디지털통신 시스템 설계

1. 디지털통신 시스템 설계 최대가능도(ML) 수신기

2. 최대가능도(ML)수신기 지난시간회상 학습에 앞서 1. 다음은 기저대역 검파시스템의 블록도입니다. (a)와 (b)에 들어갈 내용으로 바른 것은 어느것입니다.? (1) (a) 임계검파기 (b) 상관기 (2) (a) 선형여파기 (b) 임계검파기 (3) (a) 임계검파기 (b) 선형여파기 (2) (a) 선형여파기 (b) 상관기 정답 : (2) 2. 전송되는 심볼 파형이 주어지는 경우 표본화기 출력에서 신호대잡음비(SNR)가 최대가 되도록 설계된 여파기를 무엇이라고 부를까요? (1) 저역여파기 (2) 대역통과여파기 (3) 정합여파기 (4) 고역통과여파기 정답 : (3)

3. 최대가능도(ML)수신기 학습목표 학습에 앞서 • 전 회차에서는 기저대역신호를 부가백색가우시안 잡음(AWGN) 채널을 통해 송신하였을 때 잡음이 더해진 수신 신호로부터 송신 신호를 판정하는 검파시스템 및 검파 원리에 대하여 학습하였다. 본 회차에서는 2진 전송시스템의 최대가능도 수신기 구조 및 수신기의 비트에러 성능에 대하여 학습한다. 또한 양극 NRZ 신호의전송과 검파를 수행하는 시뮬링크블럭을 구성하고 시간 영역 및 주파수 영역에서 신호를 관찰하고 비트에러성능을 측정하여 본다. • 2진 전송시스템의 최대가능도(ML)수신기 • 수신기의 비트에러 성능 • 학습목표 • 최대가능도기준을 이해한다. • 최대사후확률기준 및 최소에러확률기준을 이해한다. • 최대가능도 검파기(수신기)의 원리를 이해한다. • 2진 전송시스템에서 에러가 발생하는 두 가지 경우를 이해한다. • 최적의 비트오류확률을 제공하는 최적의 여파기를 이해한다. • 비트에러확률의 일반적 표현 방법에 대하여 이해한다.

4. 최대가능도(ML)수신기 사전테스트 1. 디지털통신 시스템에서 송신전력 또는 비트에너지를 증가시키면 비트에러확률은 높아진다. 정답 : X 송신전력 또는 비트에너지를 증가시키면 비트에러확률은 낮아지게 됩니다.

5. 최대가능도(ML)수신기 2진 전송시스템의 최대가능도(ML)수신기 Lesson1.2진 전송시스템의 최대가능도(ML)수신기 • 결정이론 • 최대가능도(ML : Maximum Likelihood) 기준 • 최대사후(MAP : Maximum a Posteriori) 확률기준 또는최소에러확률(Minimum probability of error) 기준 • 최대가능도(ML)수신기의 구조

6. 1. 결정이론 최대가능도(ML)수신기 Lesson1. 2진 전송시스템의 최대가능도(ML)수신기 • 가설(hypothesis) : 가능한 조건의 설명 • 2진 전송 시스템인 경우 2개의 가능한 가설은 “0” 또는 “1”의 전송, 즉 여기에서 H0과 H1는 2개의 가능한 가설을나타내며 가설 H0는 신호 s0(t) 의 전송을 의미하며 H1은 신호 s1(t)의 전송을 의미 • 수신신호 • 수신기는 r을 기반으로 H0가 전송되었는지 H1이 전송되었는지 결정해야 한다. 즉, s0(t) 인지 s1(t) 인지를 결정해야 한다. 이를 결정하는 시험법이 결정이론이며 결정을 내리는 데에는 여러 가지 기준(criterion)이 존재

7. 2. 최대가능도(ML : Maximum Likelihood) 기준 최대가능도(ML)수신기 Lesson1. 2진 전송시스템의 최대가능도(ML)수신기 H0이 전송되었다는 가정하에 r이 수신되는 조건부 확률밀도 또는 가능도 함수 • 최대가능도(ML : Maximum Likelihood) 기준 : • 전송 가능한 각 신호 s0(t) 또는 s1(t) 가 전송되었을 때 수신된 신호 r의 조건부 확률밀도 또는 가능도(likelihood) 함수라 불리는 와 을 사용하여 H0인지 H1인지를 결정 • 만약 H1이 전송되었다는 가정하에 r이 수신되는 조건부 확률밀도 또는 가능도 함수 이면 H1 을 선택 이면 H0 을 선택 확률적으로 큰 신호를 선택한다는 의미 • 즉, 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. 왼쪽 항을 가능도비(likelihood ratio)라 부르며 1과 비교하여 H0또는 H1을 판정

