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第九章 刚体的平面运动

第九章 刚体的平面运动. 沈阳建筑大学 侯祥林. 第九章 刚体的平面运动. 第九章引言. §9-1 刚体平面运动的概述和运动分解. §9-2 求平面图形内各点速度的基点法. 平面图形速度例题. §9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法. 平面图形加速度例题. §9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度. §9-5 运动学综合应用举例. 运动学综合例题. §9-6 刚体绕平行轴转动的合成. 第九章 刚体的平面运动. 刚体简单运动 : 平行移动 定轴转动 点的合成运动：. 刚体复杂运动： 刚体的平面运动

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第九章 刚体的平面运动

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  1. 第九章 刚体的平面运动 沈阳建筑大学 侯祥林

  2. 第九章 刚体的平面运动 第九章引言 §9-1 刚体平面运动的概述和运动分解 §9-2 求平面图形内各点速度的基点法 平面图形速度例题 §9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法 平面图形加速度例题 §9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度 §9-5 运动学综合应用举例 运动学综合例题 §9-6 刚体绕平行轴转动的合成

  3. 第九章 刚体的平面运动 刚体简单运动: 平行移动 定轴转动 点的合成运动： 刚体复杂运动： 刚体的平面运动 平面运动：工程机械中常见的一种刚体运动； 它可以看作：1）平动与转动的合成， 2）绕不断运动的轴的转动。 本章分析： 刚体平面运动的分解; 平面运动刚体的角速度、角加速度; 刚体上各点的速度和加速度。 ×

  4. 行星轮 § 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解 1）平面运动实例： 行星齿轮机构 ×

  5. 连杆 曲柄连杆机构 ×

  6. 车轮 轮沿直线轨道滚动 2） 定义 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。这种运动称为平面运动。 平面运动刚体上各点都在平行于某一固定的平面内运动。 ×

  7. 3）分析：连杆简图，用平行固定平面的平面截割连杆，得截面S：一个平面图形。3）分析：连杆简图，用平行固定平面的平面截割连杆，得截面S：一个平面图形。 当连杆运动时，图形内任意一点始终在自身平面内运动。 通过图形上任一点作垂直于图形的直线，当刚体作平面运动时，该直线作平动，因此平面图形上的点与直线上各点运动完全相同。 由此可知: 平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有点的运动。刚体的平面运动可简化为平面图形在它的自身平面内运动。 ×

  8. ×

  9. 平面图形在其平面上位置确定： 图形上 M点的位置可由图形上任一点O 的位置和线段OM与固定x轴的夹角ψ确定。 表示为： 平面图形的运动方程 平面图形的运动方程可由两部分组成： 1）平面图形按点 O 的运动方程平动； 2）绕O 点的转动。 ×

  10. 平面运动可以按合成运动分析。 沿直线轨道滚动的车轮，取车厢为动参考系，以轮心O 为原点。 取动参考系O  xy, 车厢平动是牵连运动； 车轮绕平动参考系原点的转动是相对运动； 二者的合成是车轮的平面运动（绝对运动）。 ×

  11. 任意的平面运动，可在平面图形上任取一点O ，称为基点； 在此点假想安一个平动参考系O  xy；平面图形运动时动坐标轴方向始终保持不变，使其分别平行于定坐标轴Ox，Oy。 平面图形运动： 基点的平动和绕基点转动这两部分运动的合成： 平面运动是具有3个自由度的运动量 ×

  12. 图示曲柄滑块机构中，连杆AB作平面运动，A、B两点的速度和加速度不同；图示曲柄滑块机构中，连杆AB作平面运动，A、B两点的速度和加速度不同； 当选择A点或B点为基点时，得到的基点速度和基点加速度不相同，即基点的速度和加速度与基点选择有关。 但无论选择A点还是B点为基点，AB转角ψ都相同。 ×

  13. 研究平面运动时，选择不同的点作为基点。动参考系速度和加速度是不相同的；但转角ψ是相同的。研究平面运动时，选择不同的点作为基点。动参考系速度和加速度是不相同的；但转角ψ是相同的。 结论： 平面运动可取任意基点而分解为平动和转动； 其中平动的速度和加速度与基点的选择有关； 平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点选择无关。 ×

