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ESPAÇOS VETORIAIS. V. R. a. c. . . . b. . vetores. operadores ou escalares. operação externa. . . @. OPERAÇÕES E PROPRIEDADES. Um espaço vetorial consiste em um sistema formado por dois conjuntos R = { , , , ...} e V = {a, b, c}.
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V R a c b vetores operadores ou escalares operação externa @ OPERAÇÕES E PROPRIEDADES Um espaço vetorial consiste em um sistema formado por dois conjuntos R = {, , , ...} e V = {a, b, c}. No conjunto R, denominado conjunto dos operadores, são definidas duas operações, que indicaremos por e . No conjunto V, chamado de conjunto de vetores, é definida a operação @. Uma operação externa (), que opera com um elemento de cada conjunto é também definida para esse sistema. ( a) V
Para as operações de R e V devem valer as propriedades: (1) R e R a @ b V (fechamento) (2) ( ) = ( ) e ( ) = ( ) (a @ b) @ c = a @ (b @ c) (associativa) (3) = = e = = a @ n = n @ a = a (elemento neutro) (4) ’ = ’ = e para , ’’ = ’’ = V a@ a’ = a’ @ a = n (elemento inverso) (5) = e = a @ b = b @ a (comutativa) (6) ( ) = ( ) ( ) (distributiva de em relação a ) Estas propriedades caracterizam R como um corpo e V como um grupo comutativo.
Além das propriedades citadas, devem também ser verificados os axiomas: A1 - (a @ b) = ( a)@ ( b) A2 – () a = ( a) ( a) A3 – ( @) a = ( a) A4 – a = a e ’a = a’ A5 – n a = 0, sendo 0 um elemento de V. EXEMPLO R – conjunto dos reais com as operações adição e multiplicação (corpo dos reais). V – conjunto das matrizes quadradas com a operação adição. - operação externa – multiplicação de número real por matriz.
SUBESPAÇO VETORIAL Seja V um espaço vetorial. Todo subconjunto V’ de V que verifica as propriedades (1) 0 V', sendo 0 o vetor nulo.(2) au V', para todo escalar a de R e para todo vetor u de V'.(3) u + v V' , para todo u e v de V'. é denominado subespaço vetorial. Os conjuntos {0} e V são denominados subespaços vetoriais próprios de V. Exemplo: O conjunto das matrizes A = [aij]2x2, é um espaço vetorial sobre R. (Verifique). Se tomarmos o subconjunto A' = [aij]2x2, tais que aij = x R se i = j = 1 e aij = 0 para i 1 e j 1, este subconjunto será um subespaço vetorial de A.
0 0 0 0 Ka 0 0 0 kM = A. b 0 0 0 a 0 0 0 (3) Sejam M1 = e M2 = a + b 0 0 0 M1 + M2 = A. (1) 0 = pois 0 A. a 0 0 0 (2) Seja k um nº real e M = uma matriz de A. Verificando:
EXERCÍCIOS: 01 - Verifique se cada conjunto abaixo é ou não um subespaço de R2 sobre R.a) {(x1, x2) | x1 + x2 = 0} b) {(x1, x2) | x1x2 = 0}c) {(x1, x2) | x1 = 3x2} d) {(x1, x2) | x1 = 3x2 + 1} Indicaremos cada subconjunto por V. (a) (1) 0 = (0, 0) Vpois 0 + 0 = 0. (2) Seja os vetores (a, b) e (c, d) tais que a + b = 0 e c + d = 0. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Para a + b = 0 e c + d = 0, devemos ter a = - b e c = - d. Assim, a + c = - b – d Portanto, (a + c, b + d) = (- b – d, b + d) e (–b – d) + (b + d) = 0. Deste modo (a + c, b + d) V (3) k.(a, b) = (ka, kb). Como a + b = 0, ka + kb = k(a + b) = k.0 = 0. k(a, b) V V = {(x1, x2) | x1 + x2 = 0} é um subespaço vetorial de R2.
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) V (2) b) {(x1, x2) | x1x2 = 0} (1) 0 = (0, 0) V pois 0.0 = 0. Para que x1.x2 seja igual a zero basta que um deles seja zero. Temos, por exemplo, (0, 4) e (2, 0) ambos pertencentes a V. (0, 4) + (2, 0) = (2, 4) que não pertence a V, pois 2.4 0. Portanto, V não é subespaço vetorial. c) {(x1, x2) | x1 = 3x2} (1) 0 = (0, 0) V pois 0 = 3.0. (2) Os vetores de V têm a forma (3x, x) pois x1 = 3x2. (3x, x) + (3y, y) = (3x + 3y, x + y) 3x + 3y = 3(x + y) a soma dos vetores pertencem a V. (3) k.(3x, x) = (3kx, kx). Como 3kx = 3.(kx), k.(3x, x) V. V = {(x1, x2) | x1 = 3x2} é um subespaço vetorial.
0 0 0 0 (1) 0 = V pois 0.A = A.0 = 0. d) {(x1, x2) | x1 = 3x2 + 1} (1) 0 = (0, 0) V pois 0 3.0 + 1. V = {(x1, x2) | x1 = 3x2 + 1} não é subespaço vetorial de R2. 2 - Seja S o conjunto das matrizes 2x2 e A uma matriz particular de S. Determine se cada conjunto abaixo é ou não um subespaço vetorial das matrizes 2x2.a) V = {B S | AB = BA}b) V = {B S | AB BA}c) V = {B S | BA = 0} onde 0 é a matriz nula (aij = 0, quaisquer que sejam i e j) a) V = {B S | AB = BA} (2) Sejam B1 e B2 matrizes de B. Isto é AB1 = B1A e AB2 = B2A. A.(B1 + B2) = AB1 + AB2 = B1A + B2A = (B1 + B2).A. Portanto, B1 + B2 pertencem a V pois comuta com A. (3) (kB).A = k.(A.B) = (KA).B. Como kB comuta com A, kB V V = {B S | AB = BA} é um subespaço vetorial e de S.
0 0 0 0 (1) 0 = V pois 0.A = 0. b) V = {B S | AB BA} Não é um subespaço vetorial pois a matriz nula não pertence a V uma vez que ela comuta com qualquer outra matriz. c) V = {B S | BA = 0} onde 0 é a matriz nula (aij = 0, quaisquer que sejam i e j) (2) Sejam B1 e B2 tais que B1A = 0 e B2A = 0. (B1 + B2).A = B1.A + B2.A = 0 + 0 = 0. Portanto, (B1 + B2) V (3) (kB1).A = k.(B1.A) = k.0 = 0. Portanto, kB1 V. V = {B S | BA = 0} é um subespaço vetorial.