8. 2. 최대가능도(ML : Maximum Likelihood) 기준 최대가능도(ML)수신기 Lesson1. 2진 전송시스템의 최대가능도(ML)수신기 [예제]다음과 같은 2개의 조건부 확률밀도 또는 가능도 함수에 대한 ML 검파기를 설계하라. 최대가능도 기준은 아래와 같이 확률적으로 큰 신호를 선택하는 것 이므로 이면 H1을 선택 이면 H0을 선택 • |r|<1/2 이면 s1(t) 또는 H1을 선택 • |r|>1/2 이거나 r=0 이면 s0(t) 또는 H0를 선택

9. 3. 최대사후(MAP : Maximum a Posteriori) 확률기준 또는최소에러확률(Minimum probability of error) 기준 최대가능도(ML)수신기 Lesson1. 2진 전송시스템의 최대가능도(ML)수신기 • P(H0), P(H1) : 2개의 가설에대한 사전확률 • 사후확률 : 수신된 신호에 근거를 둔 2개의 조건확률 : r이 수신되었는데 H0가 전송되었을 확률 : r이 수신되었는데 H1 이 전송되었을 확률 • 사후확률이 큰 가설을 선택하면, 즉 이면 H1 을 선택 이면 H0 을 선택 • 결합하여 다시 쓰면  사후확률이 큰 가설을 선택하므로 이를 최대사후확률(MAP: maximum a posteriori probability) 기준 또는 최소에러확률(minimum probability of error) 기준이라 부른다.

10. 3. 최대사후(MAP : Maximum a Posteriori) 확률기준 또는최소에러확률(Minimum probability of error) 기준 최대가능도(ML)수신기 Lesson1. 2진 전송시스템의 최대가능도(ML)수신기 • 사후확률을 수신된 신호 r에 대한 조건부 확률밀도 또는 가능도함수로 표현하기 위하여 베이즈(Bayes) 정리를적용하면 • 위 식을 사후확률 비 식에 적용하면 왼쪽 항의 가능도비(likelihood ratio)가 사전확률비와 비교하여 크면 H1를 선택하고 작으면 H0을 선택  가능도함수로 표현된 최대사후확률(MAP: maximum a posteriori probability) 기준 또는 최소에러확률(minimum probability of error) 기준 • 2개의 사전확률이 동일한 사전확률을 갖는 다면, 즉 P(H0)=1/2, P(H1)=1/2 이면 최대사후확률기준 또는 최소에러확률기준은 최대가능도기준이 됨.

11. 4. 최대가능도(ML)수신기의 구조 최대가능도(ML)수신기 Lesson1. 최대가능도(ML)수신기 • 2진 전송시스템에서 비트에러확률을 최소화하는 수신기의 구조를 생각해보자. - 최소 비트에러를 얻는 임계 값(threshold) h와 그 때의 비트에러확률 값 - 여파기의 임펄스 응답 • 2진 전송 시스템의 2개의 가능한 가설 • H1 : 이진“1”을 전송 : S1(t) 전송 • H2 : 이진“0”을 전송 : S2(t) 전송

12. 4. 최대가능도(ML)수신기의 구조 최대가능도(ML)수신기 Lesson1. 2진 전송시스템의 최대가능도(ML)수신기 • 2진 신호 결정에 있어서 임계값h 를 결정하는 대중적인 기준은 에러확률을 최소로 하는 것 • 즉, 최소에러확률 기준 : 신호 Si의 가능도 함수 P(S1), P(S2) : 신호 S1(t)와 S2(t)가 전송될 사전확률 - 사전확률이 동일 P(S1)=P(S2) 하고, 가능도함수 가 대칭이라면 a1: S1(t) 가 전송되었을 때 Z(T)의 신호성분 a2: S2(t) 가 전송되었을 때 Z(T)의 신호성분 - 동일한 확률을 갖는 신호에 있어서 최적의 임계값 h0 는 중간값즉, 가능도함수들의 교차점을 통과

