ตรรกศาสตร์

1. ตรรกศาสตร์ ตอนที่ 3

2. ตารางค่าความจริงของประโยค P Q

3. ตารางค่าความจริงของประโยค ~Q ~P

4. จะเห็นว่า P Q กับ ~Q ~P มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณีเราจะกล่าวได้ว่า P Q สมมูล(equivalent) กับ ~Q ~P เพราะฉะนั้นเราสรุปได้ว่า ประโยคสมมูล (Equivalent Sentences) คือ การที่ประโยค สองประโยคมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี ถือว่าประโยคทั้งสองมีความหมายเหมือนกัน เช่น

5. เช่น ~ (~P) สมมูลกับ P P Q สมมูลกับ ~PvQ P Q สมมูลกับ (P Q)^(Q P)

6. ตารางค่าความจริงของ ~(~P) และ P

7. ตารางค่าความจริงของ P Q และ ~PvQ

8. ตารางค่าความจริงของ P Q และ (P Q)^(Q P)

9. สัจนิรันดร์(Tautology) และ ประโยคขัดแย้ง(Contradiction) ประโยคเชิงประกอบที่มีค่าความจริงเป็น T เสมอ ไม่ว่าค่าความจริงของประโยคย่อยแต่ละประโยคจะเป็น T หรือ F ก็ตามเรียกว่า สัจนิรันดร์ (Tautology) และประโยคเชิงประกอบที่มีค่าความจริงเป็น F เสมอไม่ว่าค่าความจริงของประโยคย่อยแต่ละประโยคจะเป็น T หรือ F ก็ตามเรียกว่า ประโยคขัดแย้ง (Contradiction)

10. ตารางค่าความจริงของ Pv~P เรียกว่า ประโยค Pv~P เป็นสัจนิรันดร์(Tautology)

11. ตารางค่าความจริงของ P^~P เรียกว่า ประโยค P^~P เป็น ประโยคขัดแย้ง (Contradiction)

13. การทดสอบความสมเหตุผล(Testing Validity) การอ้างเหตุผลใดๆ เริ่มจาก เหตุหรือข้อกำหนด(Primise) ซึ่งอาจจะมีหลายๆ ข้อได้ ดังนั้นการให้เหตุผลจึงเขียนเป็นประโยคเงื่อนไขของประโยคเชิงประกอบได้เป็น P1^P2^…. Q โดยที่ P1^P2… คือเหตุหรือข้อกำหนด และ Q คือผล หรือ ข้อสรุป

14. รูปแบบทั่วไปของการอ้างเหตุผล คือ เหตุ: P1 P2 . . ผล: Q

15. การทดสอบโดยการพิจารณาค่าความจริงการทดสอบโดยการพิจารณาค่าความจริง การที่ประโยค P1^P2… Q เป็น สัจนิรันดร์ (เป็นจริงทุกกรณี) จะถือว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผล (Valid) แต่ถ้าประโยค P1^P2… Q ไม่เป็นสัจนิรันดร์(มีบ้างกรณีเป็นเท็จ) ก็จะถือ ว่าการอ้างเหตุผลนั้น ไม่สมเหตุสมผล(Invalid) เช่น ตัวอย่างเช่น ประโยค P Q และ P เป็นเงื่อนไขของ Q

16. ตารางค่าความจริงของ ((P Q)^P) Q

17. เราสามารถเขียนอยู่ในรูปแบบทั่วไปได้คือเราสามารถเขียนอยู่ในรูปแบบทั่วไปได้คือ P Q P Q ตัวอย่าง ถ้าเด็กหญิงปรางดื่มน้ำแล้ว เด็กชายขงเบ้งจะดื่มนม เด็กหญิงปรางดื่มน้ำ เพราะฉะนั้น เด็กชายขงเบ้งจะดื่มนม

18. ในการทดสอบว่าประโยค P1^P2… Q เป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่นั้นปกติเราจะใช้วิธีวิธีทำตาราง ตรวจสอบทุกกรณี ความจริงเราเลือกพิจารณาเฉพาะกรณีที่ เหตุ เป็น T ก็เพียงพอแล้ว โดยยึดหลักว่า หาก ผล เป็น T เท่านั้น แสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์สมเหตุสมผล หาก ผล เป็น F แสดงว่า ไม่เป็นสัจนิรันดร์ไม่สมเหตุสมผล

