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导数的概念和计算

导数的概念和计算. 导数的定义和几何意义 常用求导公式 求导及几何意义的应用. 一、 导数的概念和几何意义. 1.y =f (x) 的导数 2.y =f (x) 在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x) 在点 P （ x 0 ,f(x 0 )) 处的切线的斜率 . 极限 叫 f(x) 在点 x 0 处 的导数（或 变化率 ）。 叫平均变化率。 3. 物体的运动规律是 S=S （ t ），则物体在时刻 t 的瞬时速度为

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Presentation Transcript

  1. 导数的概念和计算 • 导数的定义和几何意义 • 常用求导公式 • 求导及几何意义的应用

  2. 一、 导数的概念和几何意义 1.y =f (x)的导数 2.y =f (x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)) 处的切线的斜率.极限 叫f(x)在点x0处 的导数（或变化率）。 叫平均变化率。 3.物体的运动规律是S=S（t），则物体在时刻t的瞬时速度为 即瞬时速度是位移S对时间t 的导数。

  3. 4.用定义法求函数y=f（x）在点x0处的导数的方法步骤：4.用定义法求函数y=f（x）在点x0处的导数的方法步骤： 5.二阶导数：y=f(x)的导数f′(x)的导数，记作f 〞(x)或y〞 物体运动的加速度a=s〞(t) （1）求△y （2）求 （3）取极限

  4. 练习1：(1) 一球沿斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2 位移单位：m，时间单位：s）.求小球在t=5时的瞬时速度（用定义法求） 解：△s=s(5+△t)-s(5)=(5+△t)2-52=△t2+10△t

  5. (2)设f（x）为可导函数，则 • 的为（ ） • B. 2 C. -2 D.0 • （3）设f（x）在x=x0处可导，且 • 等于（ ） • 1 B. 0 C. 3 D. • （4）在 中，△x不能（ ） • A. 大于0 B.小于0 C. 等于0 D.小于0或等于0 B D C

  6. c′=0(c为常数） (xm) ′=mxm-1(m∈Q) (sinx) ′=cosx (cosx) ′=-sinx (ex) ′=ex (ax) ′=ax lna (lnx) ′= 二、求导公式1.常用导数公式

  7. 2.两个函数四则运算的导数 （u±v) ′=u′±v′ (uv) ′=u′v+uv′ 3.复合函数的导数： yx′=yu′·ux′

  8. 练习2：用公式法求下列导数： （1）y= （3）y=ln(x+sinx) （2）y= （4）y= 解(1)y′= (2) (3) (4)

  9. 练习3： 1.已知两条曲线y=x2-1与y=1-x3 (1)这两条曲线在x=x0的点处的切线互相平行，则x0= . (2)这两条曲线在x=x1的点处的切线互相垂直，则x1= . 2.已知f(x)=cos2x ,则 . 3.已知函数y=x3的切线的斜率等于3，则其切线有条. 0或 4 2

  10. 例题1.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点（1，1），且在点（2，-1）例题1.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点（1，1），且在点（2，-1） 处与直线y=x-3相切，求a,b,c的值。 解：∵y′=2ax+b, ∴ ····· ① ∵点（1，1）在抛物线上，∴a+b+c=1····② 又 切点（2，-1）在抛物线上，则4a+2b+c= -1···③ 联立方程①，②，③解得a=3,b=-11,c=9

  11. 例题2.求过点（2，0）且与曲线y= 相切的直线方程。 解：设所求切线与曲线的切点为P（a，b） ∴ 所求切线方程为 ∵点（2，0）在切线上，代入整理，得a2b=2-a ------① 又∵P（a,b）在曲线 上，∴ab=1 ------------② 联立①，②解得 a=1,b=1 所求直线方程为 x+y-2=0

  12. 练习4 （1）曲线y=x4的斜率等于4的切线的方程为. （2）过曲线y=cosx上的点 且与过这点的切线垂直的 切线方程为. （3）设l1为曲线y=sinx在点（0，0）处的切线，l2为曲线 y=cosx在点 处的切线，则l1与l2的夹角大小为. （4）一物体的运动方程是s=t2+3,则物体的初速度是. 时间段（3,3+Δt）中，相应的平均是.物体的 加速度是. 在t=3时的瞬时速度等于. 4x-y-3=0 90° 0 6+△t 2 6

  13. 思考与延伸 1.某点的导数与导函数的异同点. 2.可导与连续的关系 3.函数可导与曲线的切线是否存在的问题 导函数指f(x)在开区间(a,b)内每一点处都可导，而开区间(a,b)内每一个确定的值x0都对应着一个确定的f′(x0),它们构成了一个新的函数，就是导函数，简称导数。函数的导数，是对某一区间内任意点而言的，也就是导函数。求函数在一点处的导数，一般是先求f′(x),再求 f′(x0)=f′(x)|x=x 函数在某点处可导是函数在该点处连续的充分不必要条件。 函数在某点处可导是函数在该点有切线的充分不必要条件。

  14. 从图象看可导与连续、切线的关系 观察点（0，0）处 直线上各点 • 某点可导→该点切线有斜率→该点存在切线，反之如何？ • 连续→图象不间断，是否有切线呢？ • 某点可导→该点有定义有切线，是否能证

  15. 思考曲线在点O处的切线

  16. 归纳与小结 1.本节课我们重点要掌握导数的定义及几何意义；基本求导法则特别是复合函数的求导法则. 2.要理解△y与△x的含义，△x可正可负，在 △x →0时取极限.要能根据定义判断表示导数定义的各种不同形式. 3.导数的几何意义的应用，重点是切线方程问题，注意判断已知点是否为切点.一般应考虑求切点坐标或求该点的斜率，并注意利用点在切线上和点在曲线上联立方程组解决一些较复杂的问题.

  17. 课外作业 1.《优化设计》p141.第5题：求下列函数的导数 2.课本.复习参考题三.B组第6题.

  18. 欢迎光临指导 课件制作： 江西省信丰中学 邱家富 2002.4

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