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第三章 线性控制系统的结构分析

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若系统 的 矩阵具有如下形式:. 则称 为对角线规范型。. 第三章 线性控制系统的结构分析. 3.1 特征值规范型. 一、对角线规范型. 1 、定义. 若 的特征值两两互异,则必存在非奇异线性变换矩阵. 2 、状态空间表达式变换为对角线规范型. 1 )对于线性系统. 使之将原状态空间表达式变换为对角线规范型. 其中.

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slide1

若系统 的 矩阵具有如下形式:

则称 为对角线规范型。

第三章 线性控制系统的结构分析

3.1 特征值规范型

一、对角线规范型

1、定义

slide2

的特征值两两互异,则必存在非奇异线性变换矩阵

2、状态空间表达式变换为对角线规范型

1)对于线性系统

使之将原状态空间表达式变换为对角线规范型

其中

slide3

式中 是矩阵 的特征值,变换矩阵 由 的特征向

量 构造,即

slide4

解: (1)算出矩阵 的特征值

例:已知系统的状态空间表达式

试变换为对角线规范型。

slide8

2)若系统矩阵 具有两两相异的特征值,且具有如下形式

则将系统转换为对角线规范型的变换矩阵可取为

slide9

3)系统矩阵 有重特征值 ,其重数为 ,当所有特征值 的几何重数均等于其代数重数时,则必存在非奇异线性变换矩阵

使之将原状态空间表达式变换为对角线规范型

其中

slide10

例:设系统 矩阵为

解: (1)算出矩阵 的特征值

现考察 的几何重数

试将其化为对角线规范型。

slide13

二、约当规范型

1、定义

1)、约当块

2)、约当型矩阵:由若干个约当块组成的对角分块矩阵。

slide14

若系统 的 矩阵具有如下形式:

则称 为约当规范型。

3)、约当规范型

slide15

若系统矩阵 有重特征值,且几何重数小于其代数重数时,则必存在非奇异线性变换矩阵

2、状态空间表达式变换为约当规范型

使之将原状态空间表达式变换为约当规范型

其中

slide16

3、将 矩阵化为约当型的方法

(1)先讨论变换矩阵 的构造

slide18

例:将已知矩阵 化为约当型

解: (1)算出矩阵 的特征值

slide22

(1)如果对于状态空间中某一非零的有限点 ,可以找到容许控制 ,使得当系统以 为初始状态,即 时,在 作用下,系统在某个有限时刻 ,状态达到坐标原点,即 ,则称 是系统在 上的能控状态。

如果 为状态空间中任意一点,则称系统是状态完全能控的,简称系统是完全能控的。

3.2 状 态 能 控 性

一、状态能控性定义

1、定义

设线性连续定常系统的状态方程是

slide23

(2)如果对于状态空间中某一非零的有限点 ,可以找到容许控制 ,使得当系统由初始状态 出发,在 作用下,系统在某个有限时刻 ,状态达到 ,即 ,则称 是系统在 上的可达状态。

如果 为状态空间中任意一点,则称系统是状态完全可达的,简称系统是完全可达的。

3)所谓容许控制,是指控制信号的各分量均应满足平方可积条件,这一条件只是为了在数学意义上保证状态方程解的存在性及惟一性。实际物理信号由于能量总是有限的,故总满足平方可积条件,所以可以认为实际上该定义对控制信号 无限制。

2)能控(或可达)时间区间 ,是系统状态由规定的初态转移到规定的目标状态所需的时间间隔,是一个有限的时间区间。对于线性定常系统而言,在某一个有限时间区间上是完全能控(可达)的,则任何一个有限时间区间上都是完全能控(可达)的;

2、关于定义的几点说明

1)根据定义,不讨论无穷远点和坐标原点本身的能控性;

slide24

4)能控子空间:全体能控状态组成的集合,记作 ;

5)对连续系统而言,状态能控性和状态可达性是一致的;

6)能控子空间及其正交补空间

slide28

状态完全能控的充要条件是存在 ,使

二、连续系统能控性判据

1、Gram(格拉姆)矩阵

线性定常系统

成为非奇异矩阵。

slide32

2、代数判据

n维线性连续定常系统

状态完全能控的充要条件是

其中

称为能控性判别矩阵。

slide37

(1)摆杆的垂直方向

(2)摆杆的水平方向

(3)小车的水平方向

(4)摆杆的转动方向

slide40

3、特征值判据(PBH判据)

n维线性连续定常系统

状态完全能控的充要条件是对矩阵A的所有特征值 均满足

slide43

(1)由于矩阵 只可能在A的特征值处降秩,因此PBH判据也可以表述为:

