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求两点之间的第 k 短路径

求两点之间的第 k 短路径. 陈皓. 应用. 长度之外额外 的 限制 模型估价 敏感性分析 ……. 传统方法. 启发式搜索（ A *） 空间消耗太大！！！ 速度太慢！！！. 新的算法. 路径如何表示？ K 小生成树的表示方法 上一棵生成树 + 修改信息（插一条边，删一条边） 旧的路径 + 一条不在最短路树中的新边，以及一些关于最短路树边相关的调整信息. 最短路树. 最短路树 T 是图 G 的子集，是一棵根在单终点 t 的树，树上点到根的路径是原图中的一条最短路 例如，上右图是上左图的最短路树. 新的算法.

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求两点之间的第 k 短路径

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Presentation Transcript

  1. 求两点之间的第k短路径 陈皓

  2. 应用 • 长度之外额外的限制 • 模型估价 • 敏感性分析 • ……

  3. 传统方法 • 启发式搜索（A*） • 空间消耗太大！！！ • 速度太慢！！！

  4. 新的算法 • 路径如何表示？ • K小生成树的表示方法 • 上一棵生成树 + 修改信息（插一条边，删一条边） • 旧的路径 + 一条不在最短路树中的新边，以及一些关于最短路树边相关的调整信息

  5. 最短路树 • 最短路树T是图G的子集，是一棵根在单终点t的树，树上点到根的路径是原图中的一条最短路 • 例如，上右图是上左图的最短路树

  6. 新的算法 • 对于每一条边e，定义选择e的代价 • 其中l表示边权，d(head(e), t)是边的头到终点t的距离，d(tail(e), t)是边尾到终点t的距离 • 不难看出，这就是选择这一条边会增加的距离，路径p的长度就是最短路长度加上所有边代价的和

  7. 新的算法 • 例子

  8. 新的算法 • 定义集合sidetracks(p)表示路径p上所有不在最短路树上的边集 • 这样，路径p与sidetracks(p)是等价的 • 用lastsidestrack(p)表示最后一次加入的边，下一条边只在边尾在T上这条边的头与t之间的路径上的边里面选

  9. 堆？ • 因为，这种表示方法有堆的性质 • 可惜的是，堆的叉数并没有限制，所以还需改进

  10. 新的算法 • 目标：对于每一个顶点v，构建堆，将所有的尾在v到t的路径上的边按排列 • ，尾在v点的边按排列，最小边记为outroot(v)，限制根只有一个孩子 • ，将v到t的路径上的点w的outroot按排列

  11. 新的算法 • 堆的构建方法：将中的每个outroot(w)加上一个新的儿子，就是中剩余的部分，于是是一个三叉堆 • 与同时构造

  12. 一棵最短路树的一部分与

  13. 新的算法 • 构建一个新的图D(G)，以及从v∈G到h(v)∈D(G)映射，满足以下性质： • D(G)有O(m + n log n)个顶点 • D(G)中的顶点对应图G-T中一条边 • D(G)每点出度至多为3 • D(G)中，由h(v)出发可达的点构成

  14. D(G)

  15. 新的算法 • 在D(G)的基础上，定义图P(G)，构造方法如下： • 增加一个新点，根结点r，连一条初始边到h(s)，边权为 • 对于原有的D(G)中的边（u,v），把边权设为，称作堆边 (注意u，v对应原图G-T的一条边) • 对P(G)中结点v，v对应原图中的边（u,w），则在P(G)中连边（v,h(w)），权值,称为叉边

  16. 新的算法 • 初始边：开始选择一条边 • 堆边：换成下一条可选择的边 • 叉边：选择一条新的边

  17. 新的算法 • 至此，我们只需对P(G)做广搜，从r开始第k短路径就是原图的第k短路 • P(G)的出度为4，是常数，每次只需用堆维护当前最小的路径，扩展新的路径，所以找到k短路的复杂度为O(k log k)，算上求最短路以及构图的时间，总复杂度为O(m + n log n + k log k) • 若要求多终点的k短路，只需把原图反转，终点为s，构图方法与上述类似，复杂度O(m + n log n + k n log k)

  18. 改进时空性能 • 上述的算法的性能相比传统方法已经相当优秀 • 如果已经求出最短路，原图很稀疏，或者k很大，那么n log n和k log k的项就成为了瓶颈 • O(m + n + k)!!!

  19. 推荐习题 • SGU 314, Shortest Paths http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=314

  20. 参考资料 • [1] David Eppstein, Finding the kShortest Paths, 1997 • [2] 刘汝佳，黄亮，算法艺术与信息学竞赛，2003

  21. The End Thanks for listening

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