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第一章 直线和平面

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第一章 直线和平面. 三垂线定理. 惠东高级中学 王凤飞. A.  =∠AOB.  =∠DOB.  =∠AOD. M. B. O. E. D. AE ⊥ OD. ?. 这是偶然的巧合,还是必然?. cos ·cos=cos. P. a. O. A. . PO ⊥ a. ?. P. a. O. A. . 三垂线定理. 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

第一章 直线和平面

三垂线定理

惠东高级中学 王凤飞

slide2

A

=∠AOB

 =∠DOB

 =∠AOD

M

B

O

E

D

AE⊥OD

这是偶然的巧合,还是必然?

cos·cos=cos

P

a

O

A

PO⊥ a

slide3

P

a

O

A

三垂线定理

在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条

斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。

已知 PA、PO分别是平面的垂线、斜线,AO是PO在平面上的射影。a ,a⊥AO。

求证: a⊥PO

slide4

P

a

O

A

证明:

PA⊥

a 

PA ⊥a

AO⊥a

a⊥平面PAO

a⊥PO

PO平面PAO

slide5

P

PA⊥

a 

PA ⊥a

AO⊥a

a

O

a⊥平面PAO

a⊥PO

证明:

A

PO平面PAO

三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。

slide6

P

A

B

C

M

O

例1 已知P 是平面ABC 外一点, PA⊥平面ABC ,AC ⊥ BC,求证: PC ⊥ BC

证明:∵ P 是平面ABC 外一点

PA⊥平面ABC

∴PC是平面ABC的斜线

∴AC是PC在平面ABC上的射影

∵BC平面ABC且AC ⊥ BC

∴由三垂线定理得

PC ⊥ BC

slide7

P

C

A

P

D1

C1

M

A1

A

B1

B

D

D

O

C

B

C

A

B

例2 直接利用三垂线定理证明下列各题:

(1)PA⊥正方形ABCD所在平面,O为对角线BD的中点

求证:PO⊥BD,PC⊥BD

(2) 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,M是BC的中点,

求证:BC⊥AM

(3) 在正方体AC1中,求证:A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1

(2)

(1)

(3)

slide8

P

A

D

同理,AC⊥BD

AO是PO在ABCD上的射影

O



PC⊥BD

B

C

(1)PA⊥正方形ABCD所在平

面,O为对角线BD的中点,

求证:PO⊥BD,PC⊥BD

∵ABCD为正方形

O为BD的中点

证明:

∴ AO⊥BD



PO⊥BD

又AO是PO在ABCD上的射影

slide9

P

C

A

M

B

(2) 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,

M是BC的中点,

求证:BC⊥AM

∵ PB=PC

M是BC的中点

证明:



PM⊥BC



BC⊥AM

∵PA⊥平面PBC

∴PM是AM在平面PBC上的射影

slide10

D1

C1

A1

B1

D

C

A

C1

B

A1

B1

C

B

(3) 在正方体AC1中,

求证:A1C⊥BC1, A1C⊥B1D1

∵在正方体AC1中

A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C

∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影

证明:

D1

由三垂线定理知

A1C⊥BC1

D

同理可证,A1C⊥B1D1

A

slide11

a

A

O

α

P

P

C1

B1

A1

C

C

A

M

B

B

我们要学会从纷繁的已知条件中找出

或者创造出符合三垂线定理的条件

,怎么找?

P

解题回顾

a

A

O

α

slide12

P

a

A

O

α

三垂线定理解题的关键:找三垂!

怎么找?

解题回顾

一找直线和平面垂直

二找平面的斜线在平面

内的射影和平面内的

一条直线垂直

注意:由一垂、二垂直接得出第三垂

并不是三垂都作为已知条件

slide13

P

a

O

A

α

e

d

c

使用三垂线定理还应注意些什么?

三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理,这两条直线可以是:

解题回顾

b

①相交直线

②异面直线

slide14

P

b

a

O

A

α

例如:当 b⊥ 时,

b⊥OA

注意:如果将定理中

“在平面内”的条件

去掉,结论仍然成立

吗?

