第四讲 单纯型表格算法

1. 第四讲 单纯型表格算法 §1 与基础解对应的单纯型表格 §2 新基础解表格与原表格的关系 §3 如何选择支点行 §4 如何选择支点列 §5 举例分析

2. §1 与基础解对应的单纯型表格（1） 关于单纯形法概念，以前已讲过，本章讲具体计算步骤。该 计算方法在计算机上计算。令A为m×n矩阵，m≤n,行线性 独立，即秩为m。非退化线性规划的标准形式为： AX=b，X≥0，CTX=min (1) 如果b是A的不少于m列的线性组合，则称非退化形式。设从 阶段2开始计算，即设已获得初始可行解X（这需阶段1，而 寻找第1个初始可行解亦需用到阶段2算法）。

3. §1 与基础解对应的单纯型表格（2） 设已有一个基础可行解X，只依赖于m列aj(j=1,…,m)，则有 xj>0，jB，B={j1，…，jm} (2) 令矢量 Vi=aji (i=1,2,…,m) (3) 则，V1，V2，…，Vm即是当前基础矩阵M的列矢量。 现把A阵每一列都用基础列表达： aj=t1jV1+t2jV2+…tmjVm (j=1,2,…,n) (4) 同样，b可写成：b=t10V1+t20V2+…+tm0Vm (5) 这样，便可给出一个单纯形表格 (tij)，i=1,…,m；j=1,2,…,n,0 (6)

4. a1 a2 a3 b V1=a3 0 1 1 1 V2=a1 1 -1 0 2 §1 与基础解对应的单纯型表格（3） [例1-18] A =b = 令当前基础矢量是第3列和第1列。即V1=a3，V2=a1，则表格为：

5. §1 与基础解对应的单纯型表格（4） 第2列即为： a3－a1=a2 (8) 最后1列为： a3+2a1=b (9) 这就给出基础解分量 x3=1，x1=2，x2=0 扩充单纯形表格：前述表格中的元素仅是把A阵矢量和b表达为基础矢量线性组合时的系数，为方便，现又增加{uij}，其含义是把m个单位矢量e1(1,0,0,…)，e2(0,1,0, …)， …，em(0,0,…,1)表达成基本矢量的线性组合，即： ej= (j=1,2,…,m) (10)

6. a1 … an b e1 … em V1 t11 … t1n t10 u11 … u1m ┇ --------------------------------------------- Vm tm1 … tmn tm0 um1 … umm §1 与基础解对应的单纯型表格（5） 于是，扩充的单纯形表格如下 ： 因为单位矢量ej(j=1, …,m)构成一个标准单位矩阵I，而Vi是基础矩阵M的列，根据式(10)知，I=MU ∴U=M－1。因此扩充表格中的{uij}是当前基础阵之逆阵。

7. §1 与基础解对应的单纯型表格（6） 同样式(4)和 (5)也可写成矩阵的形式： [A，b]=MT (13) 其中，T={tij}(i=1,…,m，j=1,…,n,0)，于是扩充表格可写成： [T；U]= M－1[A，b；I] (14) [例1-19] 例1-18的基础矩阵为： M = [a3，a1] =

8. a1 a2 a3 b e1 e2 V1=a3 0 1 1 1 3 -2 V2=a1 1 -1 0 2 -7 5 一 二 三 §1 与基础解对应的单纯型表格（7） 因此， U = M－1 = ＝{uij} 则扩充表格为： (15)

9. §1 与基础解对应的单纯型表格（8） 表格中， 第一部分为A阵所有列关于当前基础列之表达式。 第二部分为当前基础解的正分量。 第三部分为当前基础阵之逆阵。

10. a1 … as … an b e1 … em V1 t11 … t1s … t1n t10 u11 … u1m ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ Vr tr1 trs trn tr0 ur1 … urm ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ ┇ Vm tm1 tms tmn tm0 um1 … umm §2 新基础解表格与原表格的关系（1） 设在上述基础解的基础上，将非基矢量as引进基础解集，即as→B集；而令原基础解集B中的Vr处原基矢量离开。这两种情况表达形式示于表1-3和表1-4 表1-3 原表格（用当前基础解表达矢量）

11. a1 … as … an b e1 … em (V1)’ t’11 … t’1s … t’1n t’10 u’11 … u’1m ┇ as→(Vr)’ t’r1 t’rs t’rn t’r0 u’r1 … u’rm ┇ (Vm)’ t’m1 t’ms t’mn t’m0 u’m1 … u’mm §2 新基础解表格与原表格的关系（2） 表1-4 新表格（用新基础解表达矢量）

