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第三章 线性控制系统的结构分析

若系统 的 矩阵具有如下形式：. 则称 为对角线规范型。. 第三章 线性控制系统的结构分析. 3.1 特征值规范型. 一、对角线规范型. 1 、定义. 若 的特征值两两互异，则必存在非奇异线性变换矩阵. 2 、状态空间表达式变换为对角线规范型. 1 ）对于线性系统. 使之将原状态空间表达式变换为对角线规范型. 其中.

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第三章 线性控制系统的结构分析

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  1. 若系统 的 矩阵具有如下形式： 则称 为对角线规范型。 第三章 线性控制系统的结构分析 3.1 特征值规范型 一、对角线规范型 1、定义

  2. 若 的特征值两两互异，则必存在非奇异线性变换矩阵 2、状态空间表达式变换为对角线规范型 1）对于线性系统 使之将原状态空间表达式变换为对角线规范型 其中

  3. 式中 是矩阵 的特征值，变换矩阵 由 的特征向 量 构造，即

  4. 解： （1）算出矩阵 的特征值 例：已知系统的状态空间表达式 试变换为对角线规范型。

  5. 于是该系统状态空间表达式的对角线规范型是

  6. 2）若系统矩阵 具有两两相异的特征值，且具有如下形式 则将系统转换为对角线规范型的变换矩阵可取为

  7. 3）系统矩阵 有重特征值 ，其重数为 ，当所有特征值 的几何重数均等于其代数重数时，则必存在非奇异线性变换矩阵 使之将原状态空间表达式变换为对角线规范型 其中

  8. 例：设系统 矩阵为 解： （1）算出矩阵 的特征值 现考察 的几何重数 试将其化为对角线规范型。

  9. 二、约当规范型 1、定义 1）、约当块 2）、约当型矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵。

  10. 若系统 的 矩阵具有如下形式： 则称 为约当规范型。 3）、约当规范型

  11. 若系统矩阵 有重特征值，且几何重数小于其代数重数时，则必存在非奇异线性变换矩阵 2、状态空间表达式变换为约当规范型 使之将原状态空间表达式变换为约当规范型 其中

  12. 3、将 矩阵化为约当型的方法 （1）先讨论变换矩阵 的构造

  13. （2） 和 个 的确定

  14. 例：将已知矩阵 化为约当型 解： （1）算出矩阵 的特征值

  15. （2）依次求解降秩数

  16. （3）求解变换阵 ，由 求得 的约当型

  17. （1）如果对于状态空间中某一非零的有限点 ，可以找到容许控制 ，使得当系统以 为初始状态，即 时，在 作用下，系统在某个有限时刻 ，状态达到坐标原点，即 ，则称 是系统在 上的能控状态。 如果 为状态空间中任意一点，则称系统是状态完全能控的，简称系统是完全能控的。 3.2 状 态 能 控 性 一、状态能控性定义 1、定义 设线性连续定常系统的状态方程是

  18. （2）如果对于状态空间中某一非零的有限点 ，可以找到容许控制 ，使得当系统由初始状态 出发，在 作用下，系统在某个有限时刻 ，状态达到 ，即 ，则称 是系统在 上的可达状态。 如果 为状态空间中任意一点，则称系统是状态完全可达的，简称系统是完全可达的。 3）所谓容许控制，是指控制信号的各分量均应满足平方可积条件，这一条件只是为了在数学意义上保证状态方程解的存在性及惟一性。实际物理信号由于能量总是有限的，故总满足平方可积条件，所以可以认为实际上该定义对控制信号 无限制。 2）能控（或可达）时间区间 ，是系统状态由规定的初态转移到规定的目标状态所需的时间间隔，是一个有限的时间区间。对于线性定常系统而言，在某一个有限时间区间上是完全能控（可达）的，则任何一个有限时间区间上都是完全能控（可达）的； 2、关于定义的几点说明 1）根据定义，不讨论无穷远点和坐标原点本身的能控性；

  19. 4）能控子空间：全体能控状态组成的集合，记作 ； 5）对连续系统而言，状态能控性和状态可达性是一致的； 6）能控子空间及其正交补空间

  20. 例

  21. 状态完全能控的充要条件是存在 ，使 二、连续系统能控性判据 1、Gram（格拉姆）矩阵 线性定常系统 成为非奇异矩阵。

  22. 证明： （1）充分性

  23. （2）必要性 采用反证法

  24. 2、代数判据 n维线性连续定常系统 状态完全能控的充要条件是 其中 称为能控性判别矩阵。

  25. 证明： （1）充分性 反证法

  26. （2）必要性 采用反证法

  27. 例

  28. （1）摆杆的垂直方向 （2）摆杆的水平方向 （3）小车的水平方向 （4）摆杆的转动方向

  29. 3、特征值判据（PBH判据） n维线性连续定常系统 状态完全能控的充要条件是对矩阵A的所有特征值 均满足

  30. （1）必要性 采用反证法

  31. （2）充分性 反证法

  32. （1）由于矩阵 只可能在A的特征值处降秩，因此PBH判据也可以表述为： 状态完全能控等价于对所有 满足 （2）满足 的 所对应的系统模态 是能控的，若 不满足该条件，且 为单重特征值，则 为不能控模态。 4、非奇异变换不改变系统的能控性

  33. （2）如果系统 可以化为每个相异特征值只有一个约当块的约当规范型，那么其状态完全能控的充分必要条件是：系数矩阵 中与 矩阵每个约当块末行相对应的那些行是非零行。 （1）如果系统 具有两两互异的特征值，那么其状态完全能控的充分必要条件是：系统的对角线规范型中系数矩阵没有全零行。 （3）如果系统 可以化为约当规范型，且存在着多个约当块对应同一个特征值的情况，那么其状态完全能控的充分必要条件是：系数矩阵 中与 矩阵相等特征值的全部约当块末行的那些行之间是线性无关的。 5、特征值判据的几个推论

  34. 例 已知三阶二输入系统的状态方程为 试判别其能控性。 解 首先构造能控性判别矩阵 所以该系统状态不是完全能控。

  35. 例 （1） （2） （3） （4）

  36. （2） 不完全能控，不能控模态为 ； （4） 不完全能控，不能控模态为 ； 解 （1） 完全能控； （3） 完全能控；

  37. 例 （1） （2） （3） （4）

  38. 例

  39. 若对于状态空间中的任意非零初始状态 ，都存在有限时刻 和容许控制 ，使得在 作用下 ，则称系统状态完全能控。 三、离散系统能控性 1、定义 对于线性离散时间系统 2、能控性判据 n维线性定常离散时间系统 状态完全能控的充分必要条件是

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