13. 4. 최대가능도(ML)수신기의 구조 최대가능도(ML)수신기 Lesson1. 2진 전송시스템의 최대가능도(ML)수신기 - 수신 신호가 Za(T)라고 가정하면다음의방법으로 전송신호를 결정 • 수신 신호가 Za(T)가 임계값 (a1+a2)/2 보다크기 때문에 S1(t)를 선택, 즉 H1를 결정 • fZ(za/s1) =P1이며 fZ(za/s2) =P2 이다. 이때 S1(t)에 대한 가능도 값 P1 이 S2(t)에 대한 가능도 값 P2 보다 크기 때문에 수신기는 S1(t)를 선택, 즉 H1를 결정 최대가능도(maximum likelihood) 검파기(수신기): 신호들이 동일한 확률을 갖는 경우 에러확률을 최소로 하는 검파기(수신기)

14. 돌발퀴즈 최대가능도(ML)수신기 돌발퀴즈 • 2진 전송시스템에서 최대사후확률기준 또는 최소에러확률기준이 최대가능도기준이 되기 위한 두 개의 가설에 대한 사전확률 값은 다음 중 어느 것 일까요? (1) P(H0)=1/3, P(H1)=2/3 (2) P(H0)=1, P(H1)=0 (3) P(H0)=1/2, P(H1)=1/2 (4) P(H0)=2/3, P(H1)=1/3 정답 : 1) (3) : 2개의 사전확률이 동일한 사전확률을 갖을 때, 즉 P(H0)=1/2, P(H1)=1/2 이면 최대사후확률기준 또는 최소에러확률기준은 최대가능도기준이 된다.

15. 최대가능도(ML)수신기 수신기의 비트에러 성능 Lesson2.수신기의 비트에러 성능 • 에러확률 • 여파기구조 • 단극 NRZ 전송신호의 에러확률 • 양극 NRZ 전송신호의 에러확률 • 단극 NRZ 전송신호및 양극 NRZ 전송신호의 에러확률 비교

16. 1. 에러확률 최대가능도(ML)수신기 Lesson2. 수신기의 비트에러 성능 - 2진 전송의 경우, 에러가 발생할 수 있는 두 가지 경우 1) S1(t) 전송되었을 때 잡음에 의해 수신기 출력 Z(T)가 h0보다 작다면 에러 e가 발생 2) S2(t) 전송되었을 때 잡음에 의해 수신기 출력 Z(T)가 h0보다 클때 에러 e가 발생 - 비트에러확률 P(e)

17. 1. 에러확률 최대가능도(ML)수신기 Lesson2. 수신기의 비트에러 성능 • 사전발생 확률이 동일 : P(S1)=P(S2)=1/2 • 확률밀도 함수 (가능도함수)가 대칭 : P(H2/s1) =P(H1/s2) - 비트에러확률 P(e) 여기에서 h0= (a1+a2)/2 는 최적의 임계값 여기에서 은 상관기 출력에서의 잡음의 분산 - 으로 변수 변환하면 이고 보수오차함수 erfc(x)를 이용하면 - 최적의 비트에러확률 P(e) 보수오차함수 erfc(x)의 정의식

18. 2. 여파기구조 최대가능도(ML)수신기 Lesson2. 수신기의 비트에러 성능 • 최적의 비트오류확률을 제공하는 최적의 여파기 - 보수오차함수 erfc(x)는 x에따라 감소하는 함수이므로 비트오류확률을 최소로 하기 위해서는 최적의 비트오류확률의 인수 의 값을 최대화하여야 한다. 또는 아래의 식을 최대화 • 여기에서 (a1-a2)는 t=T 순간의 여파기 출력에서 신호성분 간의 차이며 위 식은 차신호에 대한 신호대잡음비(SNR)을 최대로 하는 것과 동일하며, S1(t)에 정합된 여파기와 S2(t)에정합된 여파기 출력의 차와 동일 • 즉, 이 신호대잡음비(SNR)를 최대로 하는 최적의 여파기는 차신호 Sd(t)=S1(t)-S2(t) 에정합된 접합여파기로 구현 - 그때의 최대 SNR 여기에서 Ed : 차 신호의 에너지 - 최적의 비트에러확률 P(e)

