第一章直线和平面

第一章直线和平面 三垂线定理惠东高级中学王凤飞

A =∠AOB  =∠DOB  =∠AOD M B O E D AE⊥OD ？这是偶然的巧合，还是必然？ cos·cos=cos P a O A  PO⊥ a ？

P a O A  三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。已知 PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a ，a⊥AO。求证： a⊥PO

P a O A  证明： PA⊥ a  PA ⊥a AO⊥a a⊥平面PAO a⊥PO PO平面PAO

P PA⊥ a  PA ⊥a AO⊥a a O a⊥平面PAO a⊥PO 证明： A  PO平面PAO 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。

P A B C M O 例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ，AC ⊥ BC，求证： PC ⊥ BC 证明：∵ P 是平面ABC 外一点 PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影 ∵BC平面ABC且AC ⊥ BC ∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC

P C A P D1 C1 M A1 A B1 B D D O C B C A B 例2 直接利用三垂线定理证明下列各题： (1)PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AM (3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1 (2) (1) (3)

P A D 同理，AC⊥BD AO是PO在ABCD上的射影 O  PC⊥BD B C (1)PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BD ∵ABCD为正方形 O为BD的中点证明: ∴ AO⊥BD  PO⊥BD 又AO是PO在ABCD上的射影

P C A M B (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC， M是BC的中点，求证：BC⊥AM ∵ PB=PC M是BC的中点证明:  PM⊥BC  BC⊥AM ∵PA⊥平面PBC ∴PM是AM在平面PBC上的射影

D1 C1 A1 B1 D C A C1 B A1 B1 C B (3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1， A1C⊥B1D1 ∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C ∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影证明： D1 由三垂线定理知 A1C⊥BC1 D 同理可证，A1C⊥B1D1 A

a A O α P P C1 B1 A1 C C A M B B 我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件，怎么找？ P 解题回顾 a A O α

P a A O α 三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？解题回顾一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件

P a O A α e d c 使用三垂线定理还应注意些什么？三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：解题回顾 b ①相交直线 ②异面直线

P b a O A α 例如：当 b⊥ 时， b⊥OA 注意：如果将定理中 “在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？解题回顾但b不垂直于OP 直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。

练习： 判断下列命题的真假： D1 C1 ⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于 a在平面α内的射影，则 a⊥b （） A1 B1 ⑵若 a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （） D C ⑶若a是平面α的斜线，直线b α 且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b （） A B ⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （） × × × 面ABCD →面α 面B1BCC1→面β 直线A1C →斜线 a 直线AB →垂线 b 面ABCD →面α 直线A1C →斜线 a 直线B1B →垂线 b 面ABCD →面α 直线A1C →斜线 a 直线B1B →垂线 b √

P a A O α ⑷若PO是平面α的斜线,l∥a,直线a垂直于PO在平面α内的射影，则 l⊥PO 已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO 是PO在平面 的射影， a  , a ⊥AO， l 平行于 a。求证： l 垂直于PO l

P P P a a A O A O a A O α α α 三垂线定理包含几种垂直关系？ ①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直直线和平面垂直

P P a A O α a A O α 三垂线定理的逆定理？线斜垂直线射垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直

P a A O α 三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影,a   ,a ⊥PO 求证：a⊥AO

定理 线射垂直线斜垂直逆定理线射垂直线斜垂直三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。逆定理定理三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。

E B O A  C F 例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC， PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO P 分析：要证 ∠BAO=∠CAO 只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC ? ? ? 证明： ∵ PO ⊥ ∴OE、OF是PE、PF在内的射影结论成立 ∵ PE=PF ∴ OE=OF  由OE是PE的射影且PE⊥AB OE⊥AB 同理可得OF⊥AC

A B D C 例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC 证明：作AO⊥平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。 ∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心， O ∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.

D1 C1 A1 B1 G E D C A B F 练习与作业 1. 在正方体AC1中，E、G分别是AA1和 CC1的中点， F在AB上，且C1E⊥EF，则EF与GD所成的角的大小为（） (A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90° D EB1是EC1在平面AB1 内的射影 EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF⊥DG M

P A H B C1 B1 C D1 A1 C B D A 2.已知 PA、PB、PC两两垂直，求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。 3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：AC1⊥平面BA1D

4. 如图,在空间四边形PABC中,PA⊥平面BAC, AC⊥BC, 若AE⊥PB, AF⊥PC 求证: EF⊥PB P E F A B C

A M a B b 5. 已知异面直线a,b所成的角为60 ,AB⊥a , AB⊥b , A∈a , B∈b , M∈a且AB=4 ,AM=8求:M到b的距离 ° N G

P D C A B 6.如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,且AB=3 , AD=4 , PA= 求: P点到BC、 CD、 BD的距离 E

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