Variabili aleatorie discrete e continue

1. Variabili aleatorie discrete e continue Settimana 17 – 21 novembre Sessione live 3 Dr. Marta Giorgetti

2. Variabili aleatorie discrete • Distribuzione uniforme: si pensi ad un’urna contenente N palline numerate da 1 a N. L’esperimento aleatorio consiste nell’estrarre a sorte una pallina. In questo modo si dà luogo ad una variabile aleatoria le cui determinazioni sono i primi N numeri interi. La probabilità associata a ciascuno di questi valori è 1/N. DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione uniforme discreta se la sua legge di probabilità è: Inoltre: Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Richiami di teoria 1

3. Distribuzione di Bernoulli B(1,p): si pensi ad un esperimento i cui esiti sono due eventi incompatibili A e B. Si pensi al lancio di una moneta, dove A e B sono gli eventi “testa” e “croce”, oppure all’estrazione casuale di una unità da una popolazione dicotomica, cioè da una popolazione le cui unità sono raggruppate in due sole categorie, quali “maschio” e “femmina”, “malato” e “sano”, ecc. La singola esecuzione di questo esperimento va sotto il nome di prova bernoulliana. Si associ il valore 1 all’evento A, designato, generalmente con il termine “successo” e il valore 0 all’evento B, indicato con il termine “insuccesso”. Sia p la probabilità di A e quindi 1-p la probabilità di B. Vale allora la seguente definizione: DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Bernoulli se la sua legge di probabilità è: Inoltre: Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Richiami di teoria 2

4. 3) Distribuzione di Binomiale B(n,p): si considerino n prove di Bernoulli indipendenti; sia p la probabilità dell’evento successo. La variabile aleatoria binomiale è definita come il numero dei successi in n prove bernoulliane indipendenti. Si immagini per esempio il lancio di una moneta 20 volte; indentificando in “testa” l’evento successo la cui probabilità è 0,5, la VA binomiale sarà il numero dei risultati “testa” nei 20 lanci. DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Binomiale se la sua legge di probabilità è: Inoltre: Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Richiami di teoria 3

5. Distribuzione Poisson: DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Poisson con parametro λ>0 se la sua legge di probabilità è: Inoltre: Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Richiami di teoria 4

6. Variabili aleatorie continue quando lo spazio campionario Ω, su cui sono definite, è continuo, è costituito cioè da un’infinità non numerabile di eventi elementari. • Distribuzione uniforme: DEF: si dice che una V.A. definita in un intervallo [a,b] ha una distribuzione uniforme continua se la sua funzione di densità è espressa da: Inoltre ha funzione di ripartizione data da: e Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Richiami di teoria 5

7. 2) Distribuzione esponenziale (negativa): DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione esponenziale se la sua funzione di densità è espressa da: Inoltre ha funzione di ripartizione data da: e Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Richiami di teoria 6

8. 3) Distribuzione normale N(μ, σ2): DEF: si dice che una V.A. ha distribuzione normale se la sua funzione di densità è espressa da: Inoltre ha funzione di ripartizione è data da: e Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Richiami di teoria 7

9. 3) Distribuzione normale standard N(0,1): DEF: si dice che una V.A. ha distribuzione normale standard se la sua media vale 0 e la sua varianza vale 1, cioè se la sua funzione di densità è espressa da: Inoltre ha funzione di ripartizione è data da: e Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Richiami di teoria 8

10. ESERCIZIO 1: Una scatola contiene 5 palline di cui 3 bianche e 2 nere. Estraggo a caso, con reimmissione, 3 palline. Quale è la probabilità di pescarne 3 bianche? E due bianche ed una nera? SOLUZIONE Poniamo X=“numero di palline bianche estratte”. Quindi Perciò Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 1: testo e soluzione

11. ESERCIZIO 2: Lancio 5 volte un dado regolare. Qual è la probabilità di ottenere almeno una volta un punteggio pari? SVOLGIMENTO In ciascun lancio posso aver successo (punteggio pari) o insuccesso (punteggio dispari) e i lanci sono indipendenti. Quindi il n.a. X=“numero di successi in 5 lanci” ha distribuzione binomiale di parametri n=5, θ=0,5. Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 2: testo e soluzione