19. 3. 단극 NRZ 전송신호의 에러확률 최대가능도(ML)수신기 Lesson2. 수신기의 비트에러 성능 • 단극 NRZ 기저대역 신호 전송 • 단극 NRZ 신호에 부가백색가우시안잡음이 더해진 신호가 정합여파기에 입력 • 상관기는 입력신호 r(t)에 차신호 Sd(t)=S1(t)-S2(t)=A를 곱하고, 적분한 후 심볼지속시간 Tb에서 표본 한 후 표본 값 Z(T)를최적의 임계값 h0와 비교

20. 3. 단극 NRZ 전송신호의 에러확률 최대가능도(ML)수신기 Lesson2. 수신기의 비트에러 성능 • Z(T)의 신호성분 • 최적의 임계값 h0 - 상관기 출력 Z(T)가 임계값 h0보다 크다면 신호 s1(t) 또는 H1을 결정하며 그렇지 않으면 s2(t) 또는 H2로 결정 • 차 신호의 에너지 • 비트에러확률 - 2개의 신호에 대한 평균비트에너지

21. 4. 양극 NRZ 전송신호의 에러확률 최대가능도(ML)수신기 Lesson2. 수신기의 비트에러 성능 • 양극 NRZ 기저대역 신호 전송 • 양극 NRZ 신호에 부가백색가우시안잡음이 더해진 신호가 정합여파기에 입력 • 수신기 구조 1 : 위 쪽 상관기는 수신신호 r(t)에 전송 가능한 신호 S1(t)를 곱하고 적분하며, 아래 쪽 상관기는 S2(t)=-A 에 를 곱하고 적분한다. Z(T)는 상관기 출력의 차 즉, Z(T)=Z1(T)-Z2(T)로 얻어지며 최적의 임계값 h0와 비교

22. 4. 양극 NRZ 전송신호의 에러확률 최대가능도(ML)수신기 Lesson2. 수신기의 비트에러 성능 • 수신기 구조 2 :상관기는 입력신호 r(t)에 차신호 Sd(t)=S1(t)-S2(t)=2A를 곱하고, 적분한 후 심볼지속시간 Tb에서 표본 한 후 표본 값 Z(T)를최적의 임계값 h0와 비교 • Z(T)의 신호성분 • 최적의 임계값 h0 - 상관기 출력 Z(T)가 임계값 h0=0 보다 크다면 신호 s1(t) 또는 H1을 결정하며 그렇지 않으면 s2(t) 또는 H2로 결정

23. 4. 양극 NRZ 전송신호의 에러확률 최대가능도(ML)수신기 Lesson2. 수신기의 비트에러 성능 • 차 신호의 에너지 • 비트에러확률 - 2개의 신호에 대한 평균비트에너지

24. 5. 단극 NRZ 전송신호및 양극 NRZ 전송신호의 에러확률 비교 최대가능도(ML)수신기 Lesson2. 수신기의 비트에러 성능 • 단극 NRZ 전송신호의 비트에러확률 • 양극 NRZ 전송신호의 비트에러확률 • 양극신호의 경우가 단극신호에 비해 3dB 비트에러성능이 향상. 이 차이는 두 보수오차함수 erfc(x) • 의 인수가 1/2배 차이가 남에 의해 발생

25. 5. 단극 NRZ 전송신호및 양극 NRZ 전송신호의 에러확률 비교 최대가능도(ML)수신기 Lesson2. 수신기의 비트에러 성능 • 일반적으로 비트에러확률은 보수오차함수인 erfc(x) 함수로 표현되며 인수 x에따라 감소하는 함수 • 인수 x는 Eb/No항으로표현, 여기에서 Eb는 평균비트에너지를 의미하며 No는 잡음의 전력스펙트럼밀도를 나타냄 • 비트에러확률은 비트에너지와 잡음전력에 의해 결정되므로 비트에러확률을 감소시키기 위해서는 비트에너지를 증가시키거나 잡음전력을 감소시켜야 함.