  14. ×

  15. 大小： § 9-2 求平面图形内各点速度的基点法 平面图形内各点的速度 分析平面图形内任一点Ｍ的运动： Ｍ为动点： 选基点O´ 动参考系为过基点（ xO´y )平动； 地面为定系； 动点Ｍ的牵连运动为随同基点 O ´的平动； 动点Ｍ的相对运动是圆周运动； 动点Ｍ的绝对运动: 两个运动的合成； 牵连速度： 大小：等于基点的速度vＯ´ 动点Ｍ的相对速度： 绝对速度： ×

  16. 由点的速度合成定理 结论： 平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。 ×

  17. 平面图形内任意两点A和B的速度存在的关系。 选取点A为基点 B的速度表示为: 相对速度 大小 方向垂直于AB，指向转动 方向 上面6个要素：4个己知， 2个待求 这种方法称为基点法。 ×

  18. 速度基点法的矢量证明 ×

  19. ×

  20. 解题步骤如下： 1. 分析题中各物体的运动：平动，转动，平面运动； 2. 研究作平面运动的物体, 分析点的速度大小和方 向。分析已知要素 3. 选定基点（设为A），而另一点（设为B）可应用公式， 作速度平行四边形。作图时要使vB成为平行四边形的对角线。 4. 利用几何关系，求解平行四边形中的未知量。 5.研究另一个作平面运动的物体，可按上述步骤继续进行。 ×

  21. 例1：椭圆规尺的A点速度为vA, 沿x轴的负向运动，AB=l,求B点速度和AB的角速度。 解： 1）曲柄定轴转动，滑块平动， 尺AB作平面运动。 2）尺AB的各点速度 3）选A点为基点，B点的速度 大小 × √ × 方向 √ √ √ ×

  22. 4） 计算速度 选题 ×

  23. 例2 图示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。在图示位置，BD//AE,杆AB的角速度为ω=5rad/s。求此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。 解： 1) 杆AB, DE定轴转动，BD作平面运动； 2）B,D,C各点速度分析 3）取B点为基点 D的速度。 大小 × √ × 方向 √ √ √ ×

  24. 由速度平行四边形几何关系，得 此时杆DE的角速度： vDB 为点D绕B的转动速度: 得瞬时杆BD角速度： ×

  25. 4）分析杆BD 取B点为基点，分析C点速度. 大小 × √ √ 方向 × √ √ 方向 大小 选题 ×

  26. 速度投影定理: 同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。 证明：在图形上任取两点A和B，它们的速度分别为vA和vB，如取A点为基点，则B点的速度： 将上式两端投影到直线AB上： vBA垂直于线段AB，则 ×

  27. 例3 图示的平面机构中，曲柄 OA=100mm 以角速度ω=2rad/s 转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面滚动。已知CD=3CB,图示位置时A、B、E三点恰在一水平线上, 且CD⊥ ED。试求此瞬时点E的速度。 解： 1）曲柄OA、摇杆CD作定轴转动，E轮、连杆AB、DE作平面运动 2）连杆AB 速度投影定理，A、B的速度在AB线上投影相等： 解出 ×

  28. 3）摇杆CD绕点C作定轴转动 ×

  29. 4）轮E沿水平面滚动，轮心E的速度方向为水平。4）轮E沿水平面滚动，轮心E的速度方向为水平。 5）ED 作平面运动 由速度投影定理, D、E两点的速度关系为： 解出 选题 ×

  30. § 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法 1) 研究平面图形上各点的速度瞬心法。 定理： 一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。 证明：设有一个平面图形S；图形上A点为基点，它的速度为vA ，图形的角速度为ω，转向如图示。 过A点作vA的垂线AN； AN上任一点Ｍ的速度： 看出vA和vMA在同一直线上，而方向相反，故vM的大小 ×

  31. 可知，随着点Ｍ在垂线AN上的位置不同， vM的大小也不同，可以找到一点C，这点的瞬时速度等于零。则: 定理得到证明。 在某一瞬时，平面图形上速度等于零的点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。 ×

  32. 2.平面图形内各点的速度及其分布 根据上述定理，每一瞬时在图形内都存在速度等于零的一点C，选取点C作为基点，A,B,D等各点的速度为： ×

  33. 图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比。图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比。 速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方，速度分布情况。 平面图形上各点速度在某瞬时的分布情况，与图形绕定轴转动时各点速度的分布情况相类似。 强调： 1）刚体作平面运动时，每一瞬时，图形内必有一点成为速度瞬心； 2）在不同的瞬时，速度瞬心在图形内的位置是不同的。 平面图形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬时转动。 当平面图形在某一瞬时速度瞬心位置和角速度已知，则在该瞬时，图形内任一点的速度可以完全确定。 ×