12. §2 新基础解表格与原表格的关系（3） 其中原表格是已经给出的与当前基础矢量相对应的单 纯形表格，新基础解是由原非基矢量as代入Vr所致。 其新解所对应的表格形式如表1-4所示，那么新表中 各个元素如何根据原表1-3求出呢？ 现在就对该问题进行推导。因为当前基础解和新基础 解都假定是可行的非退化解，因此两表中： ti0>0 ，t’i0>0 (i=1,2,…,m) (16)

13. §2 新基础解表格与原表格的关系（4） 则，当前基础可行解满足： AX= = = (17) 因此，ti0就是X的正分量 根据当前基础解来表达as： as=t1sV1+…+trsVr+…+tmsVm (18) 由于基础矢量V1,…Vr, …Vm线性无关，因此trs≠0；

14. §2 新基础解表格与原表格的关系（5） 否则，从式(18)中说明，as可由Vi(i=1,…,m,i≠r)线性组合，这说明新基础解不是线性无关的矢量构成，与假设矛盾。于是，Vr可根据式(18)表达为： Vr= (19) 从假设知，新基础解基础矢量为： (V1)’=V1, …,(Vr)’=as, …,(Vm)’=Vm (20) 为获得新表格，系数t’ij应满足：

15. §2 新基础解表格与原表格的关系（6） aj=t’1j(V1)’+ …+t’rj(Vr)’+ … +t’mj(Vm)’ 这表明 aj = t’rjas+ (21) (式中， 表示 ，下同) 这唯一地定义了新表格中的系数。 而根据当前基础解，存在： aj = trjVr+ (22)

16. §2 新基础解表格与原表格的关系（7） 现在，把Vr用式(19)代入，则式(22)变为： aj = (23) 将aj的两个表达式(21)和(23)的矢量系数加以比较，便可得出下述关系： ①当i=r时, t’rj=trj/trs (24) ②当i≠r时， t’ij=tij－(tis/trs)trj (25)

17. §2 新基础解表格与原表格的关系（8） 对于扩充表格右边系数u’ij的表达更没问题。可把单位矢量ej作为扩充矩阵[A，I]的列，就像阶段法1做的那样，可设： e1=an+1，e2=an+2，…，em=an+m (26) 于是，我们可定义： uij=ti,，n+j (i,j=1,2, …,m) (27) 在式(24)和(25)中，用n+j代替j可得 ③当i=r时，u’rj=urj/trs (28) ④当i≠r时，u’ij=uij－(tis/trs)urj (29)

18. §2 新基础解表格与原表格的关系（9） 上述公式的含义如下：如果用as代替Vr而形成新基础可行解，则称 ①原表中的r行为支点行 ②原表中的s列为支点列 ③trs为支点元素 支点行(r)：新表r行＝原表r行/trs 非支点行(i):新表i行=原表i行－i（原表r行）

19. §2 新基础解表格与原表格的关系（10） 从上所述，如果知道原表格的支点行和支点列，那么，新的表格便可应孕而生。 于是如何选择支点行和支点列便是单纯形表格的关键问题，下面就分别阐述这两个问题。

20. §3 如何选择支点行 选择支点行即是假设支点列已选定（即已知道应引进的非基 础矢量），应令哪一个基础矢量离开的问题。支点行的选择 原则是新解可行，即新表格中的｛t’i0｝（i=1,…,m）>0 (对于非退化)。 即，若r行被选中，则必须满足： tr0/trs=min{ti0/tis：tis>0，i=1, …,m} 这就是r行被中的充分必要条件，对于非退化情况，r行能被 唯一确定。

21. §4 如何选择支点列 （1） 在选择支点行之前，必须首先选择支点列，其原则是，新矢 量进入基础解使费用尽量小，即最优性选择。 旧费用为： CTX= (32) 表明基础矢量Vi的单位费用。 如果决定选支点列s，那么新的解的费用是多少呢？根据： as－ =0 (33) 及 = AX = b (34)

22. §4 如何选择支点列 （2） 将(33)式乘以再加(34)式得： as+ (35) 于是，得出一组新解，其新解的费用为： cs+ (36) 而 =旧费用，令(37) 故 新费用=旧费用－（zs－cs）(38)

23. §4 如何选择支点列 （3） 即，要使费用减少，只有zs－cs >0才行，这和在第五节所得 结论一致。即可得出下述结论： ·从式（35）看出，若所有tis≤0,则当→∞时，X（）永远 可行，若此时，zs－cs >0,则最优目标值无界，即可无穷小。 ·若zs－cs >0且至少有一个tis>0，则s列是被选中之一，若有 若干列的zs－cs >0,则通常选择最大的zs－cs作为支点列，然 后根据前面讲的选择支点行标准选取支点元素并构成新的表 格。

24. §4 如何选择支点列 （4） 当选中s列作为支点列时，其新费用减少值为*（zs－cs）,其 中，*是新基础解中as的系数。（∵as=(vr)’）,我们有： *=t’r0=tr0/trs 如果，旧费用为z0,新费用为z’0，则有 z’0= z0－tr0 (39) 对于原扩充表格：[T；U]=M－1[A，b；I]，显然缺少一些信 息，即检验数信息，现可把它放在表格最后一行： z1－c1，…,zn－cn，z0；y1，…，ym (40)

