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§ 4.3 配极变换

§ 4.3 配极变换. 定理 4.14( 配极原则 ) 点 P 关于  的极线 p 通过点 Q  点 Q 关于  的极线 q 通过点 P. 定理 4.14'( 配极原则 ) 直线 p 关于  的极点 P 在直线 q 上直线 q 关于  的极点 Q 在直线 p 上. 一、极点与极线. 二、配极变换. 代数：非退化二阶曲线的矩阵作成的点与直线之间的异素射影变换. 配极变换. 几何：非退化二阶曲线的内接完全四点形的对边三点形 —— 自极三点形. (1). 几何证明题. 3. 配极变换的基本应用. (2). 极点极线作图. § 4.3 配极变换.

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§ 4.3 配极变换

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  1. § 4.3 配极变换 定理4.14(配极原则)点P关于的极线p通过点Q点Q关于的极线q通过点P. 定理4.14'(配极原则) 直线p关于的极点P在直线q上直线q关于的极点Q在直线p上. 一、极点与极线 二、配极变换 代数：非退化二阶曲线的矩阵作成的点与直线之间的异素射影变换 配极变换 几何：非退化二阶曲线的内接完全四点形的对边三点形——自极三点形 (1). 几何证明题 3. 配极变换的基本应用 (2). 极点极线作图

  2. § 4.3 配极变换 例5. (P.120, 例4.12)如图, ABC是二阶曲线的一个自极三点形, 弦RP通过B, RC与的另一个交点为Q. 求证：PQ通过A. 证明. 设RC交AB于T, AC交RP于S. 因为ABC为Γ的自极三点形, 所以 (RR) PQ, AC, AB共点于A, 即PQ通过A. 教材上的证明二至少丢了一句话, 未证完. 反思：1. 图中自极三点形ABC是如何画的? 答：严格地利用内接完全四点形, 不是随手画的. 反思：2. 基于上述, 设AR交于M, 求证：P,C,M共线, 且B,Q,M共线, 即ABC为完全四点形PQMR的对边三点形.

  3. § 4.3 配极变换 例5. (P.120, 例4.12)如图, ABC是二阶曲线的一个自极三点形, 弦RP通过B, RC与的另一个交点为Q. 求证：PQ通过A. 反思：1. 图中自极三点形ABC是如何画的? 答：严格地利用内接完全四点形, 不是随手画的. 反思：2. 基于上述, 设AR交于M, 求证：P,C,M共线, 且B,Q,M共线, 即ABC为完全四点形PQMR的对边三点形. 反思：3. 基于上述, 设PC交于M, 求证：A,R,M共线, 且B,Q,M共线, 即ABC为完全四点形PQMR的对边三点形. 反思：4. 题中RP未必是构造出ABC的内接完全四点形的一边. 任作RP都可得结论, 说明可以有很多内接完全四点形共一个对边三点形ABC.

  4. § 4.4 二次曲线的射影分类 一、二阶曲线的奇异点 1. 定义 定义4.11 若点P0(p0i)的坐标是方程组 的一个奇异点. 的非零解, 则称P0为二阶曲线 ： 注1. P0为的奇异点 P0在上, 且Sp0=0. 注2. : S=0有奇异点|aij|=0 为退化的. 注3. 若秩(aij)=2, 则有唯一奇异点；若秩(aij)=1, 则有无穷多的奇异点, 构成一条直线. 2. 性质 (1). 定理4.16. 上一点P为奇异点P与上任一点连线上的点都在上. 证明见教材, 请自学.

  5. § 4.4 二次曲线的射影分类 一、二阶曲线的奇异点 1. 定义 2. 性质 (2). 平面上任一点P的极线必过奇异点P0. 证. 将P0的坐标直接代入Sp=0即得. 即:奇异点P0 无穷多的极线为不过P0的直线. (3). 过P0的直线上任意异于P0的点有相同的极线为过P0的另一直线. 证. 不妨设退化为两直线m1, m2. 则据(1), m1×m2=P0. 过P0的直线p上任一点P(≠P0)的极线为满足(PQ,M1M2)=–1的点Q的轨迹, 显然为满足(pq,m1m2)=–1过P0的另一直线q. 从而 过P0的直线 无穷多的极点在过P0的定直线上. 综上 关于退化二阶曲线的配极为奇异的(不是双射).

  6. § 4.4 二次曲线的射影分类 二、二阶曲线的射影分类 问题：给定 适当选取射影坐标系, 将的方程化为标准方程(即：只有平方项, 没有交叉项, 且平方项的系数为1或－1的规定格式). 1. |aij|≠0,秩(aij)=3. 取Γ的一个自极三点形, 设其顶点为A'1(pi), A'2(qi), A'3(ri). 取E'(pi+qi+ri)为新的单位点,建立新的射影坐标系. 据(1.10)式, 坐标变换的逆式为 代入(1), 由教材P.124推导, 的方程化为

  7. § 4.4 二次曲线的射影分类 二、二阶曲线的射影分类 1. |aij|≠0,秩(aij)=3. 再作一次仅改变单位点的射影坐标变换 S'=0又可化为 去掉“'' ”之后, 由于齐次性及x1, x2, x3的平等性, 只有两种情况： 综上, 非退化二阶曲线的方程必可化为上述两种标准方程之一.

  8. § 4.4 二次曲线的射影分类 二、二阶曲线的射影分类 2. |aij|=0,秩(aij)=2. 退化为两条相交直线m1,m2, 的自极三点形不存在. 取新的射影坐标系如图所示, 的方程可化为 即 综上, 当二阶曲线退化且秩为2时, 其方程必可化为上述两种标准方程之一.

  9. § 4.4 二次曲线的射影分类 二、二阶曲线的射影分类 3. |aij|=0,秩(aij)=1. 退化为一条完全由奇异点构成的直线. 取此直线为坐标三点形的一边, 比如A'2A'3,则S=0必可化为 综上, 当退化且秩为1时, 的方程必可化为上述标准方程. 由以上讨论, 我们得到教材中列出的二阶曲线的射影分类表. 二阶曲线被分成5个等价类, 属于同一等价类的二阶曲线的方程必可化为上述5种标准方程之一. 注：给定二阶曲线的方程, 适当选取射影坐标系, 将的方程化为射影标准方程, 例见教材, 请自学. 思考：二阶曲线的射影分类与化二次型为规范形的异同.

  10. 今日作业 P.122, 4;P.127, 1(1), 4 The Class is over. Goodbye!

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