状态完全能控等价于对所有 满足

(2)满足 的 所对应的系统模态 是能控的,若 不满足该条件,且 为单重特征值,则 为不能控模态。

4、非奇异变换不改变系统的能控性

slide44

(2)如果系统 可以化为每个相异特征值只有一个约当块的约当规范型,那么其状态完全能控的充分必要条件是:系数矩阵 中与 矩阵每个约当块末行相对应的那些行是非零行。

(1)如果系统 具有两两互异的特征值,那么其状态完全能控的充分必要条件是:系统的对角线规范型中系数矩阵没有全零行。

(3)如果系统 可以化为约当规范型,且存在着多个约当块对应同一个特征值的情况,那么其状态完全能控的充分必要条件是:系数矩阵 中与 矩阵相等特征值的全部约当块末行的那些行之间是线性无关的。

5、特征值判据的几个推论

slide45

例 已知三阶二输入系统的状态方程为

试判别其能控性。

解 首先构造能控性判别矩阵

所以该系统状态不是完全能控。

slide46

(1)

(2)

(3)

(4)

slide47

(2) 不完全能控,不能控模态为 ;

(4) 不完全能控,不能控模态为 ;

(1) 完全能控;

(3) 完全能控;

slide48

(1)

(2)

(3)

(4)

slide50

若对于状态空间中的任意非零初始状态 ,都存在有限时刻 和容许控制 ,使得在 作用下 ,则称系统状态完全能控。

三、离散系统能控性

1、定义

对于线性离散时间系统

2、能控性判据

n维线性定常离散时间系统

状态完全能控的充分必要条件是

slide52

设 为状态空间中的某一非零有限点,将 作为系统的初始状态,即 ,若存在有限时刻 ,使得对任意 , 有 ,则称状态 为系统在 上的不能观状态。

如果状态空间中不存在不能观状态,则称系统是 状态完全能观的,简称系统是完全能观的。

一、状态能观性定义

1、定义

设线性连续定常系统的状态空间模型为

slide53

1)从输出方程可以看出,如果输出量 的维数等于状态 的维数,即 ,并且系数矩阵 是非奇异的,则只需将输出方程两边左乘 ,即得任意时刻 的状态

显然,这不需要观测时间。但是在一般情况下,输出量的维数总是小于状态变量的个数,即 。为了能唯一地求出 个状态变量,必须在不同的时刻测量出若干组输出,因此在能观测定义中需要观测时间 。

2)在定义中之所以把能观性规定为对初始状态的确定,这是因为一旦确定了初始状态,便可根据给定控制输入,利用状态转移方程

确定各个瞬时的状态。

2、关于定义的几点说明

slide56

状态完全能观的充要条件是:存在有限时刻 ,使如下Gram矩阵

二、连续系统能观性判据

1、Gram(格拉姆)矩阵

线性定常系统

成为非奇异矩阵。

slide57

证明: (1)充分性

(2)必要性 采用反证法

slide58

2、代数判据

n维线性连续定常系统

状态完全能观的充要条件是

其中

称为能观性判别矩阵。

slide59

例 已知系统状态方程和输出方程为

试判别该系统的能观性。

slide60

状态完全能观的充要条件是对矩阵A的所有特征值 均满足

3、特征值判据(PBH判据)

n维线性连续定常系统

slide61

(1)由于矩阵 只可能在A的特征值处降秩,因此PBH判据也可以表述为:

状态完全能观等价于对所有 满足

(2)满足上式的 所对应的系统模态 是能观的,若 不满足该条件,且 为单重特征值,则 为不能观模态。

4、非奇异变换不改变系统的能观性

slide62

(1)如果系统 具有两两互异的特征值,那么其状态完全能观的充分必要条件是:系统的对角线规范型中系数矩阵 中没有全零列。

(2)如果系统 可以化为每个相异特征值只有一个约当块的约当规范型,那么其状态完全能控的充分必要条件是:系数矩阵 中与 矩阵每个约当块首列相对应的那些列是非零列。

(3)如果系统 可以化为约当规范型,且存在着多个约当块对应同一个特征值的情况,那么其状态完全能观的充分必要条件是:系数矩阵 中对应 矩阵中相等特征值的全部约当块首列的那些列之间是线性无关的。

5、特征值判据的几个推论

slide63

(1)

(2)

slide65

若对于状态空间中的任意非零初始状态 ,都存在有限时刻 ,且可由 上的输出唯一地确定作用下 ,则称系统是状态完全能观的。

三、离散系统的能观性

1、定义

对于线性定常离散时间系统

slide66

2、能观性判据

n维线性定常离散时间系统

状态完全能观的充分必要条件是

其中

称为能观性判别矩阵

slide67

(1)如果连续时间系统 是不完全能控(不完全能观)的,则其离散化系统 必是不完全能控(不完全能观)的。

(2)如果连续时间系统 是完全能控( 完全能观)的,则其离散化系统 不一定是完全能控(完全能观)的。

(3) 连续时间系统 离散化后的系统 能否保持状态完全能控和完全能观,唯一取决于采样周期 T 的选择。

四、连续时间系统离散化后保持能控性和能观性的条件

解:

slide69

(1)