  34. 根据几何条件，确定速度瞬心位置的方法有下列几种：根据几何条件，确定速度瞬心位置的方法有下列几种： （1）平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，图形与固定面的触点C就是图形的速度瞬心。 （2）己知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每一点速度的垂线上。 两条直线交点Ｃ就是平面图形的速度瞬心 ×

  35. （3）己知图形上两点A,B速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线AB，如图所示。（3）己知图形上两点A,B速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线AB，如图所示。 则速度瞬心必定在连线AB与速度矢 端点连线的交点C上 （4）某一瞬时，图形上A、B两点的速度相等。 图形的速度瞬心在无限远处。瞬时平动。 此瞬时各点的速度虽然相同，但加速度不同。 ×

  36. 解题步骤如下： 1）分析题中各物体的运动，平动，转动，平面运动 2）研究作平面运动的物体, 分析点的速度大小和方向 。分析已知要素 3）根据己知条件，求出图形的速度瞬心的位置和平面图形转动的角速度，最后求出速度。 4）研究由几个图形组成的平面机构，则可依次对每一图形按上述步骤进行，直到求出所需的全部未知量为止。 ×

  37. ×

  38. 例4 椭圆规尺的A点速度为vA,沿x轴的负向运动，AB=l, D为AB中点，MA=l/4, 用瞬心法求尺AB的角速度和B点、M点速度。 解： 1) 尺AB作平面运动 2)速度瞬心法 分别作A和B两点速度的垂线，两条直线的交点C就是图形AB的速度瞬心。 图形的角速度为： 点B的速度为 ×

  39. 3) M点速度 方向如图 ×

  40. ×

  41. 选题 ×

  42. 例5 图示平面机构，曲柄长OA=r, 以角速度ωO,绕O轴转动，摇杆O1N在水平位置，而连杆NK在铅垂位置。连杆上 有一点D，其位置为DK=1/3 NK.求D点的速度 解： 1) 曲柄OA, O1N定轴转动，连杆 AB，NK作平面运动 2) 分析连杆 AB A和B两点速度 连杆 AB瞬时平动 3) 分析连杆NK 速度瞬心N K和N两点速度 连杆NK的角速度： 选题 4) D点速度: ×

  43. 例6 图示行星轮系，大齿轮I固定，半径r1；行星齿轮II沿轮I滚而不滑，半径r2，系杆OA角速度ωO,求行星齿轮II角速度ωII及轮上B、C两点的速度。 解： 1)系杆OA定轴转动，行星轮II作平面运动 2） II作平面运动 II和I交点D为II的速度瞬心 A点速度: 齿轮II角速度: ×

  44. 3）瞬心法分析 C点速度 方向如图. B点速度 选题 方向如图. ×

  45. § 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度 平面图形内各点的加速度。 平面图形内任一点B的运动由两个运动合成: 1) 随同基点A的平动（牵连运动）； 2) 绕基点A的转动（相对运动）。 B点的加速度可用加速度合成定理： 牵连运动为平动时，点的加速度合成定理：点的绝对加速度等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。 点B的牵连加速度:基点A的加速度 ； 点B的相对加速度:该点随图形绕基点A的加速度； 分为切向加速度 和法向加速度两部分。 基点法求得点的加速度合成公式: ×

  46. 点B绕基点A转动的切向加速度： 点B绕基点A转动的法向加速度： 平面图形内任一点(B)的加速度等于基点(A)的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。 方向垂直AB； 大小为： 方向指向基点A； 大小为： ω，α为平面图形的角速度，角加速度 ×

  47. 加速度公式的矢量表示： 用基点法求平面图形上点的加速度的步骤与用基点法求点的速度的步骤相同。 但由于在公式: 中有八个要素，所以必须己知其中六个，问题才是可解的。 ×

  48. ×

  49. 例7 图示行星轮系，大齿轮I固定，半径r1；行星齿轮II沿轮I滚而不滑，半径r2，系杆OA角速度ωO, 求行星齿轮II的角速度ωII及轮上B、C两点的加速度。 解： 1)系杆OA定轴转动，行星轮II作平面运动 2）速度分析 II作平面运动，II和I交点D为II的速度瞬心 A点速度: 齿轮II角速度: ×

  50. 基点加速度 3）加速度分析 II作平面运动，II角加速度： 方向： A点为基点： 大小 方向： B、C 两点相对基点的切向加速度 B、C两点相对基点的法向加速度 方向： 大小 ×

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