第三章矩陣

第三章矩陣 3-3矩陣的應用

目錄 • 3-3矩陣的應用 • 甲、轉移矩陣 • 乙、反方陣

甲、轉移矩陣 請看課本p.149 • 若油品市場是由甲乙兩家石油公司所供應, 根據市場長期調查, 發現當年使用甲公司油品的客戶中, 有隔年會繼續使用甲公司油品, 有則會改用乙公司油品；而使用乙公司油品的客戶中, 隔年各有會繼續使用乙公司油品或改用甲公司油品. 假設今年的調查顯示, 甲公司油品的市占率為78%, 乙公司油品的市占率為22%, 則我們該如何利用此調查資料,推測明年後年甚至多年後, 甲乙兩家石油公司的市占率呢？隨堂1-0 例1 下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

甲、轉移矩陣 請看課本p.149 • 根據上述資料, • 明年甲公司油品的市占率為78%× ＋22%× ＝63%.乙公司油品的市占率為78%× ＋22%× ＝37%.後年甲公司油品的市占率為63%× ＋37%× ＝60.5%.乙公司油品的市占率為63%× ＋37%× ＝39.5%. • 這些資料我們也可以用矩陣來表示, 如下矩陣A , 表示當年與隔年的變動矩陣；隨堂1-0 例1 下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

甲、轉移矩陣 請看課本p.149 • 矩陣P(0)表示今年兩家公司的市占率矩陣, • 則明年甲﹑乙兩家公司的市占率P(1) 為從甲公司乙公司甲公司乙公司甲公司到　乙公司隨堂1-0 例1 下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

甲、轉移矩陣 請看課本p.150 • 後年甲﹑乙兩家公司的市占率P(2)為隨堂1-0 例1 下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

隨堂練習1-0 請看課本p.150 試根據前文資料, 求大後年甲﹑乙兩家石油公司的市占率. • 解： • 大後年甲﹑乙兩家公司的市占率P (3)為 • 即甲公司的市占率為60.08% , 乙公司的市占率為39.92%. 隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

請看課本p.150 • 前述的矩陣 , 可以讓我們逐年推 • 得次一年甲﹑乙兩公司的市占率, • 像具有這類性質的矩陣, • 我們稱為轉移矩陣或馬可夫(Andrei Andreyevich Markov, 俄國, 1856～1922)矩陣, • 其定義如下：隨堂1-0 例1 下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

請看課本p.150 若一方陣A＝ , 滿足 pij 0 , i＝1, 2, … ,n, j＝1, 2,… ,n. ＝p1j＋p2j＋…＋pnj＝1, j＝1, 2, … ,n. （即每行的和皆為1）則稱此方陣為馬可夫矩陣或轉移矩陣. 隨堂1-0 例1 下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

請看課本p.150 • 馬可夫矩陣（轉移矩陣）的意義為：若研究的主題, 其所有可能呈現的狀態共有S1, S2 , …, Sn等n種, 且每隔一段固定時間來觀察它所呈現的狀態時,每次（上一期到下一期）各狀態機率的改變皆相同, 則馬可夫矩陣中的pij表示狀態Sj在下一觀察期呈現狀態Si的機率. 底下我們以前述石油公司之市占率的例子說明馬可夫矩陣的意義： • 令S1表使用甲公司油品, S2表使用乙公司油品, 隨堂1-0 例1 下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

（下一期） S1 S2 S1 S2 （下一期）請看課本p.151 （上一期）S1S2 • 則馬可夫矩陣　　 • 為今年使用甲公司油品（S1）的客戶, 隔年會繼續使用甲公司油品（S1）的機率. （上一期）S1S2 隨堂1-0 例1 下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

請看課本p.151 • 為今年使用甲公司油品（S1）的客戶, • 隔年會轉為使用乙公司油品（S2）的機率. • 為今年使用乙公司油品（S2）的客戶, 隔年會轉為使用甲公司油品（S1）的機率. • 為今年使用乙公司油品（S2）的客戶, 隔年會繼續使用乙公司油品（S2）的機率. 隨堂1-0 例1 下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