19. ตัวอย่าง จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการให้เหตุผลต่อไปนี้ สมบูรณ์ไปว่ายน้ำเฉพาะหน้าร้อนเท่านั้น และเมื่อไรก็ตามที่พิสมัยพักในเมืองสมบูรณ์จะไปว่ายน้ำ แต่ขณะนี้ไม่ใช่หน้าร้อน ดังนั้นขณะนี้พิสมัย ไม่ได้พักในเมือง ถ้า A แทน สมบูรณ์ไปว่ายน้ำ B แทน ขณะนี้เป็นหน้าร้อน C แทน พิศมัยอยู่ในเมือง สามารถเขียนรูปแบบสัญลักษณ์ได้เป็น ((AB)^(CA)^~B)~C

20. เราสามารถเขียน รูปแบบทั่วไป ของการอ้างเหตุผลคือ AB CA ~B เพราะฉะนั้น ~C FF (จริง) FF (จริง) T (จริง) T (จริง) ซึ่งจะพบว่า ผล ~C เป็น T เท่านั้น แสดงว่าการอ้างเหตุผลข้างต้นนี้สมเหตุสมผล

21. ตัวอย่าง จงเขียนการให้เหตุผลในรูปประโยคสัญลักษณ์ และทดสอบความสมเหตุสมผล ถ้าสมบัติเรียนหนักแสดงว่าจะมีการสอบ และถ้าสมบัติเรียนหนัก เขาจะไม่นอน ตอนนี้กำลังจะมีการสอบ ดังนั้น สมบัติจะไม่นอน ถ้า A แทน สมบัติเรียนหนัก B แทน จะมีการสอบ C แทน สมบัติไม่นอน สามารถเขียนรูปแบบสัญลักษณ์ได้เป็น ((AB)^(AC)^B)C

22. เราสามารถเขียน รูปแบบทั่วไป ของการอ้างเหตุผลคือ AB AC B เพราะฉะนั้น C FT (จริง) FF (จริง) T (จริง) F (เท็จ) ซึ่งจะพบว่า ผล C เป็น F ได้ แสดงว่าการอ้างเหตุผลข้างต้นนี้ไม่สมเหตุสมผล

23. F~(TT) (จริง) (T^T)T (จริง) ตัวอย่าง จงพิสูจน์ข้อโต้งแย้งต่อไปนี้ A~(BC) (D^B)C D เพราะฉะนั้น ~A T (จริง) ~F (จริง) ซึ่งจะพบว่า ผล ~A เป็น T เท่านั้น แสดงว่าการอ้างเหตุผลข้างต้นนี้สมเหตุสมผล

24. การทดสอบโดย กฎการอ้างอิง (Rule of Inference) โดยเราอ้างอิงจากประโยคที่เป็นสัจนิรันดร์ อยู่แล้ว โดยเมื่อเขียนอยู่ในรูปแบบการอ้างเหตุผล ก็จะเป็นรูปแบบของการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล ดังนั้นอาจกล่าวได้ว่า สัจนิรันดร์เป็นกฎการอ้างอิง สำหรับการอ้างเหตุผลนั่นเอง เช่น

25. 1. กฎ Simplification (P^Q) P P^Q เพราะฉะนั้น P 2. กฎ Addition P P^Q P เพราะฉะนั้น P^Q

26. 3. กฎ Modus Ponens (PQ)^P Q PQ P เพราะฉะนั้น Q 4. กฎ Modus Tollens (PQ)^~Q ~P PQ ~Q เพราะฉะนั้น ~P

27. ตัวอย่าง จงพิสูจน์การอ้างเหตุผลต่อไปนี้ aq bq เพราะฉะนั้น (avb)q

28. พิสูจน์ 1. aq เหตุ 2. bq เหตุ 3. ~avq 1,Switcheroo 4. ~bvq 2,Switcheroo 5. (~avq)^(~bvq) 3,4, ประโยครวม 6. (~a^~b)vq 5,Distributive Law 7. ~(avb)vq 6,De morgan 8. (avb)q 7,Switcheroo

29. ~(~PvQ) ( Pv~Q)