12. ESERCIZIO 3: Supponiamo che il numero giornaliero di richieste di intervento d’urgenza per un certo servizio sia descritto da una n.a. X con distribuzione di Poisson di parametro λ=5. Qual è la probabilità di ricevere più di una richiesta di intervento? SVOLGIMENTO La funzione di probabilità di X è: perciò si ha Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 3: testo e soluzione

13. ESEMPIO: Numeri ritardatari su una ruota del lotto. E’ convenzione comune che se un numero non è uscito su una ruota per molte estrazioni la sua probabilità di uscire a ogni estrazione successiva aumenti. Calcoliamo questa probabilità. A ogni estrazione la probabilità che un numero venga estratto è: Si può modellizzare il tempo d’attesa di questo numero con una v.a. geometrica X di parametro p che aspetta l’uscita della prima T nel lancio di una moneta di trucco p. Calcoliamo la probabilità che T non sia uscita per k-1 lanci, che corrisponde a , cioè T esce al k-esimo lancio, cioè :che è la probabilità che T esca alla prima estrazione. Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esempio

14. Il ragionamento, sbagliato e inconsapevole, è invece il seguente. La probabilità di k C di fila, cioè dell’evento è (nel caso del lotto 0,9444k, che per k=100 è 0,9444100=0,0033). Allora si è portati a giocare contro questo evento, quindi per il suo complementare, che, nel caso k=100, è pari a 0,9967, ma questo complementare non è . Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esempio

15. ESERCIZIO 4: Una v.a. ha distribuzione uniforme sull’intervallo (-2,2). Scrivete l’espressione della funzione di densità e la funzione di ripartizione di X. Calcolare P(X>1). SVOLGIMENTO Nel nostro caso a=-2, b=2, quindi la funzione di densità è: E la funzione di ripartizione è: Infine calcoliamo P(X>1)=1-P(X ≤1)=1-F(1)=1-3/4=1/4. Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 4: testo e svolgimento

16. ESERCIZIO 5: Vogliamo studiare il tempo d’attesa ad uno sportello bancario. So che in media aspettiamo 4 minuti fra un cliente ed il successivo. Che modello potremmo usare per descrivere il fenomeno? Quanto vale lo scarto quadratico medio orario del tempo d’attesa? SVOLGIMENTO Fra quelli studiati, il modello adatto per descrivere questo fenomeno è l’esponenziale negativa con parametro λ=1/4=0,25. Abbiamo che Var(x)=1/λ2=1/0,0625 quindi Questo vale in generale, cioè per una distribuzione esponenziale negativa abbiamo che: Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 5: testo e svolgimento

17. ESERCIZIO 6: Sia X una v.a. con la seguente funzione di densità Calcolare P(X>5) e P(|X|>4). SVOLGIMENTO Dalla funzione di densità deduciamo che X ha distribuzione normale con media 1 e varianza pari a 4. Per calcolare le probabilità richieste bisogna standardizzare X e poi utilizzare le tavole. Si ha che Inoltre Quindi Perciò Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 6: testo e svolgimento

19. ESERCIZIO7: In un gioco si può vincere o perdere una somma aleatoria X (vinco se X>0, perdo se X<0). Supponiamo che X sia una v.a. con distribuzione normale standardizzata. Se gioco 5 volte e se gli esiti sono tra loro indipendenti, con quale probabilità posso vincere almeno una volta? E vincere esattamente due volte? SVOLGIMENTO X~N(0,1) quindi P(vincere)=P(X>0)=0,5; gioco 5 volte e le prove sono indipendenti. Chiamo Yi il numero aleatorio pari a 1 se vinco l’i-esima giocata, pari a 0 se perdo (i=1,2,3,4,5). Si ha che P(Yi=1)=P(vincita)=0,5, in altre parole Yi è una bernoulliano da parametro θ=0,5. Gli sono Yi indipendenti. Dunque il numero di vincite nelle 5 prove, che indichiamo con Y è dato da ed ha una distribuzione binomiale di parametri n=0,5 e θ=0,5. Le probabilità cercate sono quindi P(almeno una vincita)=P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0,55=0,96875 e P(esattamente due vincite)=P(Y=2)= 0,520,53= 0,55=0,3125 Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 7: testo e svolgimento