25. §4 如何选择支点列 （5） 这一行称为判断行或检验行。该行各元素含义如下： ① 前n个元素之表达式为 zj－cj= (j=1, …,n) (41) 如果aj是当前基础解集，则：zj－cj =0 如果aj不是当前基础解集，则： ②元素z0是当前费用，(42)

26. §4 如何选择支点列 （6） ③最后m个元素定义为： (j=1,…,m) (43) 其中{uij} =U是基础阵M之逆阵，则YT含义为： 因此，YT是方程解，在最后阶段，当所有zj－cj≤0时，YT将 是下述对偶问题最优解： YTA≤CT, YTb=max 其中，YT将满足： YTaj=zj≤cj。

27. t11 …… t1n t10 u11 …… u1m tm1 …… tmn tm0 um1 …… umm z1－c1 …… zn－cn z0 y1 …… ym §4 如何选择支点列 （7） 加进判断行后，表格变为： (44) 判断行之计算： 新判断行=旧判断行-0乘支点行 0=（zs－cs）/trs (45) 证明从略。

28. §5 举例 （1） 至此，单纯形表格法的基本步骤已推导完毕，下面举例来说 明单纯形表格的应用。 例[1-21] 已知线性规划为： AX=b，X≥0，CTX=min 其中： A= ，b= ，CT=[7，1，1] (46) [例1-21]应用阶段1，求出式(46)的初始基础可行解。 [解]为了求初始基础可行解，要引进人工变量并构成新规划： A’X’=b’，X’≥0，C’TX’=min

29. a1 a2 a3 e1 e2 b e1 1 2 3 1 0 5 e2 4 5 6 0 1 13 5 7 9 0 0 18 §5 举例 （2） 其中， A’= ，（X’)T=(x1，x2，x3，s1，s2) b’= (C’)T=(0 0 0 1 1) 现在变成求新规划最优解问题，显然，此规划的第1个基础可 行解为：s1=5,s2=13,X=0,其相应表格为： (47)

30. §5 举例 （3） 初始表格判断的计算很简单： ，例如z’1－c’1= (1,4) －c1= 5－0 = 5 从判断行看出，最大的判断元素为z’3－c’3=9。故a3应进入基 础解，支点列s=3（当然a1，a2进入也行），然后选支点行： 故支点元素为t’13=3,于是用公式可计算出第2个表格。

31. §5 举例（4） (48) 从表格（48）看出，max（zj－cj）= z1－c1 =2,故令a1进 入基础解集，然后选支点行r：

32. a1 a2 a3 e1 e2 b a3 0 1/2 1 2/3 -1/6 7/6 a1 1 1/2 0 -1 1/2 3/2 0 0 0 -1 -1 0 §5 举例（5） ∴支点元素为t’21=2。 经变换，得出下述表格(49)： (49)

33. §5 举例（6） 判断行zj－cj全部≤0，故达最优，且z0=0。说明原问题存在可行解，且第1个基础可行解即为新规划的最优解：x2=0, x3=7/6, x1=3/2。于是阶段1结束。 [例1-22] 求解（46）式的最优解。即进行阶段2。 [解]将例1-21求得的新规划最优表格转换为原规划的初始单纯形表格。转换原则是： 1）表的上面m行基本不变，新表右半部{uij}与原表人工变量矢量所对应的{tij}一致。 2）表的判断行，需按照原规划的目标系数重算。

34. §5 举例（7） 计算的初始单纯形表格如表格(50)： 比较(49)与(50)，看出： ·把e1，e2列移往右边 (50)

35. §5 举例（8） ·判断行不同，因阶段1时的新规划费用系数为C’T=（0 0 0 1 1），而原规划为CT=[7 1 1]。初始解的基础矢量为a3，a1，∴=(1 7)。 例： z2－c2= ·1+ ·7－1=3 z0= ·1+ ·7=35/3 y1= ·1+ (-1) ·7= －

36. a1 a2 a3 b e1 e2 a2 0 1 2 7/3 4/3 -1/3 a1 1 0 -1 1/3 -5/3 2/3 0 0 -6 14/3 -31/3 13/3 §5 举例（9） 从表格（50）看出：z2－c2=3为唯一正值，选s=2。 选支点行： trs= V1=a2(代替a3) 最后表格：

37. §5 举例（10） 则知，所有zj－cj≤0 (j =1，2，3)，已达最优。 最优基础可行解： x2= ， x1= min cost = CTX = z0 = 最优对偶分量： y1= － , y2= 检查条件：AX=b, X≥0, YTA≤CT , CTX=YTb。 全部符合条件。