解题回顾

但b不垂直于OP

直线a 在一定要在平面内,如果 a 不在平面内,定理就不一定成立。

slide15

练习:

判断下列命题的真假:

D1

C1

⑴若a是平面α的斜线,直线b垂直于

a在平面α内的射影,则 a⊥b ( )

A1

B1

⑵若 a是平面α的斜线,平面β内

的直线b垂直于a在平面α内的射

影,则 a⊥b ( )

D

C

⑶若a是平面α的斜线,直线b α

且b垂直于a在另一平面β内的射

影则a⊥b ( )

A

B

⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线

b垂直于a在平面α内的射影,

则 a⊥b ( )

×

×

×

面ABCD →面α

面B1BCC1→面β

直线A1C →斜线 a

直线AB →垂线 b

面ABCD →面α

直线A1C →斜线 a

直线B1B →垂线 b

面ABCD →面α

直线A1C →斜线 a

直线B1B →垂线 b

slide16

P

a

A

O

α

⑷若PO是平面α的斜线,l∥a,直线a垂直

于PO在平面α内的射影,则 l⊥PO

已知:PA,PO分别是平

面 的垂线和斜线,AO

是PO在平面 的射影,

a  , a ⊥AO,

l 平行于 a。

求证: l 垂直于PO

l

slide17

P

P

P

a

a

A

O

A

O

a

A

O

α

α

α

三垂线定理包含几种垂直关系?

①线面垂直

②线射垂直

③ 线斜垂直

平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直

平面内的直线和平面的一条斜线垂直

直 线 和

平面垂直

slide18

P

P

a

A

O

α

a

A

O

α

三垂线定理的逆定理

线斜垂直

线射垂直

平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直

平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直

slide19

P

a

A

O

α

三垂线定理的逆定理

在平面内的一条直线,如果和这个平面的一

条斜线垂直,那么,它也和这条斜线的射影垂直。

已知:PA,PO分

别是平面 的垂线和斜

线,AO是PO在平面

的射影,a   ,a ⊥PO

求证:a⊥AO

slide20

定 理

线射垂直线斜垂直

逆定理

线射垂直

线斜垂直

三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么,它也和这条斜线的射影垂直。

slide21

E

B

O

A

C

F

例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,

那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。

已知:∠BAC在平面内,点P,PE⊥AB,PF⊥AC,

PO⊥ ,垂足分别是E、F、O,PE=PF

求证:∠BAO=∠CAO

P

分析: 要证 ∠BAO=∠CAO

只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC

?

?

?

证明:

∵ PO ⊥

∴OE、OF是PE、PF在内的射影

结论成立

∵ PE=PF

∴ OE=OF



由OE是PE的射影且PE⊥AB

OE⊥AB

同理可得OF⊥AC

slide22

A

B

D

C

例4 在四面体ABCD中,已知AB⊥CD,AC⊥BD

求证:AD⊥BC

证明:作AO⊥平面BCD于点O,

连接BO,CO,DO,则BO,

CO,DO分别为AB,AC,

AD在平面BCD上的射影。

∵AB⊥CD,∴BO⊥CD,

同理CO⊥BD,

于是O是△BCD的垂心,

O

∴DO⊥BC,于是AD⊥BC.

slide23

D1

C1

A1

B1

G

E

D

C

A

B

F

练习与作业

1. 在正方体AC1中,E、G分别是AA1和

CC1的中点, F在AB上,且C1E⊥EF,

则EF与GD所成的角的大小为( )

(A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90°

D

EB1是EC1在平面AB1

内的射影

EB1 ⊥EF

DG∥AM∥EB1

EF⊥DG

M

slide24

P

A

H

B

C1

B1

C

D1

A1

C

B

D

A

2.已知 PA、PB、PC两两垂直,

求证:P在平面ABC内的射影是

△ABC的垂心。

3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,

求证:AC1⊥平面BA1D

4 pabc pa bac ac bc ae pb af pc ef pb
4. 如图,在空间四边形PABC中,PA⊥平面BAC, AC⊥BC, 若AE⊥PB, AF⊥PC 求证: EF⊥PB

P

E

F

A

B

C

5 a b 60 ab a ab b a a b b m a ab 4 am 8 m b

A

M

a

B

b

5. 已知异面直线a,b所成的角为60 ,AB⊥a , AB⊥b , A∈a , B∈b , M∈a且AB=4 ,AM=8求:M到b的距离

°

N

G

6 pa abcd ab 3 ad 4 pa

P

D

C

A

B

6.如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,且AB=3 , AD=4 , PA=

求: P点到BC、 CD、 BD的距离

E