x)= ( < x < +) 解：当 x<0时 x (x)= =0

  6. x  0 当 0≤ x≤  时 x (x)=

  7. x  0 0， x<0  (x)= 0≤ x≤  1, x >  当 x >  时 x (x)= =1

  8. 一、换元法 例1. 解：作变换 x=asint, dx=acostdt,

  9. 于是

  10. 例1. 解：作变换 x=asint, dx=acostdt, a 0 0 0 0

  11. 一般地，我们有 定理1.设 (1) f (x)C([a, b]), (2) x= ( t ) 在 [, ]上单值，可导， (3)当 ≤ t ≤时, a ≤ ( t )≤b , 且()=a,  ( )=b, 则

  12. 证：由条件(1)，则 f (x)R([a, b])，设其原函数为F(x)，由 NewtonLeibniz公式有 再由复合函数求导法知 F((t)) ( t(, ) ) 是f ((t)) '(t) 的一个原函数. 则又有 所以

  13. 例2. x=0t=1, x=4t=3

  14. 例3.设 f (x)R([a, a]), 证明 (1)当 f (x) 为偶函数时，则 (2)当 f (x)为奇函数时，则 证：

  15. (1) f (–x)=f (x), 故 (2) f (–x)= –f (x), 故

  16. 由例3有 =2

  17. 例4.若 f (x)C([0, 1]), 证明 证：设 且当

  18. 于是 特别地有

  19. 例5.设 f (x)C([0, 1]), 证明 证：设 x=t, 则 d x= d t 且 x=0 时 t=, x=  时 t=0 于是

  20. 从而 例如

  21. x2, x≥0 例6.设 f (x)= x , x<0 计算 解：设 x2=t, 则 dx=d t , x=1 t= 1, x=4  t=2 于是

  22. 二、分部积分法 设 u=u(x), v=v(x)在[a, b]上可导，且u'v, uv'R([a, b])

  23. 例7.

  24. 例8. 解： x=0 t= 0, x=1  t=1 = 2

  25. 例9. 解：

  26. 递推公式 由于 故当 n 为偶数时 当 n 为奇数时

  27. 显然也有 例如：

  28. a B x §5. 广义积分 一、无穷积分 定义1：设f (x)在[a, +)上定义，B>a, f (x)R([a, B]), 记 称其为f (x)在[a, + )上的无穷积分，若上式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，且极限值为无穷积分的值，否则称此无穷积分发散.

  29. A b x 类似地定义 (A<b) (A<c<B)

  30. y x 0 例1. 今后简记

  31. 例2. 例3. 解： =

  32. p－积分 (a>0, p任意常数) 例4. 解：p 1 =

  33. p=1时： =+  p >1 时收敛，p≤1 时发散. 借助 p－积分可以建立一些判别无穷积分敛散的判别法，从而不用经过计算就可以知道无穷积分的敛散性。

  34. 瑕点： >0, 若 f (x) 在 U( x0,  )内无界，则称 x0 为 f (x) 的一个瑕点. 例如 x=3是 的瑕点. 二、瑕积分 x=1是 f (x)=ln(1x2)的瑕点.

  35. x a+ a b 定义2.设 f (x) 在 (a, b]上定义，a为 f (x)的瑕点，且 >0, f (x)R([a+, b]), 记 称为f (x) 在[a, b]上的瑕积分，若上式极限存在，则称此瑕积分收敛， 否则称此瑕积分发散.

  36. x b a b x a c1 c c+2 b 类似地定义：x=b为 f (x)的瑕点，则 x=c为f (x)的瑕点，且a<c<b, 则

  37. 例1. 解：因有 故 x=1为瑕点. 于是

  38. 例2. 解：因有 故 x=0为瑕点. 于是 而 故 发散.

  39. ! ? ！ 注意：

  40. 例3. (a<b, p为任意常数) 解：(1) 当 p≤0时，该积分为常义积分. (2) 当 p>0时，x=a为瑕点，这时有 p1时， = +, p>1

  41. p=1时， 在0<p<1时收敛， 故 瑕积分 在p≥1时发散. 利用上例的 p积分可以建立判别法，用于判别瑕积分的敛散性.

  42. 三、广义积分的Cauchy主值 无穷积分 定义为 称 V.P. 为 f (x) 在(, +)上无穷积分的Cauchy主值，若极限存在，称 f (x) 的无穷积分在主值意义下收敛，否则称在主值意义下发散.

  43. 例： 因为 不存在， 所以 是发散的. 但 =0 故该积分在主值意义下收敛.

  44. 易知，广义积分收敛，则主值意义下也收敛. 上例说明反之不然. 类似可定义瑕积分的Cauchy主值： 设 x=C 为瑕点，

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