20. Esercizio 8: Sapendo che il 30% dei passeggeri che hanno prenotato non si presenta alla partenza, una compagnia aerea accetta fino a 28 prenotazioni in un volo con una capienza di 24 posti. Qual è la probabilità che almeno un passeggero che ha regolarmente prenotato resti a terra? Si supponga che i comportamenti dei passeggeri siano indipendenti. SVOLGIMENTO X = numero passeggeri che si presentano Poiché in ipotesi i comportamenti dei passeggeri sono indipendenti, X conta il numeri di successi in 28 prove indipendenti: X~B(28; 0,7). Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 8: testo e svolgimento

21. Esercizio 9: Un centralino riceve in un minuto di tempo un numero di telefonate X avente legge di Poisson di parametro λ=10. Qual è la probabilità che: 1) non arrivino telefonate? 2) arrivino 10 telefonate? 3) arrivino almeno 3 telefonate? SVOLGIMENTO X = numero di telefonate in un minuto In ipotesi si ha X ~P(10). 1) 2) 3) Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 9: testo e svolgimento

22. Esercizio 10: Si suppone che la speranza di vita X di ogni membro di un certo gruppo di persone sia una v.a. avente distribuzione esponenziale di media 50 anni. Calcolare la probabilità che un individuo del gruppo in questione1) sopravviva fino all’età della pensione (65anni);2) viva almeno fino a 70 anni, sapendo che ha appena festeggiato il suo 40-esimo compleanno;3) calcolare la mediana, il primo ed il terzo quartile della distribuzione;4) per quale valore di c tale che P(X>c)=0,6. SVOLGIMENTO X= speranza di vita, E(X)=50, X~E (50); 1) Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 10: testo e svolgimento

23. 2) Osserviamo che, come la legge geometrica, anche l’esponenziale gode della proprietà di mancanza di memoria. Infatti è P(X>=30). Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 10: svolgimento

24. 3) Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 10: svolgimento

25. 4) Trovare c tale che P(X>c)=0,6 Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 10: svolgimento

26. ESERCIZIO 11: Sia Z~N(0,1). Calcolare1) P(0,53<=Z<=2,06)2) P(Z>-1,77)3) P(-0,79<=Z<1,52)4) P(Z>2,89)5) P(|Z|<1)6) P(|Z|>2)Determinare il valore c tale che7) P(Z>=c)=0,058) P(|Z|<=c)=0,8 SVOLGIMENTO 1) P(0,53<=Z<=2,06)= P(Z<=2,06)- P(Z<=0,53)=Φ(2,06)-Φ(0,53)=0,98077-0,70194=0,0279 2) P(Z>-1,77)=1- P(Z<=-1,77)=1- Φ(-1,77)=1-(1- Φ(1,77))=Φ(1,77)=0,9616 3) P(-0,79<=Z<1,52)=Φ(1,52)-Φ(-0,79)=Φ(1,52)-(1-Φ(0,79))= Φ(1,52)-1+Φ(0,79)=0,93574-1+0,78524=0,721 Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 11: testo e svolgimento

27. 4) P(Z>2,89)=1-Φ(2,89)=1-0,99807=0,002 5) P(|Z|<1)= P(-1<Z<1)=Φ(1)-Φ(-1)=Φ(1)-1+Φ(1)=2Φ(1)-1=2 0,84134-1=0,683 6) P(|Z|>2)=P(Z<-2)+P(Z>2)=Φ(-2)+1-Φ(2)=1-Φ(2)+1-Φ(2)=2-2Φ(2)=2-2·0,97725=0,0455 7) P(Z>=c)=0,05 implica 1-P(Z<c)=0,05, cioé 1-Φ(c)=0,05, Φ(c)=0,95 c=1,64 8) P(|Z|<=c)=0,8 implica P(-c<Z<c)=0,8, cioé Φ(c)-Φ(-c)=0,8, Φ(c)-1+Φ(c)=0,8 2Φ(c)-1=0,8 , 2Φ(c)=1,8, Φ(c)=0,9 c=1,28 Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 11: testo e svolgimento

28. ESERCIZIO 12: Il punteggio ottenuto dagli studenti ad una prova scritta di un esame universitario si può modellizzare con una v.a. continua di legge normale di media 21 e varianza 9. Qual è la percentuale di studenti che hanno ottenuto un voto superiore al 24? Qual è la percentuale degli studenti che hanno ottenuto un voto inferiore alla sufficienza (<18)? SVOLGIMENTO X=punteggio alla prova scritta, X~N(21,9) 1) Il 15,9% degli studenti ha ottenuto un voto maggiore o uguale a 24. 2) Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 12: testo e svolgimento