例題1 請看課本p.151 彩票公司每天開獎一次,從1, 2, 3三個號碼中隨機開出一個. 開獎時, 如果開出的號碼和前一天相同, 就要重開, 直到開出與前一天不同的號碼為止. 如果在第一天開出的號碼是3, 則在第五天開出號碼同樣是3的機率為何？ • 解： • 彩票公司每天從1, 2, 3三個號碼中隨機開出一個,因此有三種情況,我們不妨把開出1號﹑2號﹑3號分別稱為狀態 S1 , S2 , S3 , 則 • (a)前一天為狀態S1, 後一天出現狀態S1, S2, S3的 • 機率分別為隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

例題1 請看課本p.151 彩票公司每天開獎一次,從1, 2, 3三個號碼中隨機開出一個. 開獎時, 如果開出的號碼和前一天相同, 就要重開, 直到開出與前一天不同的號碼為止. 如果在第一天開出的號碼是3, 則在第五天開出號碼同樣是3的機率為何？ • 解： • (b)前一天為狀態S2, 後一天出現狀態S1, S2, S3的機率分別為 • (c)前一天為狀態S3, 後一天出現狀態S1, S2, S3的機率分別為隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

例題1 請看課本p.151 彩票公司每天開獎一次,從1, 2, 3三個號碼中隨機開出一個. 開獎時, 如果開出的號碼和前一天相同, 就要重開, 直到開出與前一天不同的號碼為止. 如果在第一天開出的號碼是3, 則在第五天開出號碼同樣是3的機率為何？ • 解： • 因此可得轉移矩陣為　隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

例題1 請看課本p.152 彩票公司每天開獎一次,從1, 2, 3三個號碼中隨機開出一個. 開獎時, 如果開出的號碼和前一天相同, 就要重開, 直到開出與前一天不同的號碼為止. 如果在第一天開出的號碼是3, 則在第五天開出號碼同樣是3的機率為何？ • 解： • 由於第一天開出的號碼是3, 所以可令起始矩陣 • 為P(1)＝隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

例題1 請看課本p.152 彩票公司每天開獎一次,從1, 2, 3三個號碼中隨機開出一個. 開獎時, 如果開出的號碼和前一天相同, 就要重開, 直到開出與前一天不同的號碼為止. 如果在第一天開出的號碼是3, 則在第五天開出號碼同樣是3的機率為何？ • 解： • 則第二天開出各號碼的機率為 • P(2)＝隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

例題1 請看課本p.152 彩票公司每天開獎一次,從1, 2, 3三個號碼中隨機開出一個. 開獎時, 如果開出的號碼和前一天相同, 就要重開, 直到開出與前一天不同的號碼為止. 如果在第一天開出的號碼是3, 則在第五天開出號碼同樣是3的機率為何？ • 解： • 第三天開出各號碼的機率為 • P(3)＝隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

例題1 請看課本p.152 彩票公司每天開獎一次,從1, 2, 3三個號碼中隨機開出一個. 開獎時, 如果開出的號碼和前一天相同, 就要重開, 直到開出與前一天不同的號碼為止. 如果在第一天開出的號碼是3, 則在第五天開出號碼同樣是3的機率為何？ • 解： • 第四天開出各號碼的機率為 • P(4)＝隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

例題1 請看課本p.152 彩票公司每天開獎一次,從1, 2, 3三個號碼中隨機開出一個. 開獎時, 如果開出的號碼和前一天相同, 就要重開, 直到開出與前一天不同的號碼為止. 如果在第一天開出的號碼是3, 則在第五天開出號碼同樣是3的機率為何？ • 解： • 第五天開出各號碼的機率為 • P(5)＝隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

例題1 請看課本p.152 彩票公司每天開獎一次,從1, 2, 3三個號碼中隨機開出一個. 開獎時, 如果開出的號碼和前一天相同, 就要重開, 直到開出與前一天不同的號碼為止. 如果在第一天開出的號碼是3, 則在第五天開出號碼同樣是3的機率為何？ • 解： • 故第五天開出號碼3的機率為隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

有一個玩具, 每按一次便有紅燈或綠燈出現, 設按第一次出現紅燈的機率為 , 出現綠燈的機率也是；從第二次起, 前次出現紅燈後接著出現紅燈的機率為；前次出現綠燈後接著出現綠燈的機率為 .試問連續按了三次, 第三次出現紅燈的機率為何？隨堂練習1-1 請看課本p.152 • 解： • 設出現紅燈為狀態S1 , 出現綠燈為狀態S2 , 隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