(2)

连续系统离散化后保持完全能控和完全能观性的采样周期T的选择:

slide70

则称系统和 互为对偶系统

设 和 是互为对偶的两个系统,则 的能控性等价于 的能观性; 的能观性等价于 的能控性。或者说,若 是状态完全能控(完全能观)的,则 是状态完全能观(完全能控)的。

3.4 对 偶 原 理

一、对偶原理

1、对偶系统

对于线性定常系统

如果满足

2、对偶原理

slide71

二、对偶系统的特点

1、对偶系统的特征值是相同的;

2、对偶系统的传递函数矩阵间满足转置关系

slide74

: 能控分量

: 能控子系统

: 不能控分量

: 不能控子系统

slide75

设 是 中 个线性无关的列向量, 是与向

量组 线性无关的 个线性独立的列向量,令

由 ,可知

一、按能控性分解

设系统的状态方程为

slide76

由于矩阵 是矩阵 中的一个子块,故 可以表示成 的线性组合,因此有

当 时, 是 的线性组合,因此

slide78

对 维系统 ,

设 是 中 个线性无关的列向量, 是与向量组

线性无关的 个线性独立的列向量。令

则状态变换 可将系统 化为按能控性分解的规范形式:

(1)子系统 是完全能控的。

(2)子系统 的传递函数等于整个系统的传递函数,即

由上可得到书中系统能控性分解的定理7.9

并且有如下结论:

slide79

例 已知系统系数矩阵

试判断它的能控性,如果不完全能控,找出它的能控子系统。

解: (1)

(2)求出它的能控子系统

slide81

对 维系统 ,设

是 中 个线性无关的行向量, 是与向量组

线性无关的 个线性独立的行向量。令

二、按能观性分解

slide82

则状态变换 可将系统 化为按能观性分解的规范形式:

(1)子系统 是完全能观的。

(2)子系统 的传递函数等于整个系统的传递函数,即

并且有如下结论:

slide84

例 已知系统系数矩阵

试判断它的能观测性,如果不完全能观,则找出它的能观子系统。

解: (1)

(2)求它的能观子系统

slide86

三、按能控性和能观性分解

对于线性定常系统

设系统既不完全能控,也不完全能观,即

slide89

3.6 能控规范型和能观规范型

本节讨论的重点内容:

(1)规范型系数矩阵所具有的特定结构;

(2)如何构造非奇异线性变换矩阵,把系统化为规范型。

一、问题的提出

slide90

二、能控规范型

1、第一能控规范型

若线性连续定常单输入系统

是状态完全能控的,则存在非奇异线性变换

使其状态空间表达式化为

slide91

并称 为第一能控规范型。

式中 是系统特征多项式

中的 是 相乘的结果,即

其中

的各项系数,即系统的不变量。

slide92

首先推证

证明:因为系统是能控的,所以能控性判别矩阵

是非奇异的,令状态变换

其变换后的状态方程和输出方程为

slide95

例 试将下列状态空间表达式

变换成第一能控规范型。

解 首先构造能控性判别矩阵

所以该系统状态 是完全能控的。

slide97

2、第二能控规范型

若线性连续定常单输入系统

是状态完全能控的,则存在非奇异线性变换

使其状态空间表达式化为

slide98

并称 为第二能控规范型。

式中 是系统特征多项式

中的 是 相乘的结果,即

其中

的各项系数,即系统的不变量。

slide99

首先推证

证明:因为系统是能控的,所以能控性判别矩阵

是非奇异的

slide104

例 试将下列状态空间表达式

变换成第二能控规范型。

解 首先构造能控性判别矩阵

所以该系统状态是完全能控的。

slide106

三、能观规范型

1、第一能观规范型

若线性连续定常单输出系统

是状态完全能观的,则存在非奇异线性变换

使其状态空间表达式化为

slide107

并称 为第一能观规范型。

式中 是系统特征多项式

其中

的各项系数,即系统的不变量。

slide108

2、第二能观规范型

若线性连续定常单输出系统

是状态完全能观的,则存在非奇异线性变换

使其状态空间表达式化为

slide109

并称 为第二能观规范型。

式中 是系统特征多项式

中的 是 相乘的结果,即

其中

的各项系数,即系统的不变量。

slide111

例 试将下列状态空间表达式

变换成第二能观规范型。

解 首先构造能观性判别矩阵

所以该系统状态是完全能观的。