26. 돌발퀴즈 최대가능도(ML)수신기 돌발퀴즈 • 일반적으로 비트에러확률은 보수오차함수인 erfc(x) 함수로 표현되며 이 함수는 인수 x에따라 ( (a) )하는 함수이다. (a)에들어갈 내용으로 적합한 것은 무엇일까요? (1) 증가 (2) 감소 • 2) 보수오차함수인 erfc(x) 의 인수 x는 Eb/No 항으로표현된다. 이 비트에러확률을 감소시키기 위해서는 비트에너지를 ( (a) )시키거나 잡음전력을 ( (b) )시켜야 한다. (a)와 (b)에들어갈 내용으로 적합한 것은 무엇일까요? • (1) 증가증가 (2) 증가 감소 (3) 감소 증가 (4) 감소 감소 정답 : 1) (2) 2) (2)

27. 학습정리 최대가능도(ML)수신기 학습정리 • 최대가능도 기준은 확률적으로 큰 신호를 선택하는 것으로 가능도비를 1과 비교하여 H0또는 H1을 판정한다. • 최대사후확률(MAP: maximum a posteriori probability) 기준 또는 최소에러확률(minimum probability of error) 기준에서는 가능도비를 사전확률 비와 비교 H0또는 H1을 판정한다. 2개의 사전확률이 동일한 사전확률을 갖는 다면 최대사후확률기준 또는 최소에러확률기준은 최대가능도기준이 된다. • 최대가능도 검파기(수신기)에서 최소 비트에러를 얻는 임계 값(threshold) h0는 신호성분들의 중간 값 이다. 즉, 가능도함수들의 교차점을 통과한다. • 2진 전송의 경우, 에러가 발생할 수 있는 두 가지 경우는 첫 째로 S1(t)가 전송되었을 때 잡음에 의해 수신기 출력 Z(T)가 h0 보다 작다면 에러 e가 발생되며 둘 째로 S2(t)가 전송되었을 때 잡음에 의해 수신기 출력 Z(T)가 h0보다 클때 에러 e가 발생된다. • 2진 전송시스템의 최적의 여파기는 차신호 Sd(t)=S1(t)-S2(t) 에 정합된 접합여파기로 구현된다. • 일반적으로 비트에러확률은 보수오차함수인 erfc(x) 함수로 표현되며 인수 x에 따라 감소하는 함수이고 인수 x는 Eb/No항으로표현된다. 여기에서 Eb는 평균비트에너지를 의미하며 No는 잡음의 전력스펙트럼밀도를 나타낸다. 이러한 비트에러확률을 감소시키기 위해서는 비트에너지를 증가시키거나 잡음전력을 감소시켜야 한다.

28. 최대가능도(ML)수신기 실습하기 실습하기

29. 실습하기 실습하기 29

30. 최대가능도(ML)수신기 적용하기 • 구성된 시뮬링크 블록도 • 시간영역 신호 파형 • 주파수영역 신호

31. 최대가능도(ML)수신기 학습평가 아래와 같은 단극 NRZ 기저대역전송 부호가 양측 전력스펙트럼밀도 Sn(f)=No/2 [Watts/Hz]인 부가백색가우시안 잡음채널을 통해 전송되며 수신된 신호는 아래와 같은 기저대역 신호 검파기를 통해 검파된다고 하자. 상관기 출력에서 조건부 확률밀도 또는 가능도 함수가 다음과 같다고 할 때 신호 성분 값 a1과 a2를 구하시오.

32. 최대가능도(ML)수신기 학습평가 [풀이] a1과 a2값은 신호성분에 해당하므로 잡음을 무시하고 계산할 수 있다. s1(t)가 전송되었다는 가정하에 Z 값이 a1값이므로 a1값은 다음과 같다. 또한 s2(t)가 전송되었다는 가정하에 Z 값이 a2값이므로 a2값은 다음과 같다.

33. 최대가능도(ML)수신기 학습마무리 • 이번 회차에서는 • 최대가능도(ML) 수신기 • 2진전송시스템의최대가능도(ML) 수신기 • 수신기의 비트에러 성능 • 다음 회차에서는 • 디지털 변복조 시스템 • 디지털 변복조 시스템의 개요 • 신호공간 • 관련사이트 및 참고문헌 • 시뮬링크를 이용한 디지털통신시스템설계, 김한종, 미래컴출판사 • 아날로그와 디지탈통신, 진년강, 청문각출판사 • 디지털통신(기초와응용), 이문호, 영일출판사 • 아날로그 및 디지털 통신이론, 김명진, 생능출판사