有一個玩具, 每按一次便有紅燈或綠燈出現, 設按第一次出現紅燈的機率為 , 出現綠燈的機率也是；從第二次起, 前次出現紅燈後接著出現紅燈的機率為；前次出現綠燈後接著出現綠燈的機率為 .試問連續按了三次, 第三次出現紅燈的機率為何？隨堂練習1-1 請看課本p.152 • 解： • 則可得轉移矩陣為 , 令起始矩陣為P(1) = 隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

隨堂練習1-1 請看課本p.152 • 解： • 則第二次按, 出現紅﹑綠燈的機率為 • P (2) = • 第三次按, 出現紅﹑綠燈的機率為 • P (3) = • 故第三次按, 出現紅燈的機率為 . 隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

請看課本p.153 • 前文中, 甲﹑乙兩家石油公司後年的市占率 • P(2)＝AP(1)＝A(AP(0))＝A2P(0), • 大後年的市占率P(3)＝AP(2)＝A(A2P(0))＝A3P(0), • 若我們繼續往下求n年後（n N） • 各年的市占率P(n)＝AnP(0), 可得隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

請看課本p.153 隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

請看課本p.153 • 由上表, 我們發現若令P(n)= 則an+bn=1, 且an與 • bn分別隨著n之增大而愈來愈接近0.6與0.4. • 事實上, 根據馬可夫的理論, 甲、乙兩家石油公司的市場占有率的確會趨於穩定的值, 若a , b分別為其穩定的值, 則a , b應滿足 • , 且a+b=1, 即滿足方程組隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

請看課本p.153 • 我們可解得a=0.6 , b=0.4 . 也就是說, 當甲、乙兩家石油公司的市場占有率分別為60%與40%時, 下一年的市場占有率仍然分別為60%與40%, • 即甲、乙兩家石油公司的市場占有率分別會趨於60%與40%之穩定的狀態. 隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

請看課本p.154 • 一般而言, 設A是一個轉移矩陣, 若存在一個行矩陣X滿足AX=X, 且X的各元的和為1 , 則稱此行矩陣X為轉移矩陣A的穩定狀態. 如前述石油公司 • 之市場占有率的例子中, 轉移矩陣為A= • 其穩定狀態為隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

請看課本p.154 • 然而, 並非所有的轉移矩陣皆會使值趨於穩定, • 如： • 轉移矩陣 A＝滿足 A2k＝ • 假設起始矩陣為　P(0)＝隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

請看課本p.154 • 則　A2kP(0)＝ • P(0)＝ • 除非a＝b＝ , 否則是不會有穩定值的. 隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

例題2 請看課本p.154 某社區有三家影音光碟店, 根據調查, 目前向A店租片的人有60%明年繼續向A店租片, 有30%會改向B店租片, 有10%會改向C店租片；而目前向B店租片的人有40%明年繼續向B店租片, 有30%會改向A店租片, 有30%會改向C店租片. 目前向C店租片的人有50%明年繼續向C店租片.有40%與10%會分別改向A店及B店租片. 若目前A , B , C三家市場占有率分別為30%, 20%, 50%且客戶人數不變, 隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

例題2 請看課本p.154 試寫出馬可夫的轉移矩陣. 若一個觀察期為一年, 令P(n)表n個觀察期後的市場占有率, 試求P(2) . 若市場占有狀況會趨於穩定, 其穩定狀態為何？ • 解： • 由題意知馬可夫的轉移矩陣為 • A B C 隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

例題2 請看課本p.155 試寫出馬可夫的轉移矩陣. 若一個觀察期為一年, 令P(n)表n個觀察期後的市場占有率, 試求P(2) . 若市場占有狀況會趨於穩定, 其穩定狀態為何？ • 解： • 由題意知 • 則隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

例題2 請看課本p.155 試寫出馬可夫的轉移矩陣. 若一個觀察期為一年, 令P(n)表n個觀察期後的市場占有率, 試求P(2) . 若市場占有狀況會趨於穩定, 其穩定狀態為何？ • 解： •  隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

例題2 請看課本p.155 試寫出馬可夫的轉移矩陣. 若一個觀察期為一年, 令P(n)表n個觀察期後的市場占有率, 試求P(2) . 若市場占有狀況會趨於穩定, 其穩定狀態為何？ • 解： • 令穩定狀態為，則隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

