§3.2 　埃尔米特插值与分段插值第二讲

§3.2　埃尔米特插值与分段插值第二讲

2.2分段插值 分段插值的必要性在前面我们讨论了多项式插值与埃尔米特插值的余项公式。由这些公式，我们可以看出余项的大小与插值点的个数有关。但是，不能简单地认为在一确定的区间基点越多，误差就越小。这个理由在于应用余项公式是有前提条件的，而这些函数的光滑性条件随着点的增多而变得更加苛刻，一般被插值函数不一定能满足这些条件，甚至我们有时原本不知道有关函数的导数性质。另外，即使函数具有很好的光滑性条件，但其余项公式中的导数项有时会随着点的增多而变得很大。这样，虽然在插值基点及其邻近点处，函数与插值多项式的数值比较接近，但在其它的非插值基点处，这两个值当n很大时，往往并不接近，甚至有相当大的差距。为了说明这个问题，考虑下面一个实例。

例2.5设 。取［－1,1］区间上步长为0.2 的等分点为插值基点：，并令。按牛顿公式算法1.12－1.13，求得处的插值多项式的函数值如下（为了便于比较，我们也列出有关点处的函数的值）：对区间［0,1］上的函数值可按对称性得到，从上表可以看出在区间［－0.20,0.20］上, 很接近于，但在其它非插值基点处，尤其在邻近，的相对误差很大，并在这里出现大幅度的波动。

这个现象表明，即使 在整个实轴上解析，但当插值基点较多时，譬如，，插值多项式在某些点处并不靠近于函数，甚至两者之间有很大的差距。鉴于这些原因，在实际应用中，选用的插值多项式的次数一般都不超过6、7，并且，通常采用分段低次的插值来提高近似程度。在本节后面内容里，我们只介绍分段线性插值与分段三次埃尔米特插值，它们都属于局部化的分段插值类型，另一种所谓全局化的分段插值，即样条插值，将放在下一节讨论。

分段线性插值（折线插值） 假设函数的个数据对为，其中将它们看成为平面上的个点，，并依次序相连，即得以这些点为顶点的折线，其对应的函数记为显然，在区间上，折线的方程是其中，。通常，我们将上述叫做函数的满足条件（1.1）的分段线性插值函数（折线插值函数）。容易证明，满足条件（1.1）的函数的分段线性插值函数也是唯一的。

下面讨论段线性插值函数的误差估计。 定理2.6假设在含有个不同插值基点：的区间上二阶连续可微，且是满足条件 (1.1）的分段线性插值函数。则对任意的，我们有其中，。作为本段内容的一个应用，现在考虑例2.5中函数的分段线性插值问题。

例2.7设。取11个插值基点： 并令。应用分段线性插值函数近似于，则在例2.5的对应点处有如下数值（表中第三行为在这些点上的准确值）：可以看出，上述结果比起例2.5中的高次插值多项式在总体上有较好的精度。注意，分段线性插值在每一子区间上的函数表达式只依赖于该区间端点上的函数值与，而与其它插值基点处函数值无关，因而这种插值正是所谓局部化的分段插值的最简单的情形。

分段线性插值不足之处在于它的插值函数虽在插值区间上连续，但在“拼接点”（内插值基点）处一般有尖点，因而曲线不光滑。下面介绍的分段三次埃尔米特插值，在“拼接点”处有一阶连续导数，因而具有光滑性。分段三次埃尔米特插值假定函数及其导函数有如下组数据，，，（），其中，。所谓分段三次埃尔米特插值问题就是要寻求一个插值函数，使得在每个子区间上，它属于，而在整个区间上，有一阶连续导数，并且，，（）我们通常将满足这些条件的插值函数叫做分段三次埃尔米特插值函数。，

如同折线插值的情形，这样的插值函数 可以用2.1节中介绍过的各个子区间上的中的埃尔米特插值多项式“拼接”起来，并且分段三次埃尔米特插值函数也是唯一的。具体做法如下。根据（2.2’），将那里的， ; ， ; 与分别换成， ; ， ; 与，我们能够写出分段三次埃尔米特插值函数的表达式，即当（）时，

特殊地，当取为区间的中点时，即 ，我们有关于分段三次埃尔米特插值函数的误差我们有如下估计. 定理2.8假设在含有个不同插值基点的区间上四阶连续可微，且是满足条件（2.18）的分段三次埃尔米特插值函数。则对任意的，我们有其中，。作为例2.5与例2.7的继续，在下例中我们考虑函数的分段三次埃尔米特插值问题。

例2.9假定知道函数 及其导数的如下表列值数据。试应用分段三次埃尔米特插值，求出在各子区间的中点－0.90 ，－0.70，－0.50，－0.30，与－0.10处函数的近似值。显然，这时插值基点要等距分布在区间［－1.00，0.00］上的，即对所有，。应用（2.20）式，此时有

具体计算结果与的真值如下表所示 从上表看出，本结果比起例2.7的折线插值计算结果有了较明显的改进。分段三次埃尔米特插值在每个子区间上的函数表达式（2.19）只依赖于该区间端点处的函数值，与导数值，，而与其它插值基点处的函数值与导数值无关因而与折线插值情形一样，它也属于局部化分段插值的类型。

§3.2 埃尔米特插值与分段插值 第二讲