例題2 請看課本p.155 試寫出馬可夫的轉移矩陣. 若一個觀察期為一年, 令P(n)表n個觀察期後的市場占有率, 試求P(2) . 若市場占有狀況會趨於穩定, 其穩定狀態為何？ • 解： • 得 • 即隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

例題2 請看課本p.155 試寫出馬可夫的轉移矩陣. 若一個觀察期為一年, 令P(n)表n個觀察期後的市場占有率, 試求P(2) . 若市場占有狀況會趨於穩定, 其穩定狀態為何？ • 解： • 解得a：b：c=27:16:15，且a+b+c=1，且 • ， • 市場佔有的穩定狀態為: A店占，B店占 • C店占隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

隨堂練習2 請看課本p.155 試針對馬可夫矩陣 , 求其穩定狀態. • 解： • 設穩定狀態為 , 則隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

隨堂練習2 請看課本p.155 試針對馬可夫矩陣 , 求其穩定狀態. • 解： • 且a + b + c = 1, 隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

隨堂練習2 請看課本p.155 試針對馬可夫矩陣 , 求其穩定狀態. • 解： • 得隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

隨堂練習2 請看課本p.155 試針對馬可夫矩陣 , 求其穩定狀態. • 解： • 解得a：b：c = 4：10：9, 所以穩定狀態為隨堂1-0 例1 返回下一主題隨堂1-1 例2 隨堂2

乙、反方陣 請看課本p.156 • 在實數的乘法中, 1這個數具有一個很特殊的性質, 即任意實數x與1相乘時, 其值都不會改變, 亦即x．1=1．x=x , 具有像1這種性質的元素, 我們通 • 稱為乘法單位元素. • 事實上, 在矩陣的乘法運算中, 對每一種階數的方陣, 也都有一個乘法單位元素. • 如：前一主題例3 隨堂3-1 下一主題隨堂3-0

乙、反方陣 請看課本p.156 • 一般而言, 當一個n階方陣中, 由左上角到右下角的對角線上各位置的元都是1 , 而其餘各元都是0 時, 我們稱之為n階單位方陣, 以In表之. 前一主題例3 隨堂3-1 下一主題隨堂3-0

乙、反方陣 請看課本p.156 • 如：I2＝ , I3＝ • n階單位方陣就是n階方陣的乘法單位元素, • 滿足AIn= InA= A . • 在不混淆下, 我們也以I表示同階方陣下的單位方陣. 前一主題例3 隨堂3-1 下一主題隨堂3-0

隨堂練習3-0 請看課本p.156 試寫出四階單位方陣. • 解：前一主題例3 隨堂3-1 返回下一主題隨堂3-0

請看課本p.156 • 對一般的m×n階矩陣A, 單位方陣具有ImA＝AIn＝A, • 如： • 在實數的乘法中, 對於每個不為0的實數x , 都有一個對應的實數 ,使兩數相乘等於乘法單位元素1 , • 亦即像具有這種性質的兩個元素, 前一主題例3 隨堂3-1 返回下一主題隨堂3-0

請看課本p.157 • 我們稱它們互為乘法反元素（即倒數）. • 在矩陣的乘法中, 我們也可以考慮矩陣的乘法反元素, 即兩個矩陣A , B滿足AB= BA= In , • 只是並非每個非零矩陣都有乘法反元素, 這點與實數是有差別的, 我們說明如下： • 只有方陣才可以考慮乘法反元素. • 因為, 若矩陣A, B滿足AB＝BA＝In, • (1)由AB＝In知, A有n列, B有n行. • (2)由BA＝In知, A有n行, B有n列. • 所以A, B須同為n階方陣. 前一主題例3 隨堂3-1 返回下一主題隨堂3-0

請看課本p.157 • 並不是任意非零的方陣都有乘法反元素. • 如：A＝不是零方陣, • 而 • 可發現所得的兩個乘積中, (2, 2)元都等於0, 由於二階單位方陣的(2, 2)元為1, 所以A與任何二階方陣的乘積, 都不等於二階單位方陣, 故A沒有乘法反元素. 前一主題例3 隨堂3-1 返回下一主題隨堂3-0

第三章 矩陣